$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} 1.\\ Xét\\ \lim _{x\rightarrow 4^{+}} f( x) =\lim _{x\rightarrow 4^{+}}\frac{\sqrt{x+5} -3}{x-4} =\lim _{x\rightarrow 4^{+}}\frac{x+5-9}{( x-4)\left(\sqrt{x+5} +3\right)} =\lim _{x\rightarrow 4^{+}}\frac{x-4}{( x-4)\left(\sqrt{x+5} +3\right)}\\ =\lim _{x\rightarrow 4^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+5} +3} =\frac{1}{6}\\ \lim _{x\rightarrow 4^{-}} f( x) =\lim _{x\rightarrow 4^{-}}\left( 4ax-\frac{15}{6}\right) =16a-\frac{15}{6}\\ f( 4) =\ 16a-\frac{15}{6}\\ Để\ f( x) \ liên\ tục\ tại\ x=4\ \Leftrightarrow \lim _{x\rightarrow 4^{+}} f( x) =\lim _{x\rightarrow 4^{-}} f( x) =f( 4)\\ \Leftrightarrow 16a-\frac{15}{6} =\frac{1}{6} \Leftrightarrow a=\frac{1}{6}\\ Vậy\ a=\frac{1}{6} \ là\ gtct\\ 2.\\ Xét\ f( x) =\left( m^{2} +1\right) x^{4} +10x^{2} -2mx-1\\ Thấy\ f( x) \ là\ một\ đa\ thức\ bậc\ 4,\ nên\ nó\ liên\ tục\ trên\ \mathbb{R} \Rightarrow \ f( x) \ liên\ tục\ trên\ khoảng\ ( -1;2)\\ Ta\ có\ f( 0) =-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ f( 1) =m^{2} +1+10-2m-1=m^{2} -2m+10=( m-1)^{2} +9 >0\forall x\in \mathbb{R}\\ Thấy\ f( 0) f( 1) >0\\ \Rightarrow f( x) \ có\ ít\ nhất\ một\ nghiệm\ trên\ ( -1;2)\\ Vậy\ ....\\ \end{array}$
