Tổ hợp 11 hard

Đội thanh niên xung kích của trường THPT Chuyên Biên Hòa có 12 học sinh gồm 5 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để làm nhiệm vụ mỗi buổi sáng. Tính xác suất sao cho 4 học sinh được chọn thuộc không quá 2 khối.

Với n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{1}+C_{n}^{3}=13n,$hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}$trong khai triển của biểu thức ${{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{n}}$bằng

Một hộp đựng 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Phải rút ra ít nhất k thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 lớn hơn \[\frac{13}{15}\]. Giá trị của k bằng

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 16] được kí hiệu theo thứ tự là a, b, c rồi lập phương trình bậc hai $ax^{2}+2bx+c=0$. Xác suất để phương trình lập được có nghiệm kép là

Tính tổng các hệ số trong khai triển ${{\left( 1-2x \right)}^{2018}}.$

Từ các chữ số \[0;\text{ }1;\text{ }2;\text{ }3;\text{ }5;\text{ }8\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3.

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xác suất để phương trình ${{x}^{2}}+bx+2=0$ có hai nghiệm phân biệt là:

Đề thi trắc nghiệm môn toán gồm 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một học sinh không học bài lên mỗi câu trả lời đều chọn ngẫu nhiên một phương án. Xác suất để học sinh đó được đúng 6 điểm là:

Trước kỳ thi học kỳ 2 của lớp 11 tại trường FIVE, giáo viên Toán lớp FIVA giao cho học sinh để cương ôn tập gồm 2n bài toán, n là số nguyên dương lớn hơn 1. Đề thi học kỳ của lớp FIVA sẽ gồm 3 bài toán được chọn ngẫu nhiên trong số 2n bài toán đó. Một học sinh muốn không phải thi lại, sẽ phải làm được ít nhất 2 trong số 3 bài toán đó. Học sinh TWO chỉ giải chính xác được đúng 1 nửa số bài trong đề cương trước khi đi thi, nửa còn lại học sinh đó không thể giải được. Tính xác suất để TWO không phải thi lại ?

Trong trận đấu bóng đá giữa 2 đội Real madrid và Barcelona, trọng tài cho đội Barcelona được hưởng một quả Penalty. Cầu thủ sút phạt sút ngẫu nhiên vào 1 trong bốn vị trí 1, 2, 3, 4 và thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến 1 trong 4 vị trí 1, 2, 3, 4 với xác suất như nhau (thủ môn và cầu thủ sút phạt đều không đoán được ý định của đối phương). Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn bay cùng vào vị trí 1 (hoặc 2) thì thủ môn cản phá được cú sút đó, nếu cùng vào vị trí 3 (hoặc 4) thì xác suất cản phá thành công là 50%. Tính xác suất của biến cố “cú sút đó không vào lưới”?

Có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A; 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ mà 4 người này không thuộc quá 2 trong 3 lớp trên ?

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $2C_{n}^{0}+5C_{n}^{1}+8C_{n}^{2}+...+\left( 3n+2 \right)C_{n}^{n}=1600.$ 

 Có 7 tấm bia ghi 7 chữ “HIỀN”, “TÀI”, “LÀ”, “NGUYÊN”, “KHÍ”, “QUỐC”, “GIA”. Một người xếp ngẫu nhiên 7 tấm bia cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bia được dòng chữ “HIỀN TÀI LÀ NGUYÊN KHÍ QUỐC GIA”.

 Một mạch điện gồm 4 linh kiện  như hình vẽ, trong đó xác suất hỏng của từng linh kiện trong một khoảng thời gian t nào đó tương ứng là 0,2; 0,1; 0,05 và 0,02. Biết rằng các linh kiện làm việc độc lập với nhau và các dây luôn tốt. Tính xác suất để mạng điện hoạt động tốt trong một khoảng thời gian t.

Có 10 quyển sách toán giống nhau, 11 quyển sách lý giống nhau và 9 quyển sách hóa giống nhau. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng cho 15 học sinh có kết quả thi cao nhất của khối A trong kì thi thử lần 2 của trường THPT Lục Ngạn số 1, biết mỗi phần thưởng là hai quyển sách khác loại ?

Trong hệ tọa độ Oxy có 8 điểm nằm trên tia Ox và 5 điểm nằm trên tia Oy. Nối một điểm trên tia Ox và một điểm trên tia Oy ta được 40 đoạn thẳng. Hỏi 40 đoạn thẳng này cắt nhau tại bao nhiêu giao điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ xOy (Biết rằng không có bất kì 3 đoạn thẳng nào đồng quy tại 1 điểm).

Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau ?

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng của ba chữ số đầu và tổng của ba chữ số cuối kém nhau một đơn vị?

Có 12 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố định). Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng. Tính xác suất để 3 người được chọn không có 2 người nào đứng cạnh nhau.

Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức $f\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}}+\frac{3}{x} \right)}^{12}}+{{\left( 2{{x}^{3}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{21}}$ thì $f\left( x \right)$ có bao nhiêu số hạng?

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số \[5,\text{ }6,\text{ }7,\text{ }8,\text{ }9.\] Tính tổng tất các số thuộc tập S.

Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 4 tấm thẻ từ hộp đó. Gọi P là xác suất để tổng các số ghi trên 4 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng:

Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng $\overline{abc}$ với $a,b,c\in \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 \right\}$ sao cho $a

Biết n là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{3}+2A_{n}^{2}=100.$ Hệ số của ${{x}^{5}}$trong khai triển

${{\left( 1-3x \right)}^{2n}}$ bằng:

Từ 15 học sinh gồm 6 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 4 học sinh trung bình, giáo viên muốn lập thành 5 nhóm làm 5 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá.

Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có một tấm mang số chia hết cho 10.

Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu bằng:

Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển \[{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{n}}\]. Biết có đẳng thức là: $C_{n}^{2}C_{n}^{\text{n-}2}+2C_{n}^{2}C_{n}^{3}+C_{n}^{3}C_{n}^{n-3}=100$.

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên A có bốn chữ số. Gọi N là số thỏa mãn ${{3}^{N}}=A.$ Xác suất để N là số tự nhiên bằng:

Cho hai dãy ghế được xếp như sau :

Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện với nhau nếu ngồi ở hai dãy và có cùng vị trí ghế (số ở ghế). Số cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ bằng:

Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau và lớn hơn 5000 ?

Kết quả \[\left( b,c \right)\] của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó \[b\] là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, \[c\] là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình bậc hai \[{{x}^{2}}+bx+c=0\text{ }.\] Tính xác suất để phương trình có nghiệm.

. Hệ số chứa ${{x}^{2}}$ trong khai triển nhị thức của đa thức $f\left( x \right)={{\left( x-\frac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{n}}\,\,\left( x>0;n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ bằng bao nhiêu, biết $2A_{n}^{2}-C_{n}^{2}={{n}^{2}}+5$.

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Tính xác suất sao cho phương trình ${{x}^{2}}-bx+b-1=0$ (x là ẩn số) có nghiệm lớn hơn 3.

Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là \[\frac{1}{2}\]và \[\frac{1}{3}\]. Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia.

Sắp xếp 12 học sinh của lớp 12A gồm 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào một bàn dài gồm có hai dãy ghế đối diện nhau (mỗi dãy gồm có 6 chiếc ghế) để thảo luận nhóm. Tính xác suất để hai học sinh ngồi đối diện nhau và cạnh nhau luôn khác giới

Trong khai triển \[{{\left( 3{{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{n}},\] biết hệ số của \[{{x}^{3}}\]là \[{{3}^{4}}C_{n}^{5}.\] Giá trị của n có thể nhận là: 

Một chiếc vòng đeo tay gồm 20 hạt giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắt chiếc vòng đó thành 2 phần mà số hạt ở mỗi phần đều là số lẻ ?