Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
Do $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $AH\bot BC;BH\bot AC; CH\bot AB$
Lại có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BH \bot AC\\
Cy \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow BH//Cy \Rightarrow BH//CD\\
\left\{ \begin{array}{l}
CH \bot AB\\
Bx \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow CH//Bx \Rightarrow CH//BD
\end{array}$
Xét tứ giác $BHCD$ có: $CH//BD;BH//CD$
$\to BHCD$ là hình bình hành.
b) Ta có:
$BHCD$ là hình bình hành.
$\to BC,DH$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà $O$ là trung điểm của $BC$ $\to O$ là trung điểm của $DH$
$\to H,O,D$ thẳng hàng.
c) Ta có:
$O,I$ lần lượt là trung điểm của $DH,DA$
$\to OI$ là đường trung bình của tam giác $AHD$
$\to OI//AH; OI=\dfrac{AH}{2}$
Mà $AH\bot BC \to OI\bot BC$
Ta có đpcm.
d) Gọi $G'$ là giao điểm của $HI$ và $AO$
Ta có:
$O,I$ lần lượt là trung điểm của $DH,DA$ và $G'$ là giao điểm của $HI$ và $AO$
$\to G'$ là trọng tâm của tam giác $AHD$
$ \Rightarrow AG' = \dfrac{2}{3}AO(1)$
Mà lại có:
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
$ \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AO\left( 2 \right)$
Từ $(1),(2)$$ \Rightarrow G \equiv G'$
$\to H,G,I$ thẳng hàng.
