Đáp án:
\(Min\,\,\,S = 2018\) khi \(x = \frac{1}{2}.\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}S = 4{x^2} - 3x + \frac{1}{{4x}} + 2017\\\,\,\,\,\, = 4{x^2} - 4x + 1 + x + \frac{1}{{4x}} + 2017\\\,\,\,\,\, = {\left( {2x - 1} \right)^2} + x + \frac{1}{{4x}} + 2 0 17.\end{array}\)
Với \(x > 0\) ta có:\(\frac{1}{{4x}} > 0.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(x;\,\,\frac{1}{{4x}}\) ta được:
\(\begin{array}{l}x + \frac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} = 1.\\ \Rightarrow S = {\left( {2x - 1} \right)^2} + x + \frac{1}{{4x}} + 2017 \ge 0 + 1 + 2017\\ \Leftrightarrow S \ge 2018.\end{array}\)
Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\x = \frac{1}{{4x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\{x^2} = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\left( {do\,\,x > 0} \right).\)
Vậy \(Min\,\,\,S = 2018\) khi \(x = \frac{1}{2}.\)
