Đáp án:
\(\mathop {Min}\limits_{\left( { - 2; + \infty } \right)} f\left( x \right) = 2\sqrt 2 - 2\) khi \(x = \sqrt 2 - 2.\)
Giải thích các bước giải:
\(f\left( x \right) = x + \frac{2}{{x + 2}}\) với \(x > - 2\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = x + \frac{2}{{x + 2}} = x + 2 + \frac{2}{{x + 2}} - 2\)
Với mọi \(x > - 2\) ta có: \(x + 2,\,\,\frac{2}{{x + 2}}\) là các số dương.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x + 2,\,\,\frac{2}{{x + 2}}\) ta có:
\(\begin{array}{l}x + 2 + \frac{2}{{x + 2}} \ge 2\sqrt {\left( {x + 2} \right).\frac{2}{{x + 2}}} = 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow f\left( x \right) = x + 2 + \frac{2}{{x + 2}} - 2 \ge 2\sqrt 2 - 2.\end{array}\)
Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow x + 2 = \frac{2}{{x + 2}} \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2 = \sqrt 2 \,\,\,\,\left( {do\,\,x + 2 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x = \sqrt 2 - 2\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)
Vậy \(\mathop {Min}\limits_{\left( { - 2; + \infty } \right)} f\left( x \right) = 2\sqrt 2 - 2\) khi \(x = \sqrt 2 - 2.\)
