a) Do M và N lần lượt là trung điểm AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MN//BC và $MN = \dfrac{1}{2} BC = \dfrac{1}{2} . 10 = 5$ (cm)
Vậy $MN = 5$ (cm).
b) Do M và K lần lượt là trung điểm AB, BC nên MK là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MK // AC.
Xét tứ giác MNCK có $MN //KC$ và $MK // NC$. Vậy tứ giác MNCK là hình bình hành.
c) Xét tam giác MEB và tam giác MAK có
$\begin{cases}
EM = MK\\
\widehat{EMB} = \widehat{KMA} (đối đỉnh)\\
MB = MA
\end{cases}$
Vậy tam giác EMB = tam giác KMA. Do đó $\widehat{MEB} = \widehat{MKA}$.
Mà 2 góc ở vị trí so le trong nên $AK// EB$.
d) Nối FC.
Do tam giác EMB = tam giác KMA nên AK = EB. Lại có AK//EB.
Vậy tứ giác AEBK là hình bình hành, do đó AE // BK hay AE // BC. (1)
Xét tam giác ANK và tam giác FNC có
$\begin{cases}
AN = NC\\
\widehat{ANK} = \widehat{FNC} (đối đỉnh)\\
NK = NF
\end{cases}$
Vậy tam giác ANK = tam giác CNF. Do đó $\widehat{FCN} = \widehat{KAN}$.
Mà 2 góc ở vị trí so le trong nên AK // CF.
Lại có AK = CF (hai tam giác trên bằng nhau).
Vậy tứ giác AFCK là hình bình hành, suy ra AF // CK nên AF // BC. (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra AF//BC và AE // BC. Do đó theo Ta lét thì A, F, E phải nằm cùng trên một đường thẳng. Vậy A, F, E thẳng hàng.
