MỤC LỤC DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN DẠNG 2: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN DẠNG 3: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN DẠNG 4: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI VÉC-TƠ A. KIẾN THỨC CHUNG 1) Góc giữa hai vectơ trong không gian: Định nghĩa: Trong không gian, cho trước hai vectơ 0, 0. u v Với điểm A bất kì: , . AB u AC v Khi đó: 0 0 , , 0 180 . u v AB AC BAC BAC 2) Tích vô hướng giữa hai vectơ trong không gian: Trong không gian, cho trước hai vectơ , 0. u v . . . os , . u v u v c u v Qui ước: 0 0 u v thì . 0. u v * Phương pháp Cách 1: dùng định nghĩa. Cách 2: dùng tích vô hướng của 2 vectơ, tính . os , . u v c u v u v rồi suy ra , . u v Đặc biệt, với 0, 0 u v thì 0 . 0 , 90 . u v u v B. BÀI TẬP MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 1. (TH) Cho hai vectơ , a b thỏa mãn: 4; 3; 4 a b a b . Gọi là góc giữa hai vectơ , a b . Chọn khẳng định đúng? A. 3 cos 8 . B. 30 . C. 1 cos 3 . D. 60 . Câu 2. (TH) Cho hình lập phương . ABCD EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và DH ? A. 45 . B. 90 . C. 120 . D. 60 . Câu 3. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Tính cos , . BD A C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. cos , 0 BD A C . B. cos , 1 BD A C . C. 1 cos , 2 BD A C . D. 2 cos , 2 BD A C . Câu 4. (TH) Cho hình lập phương . ABCD EFGH . Góc giữa cặp vectơ AF và EG bằng A. o 0 . B. o 60 . C. o 90 . D. o 30 . Câu 5. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Góc giữa hai vectơ AD và A C bằng A. 120 . B. 60 . C. 30 . D. 150 . Câu 6. (TH) Cho hình lập phương . ABCD EFGH , góc giữa hai vectơ , AC BG là A. 0 45 . B. 0 30 . C. 0 60 . D. 0 120 . Câu 7. (TH) Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm cạnh AB . Khi đó góc giữa 2 vectơ CH và AC bằng A. 135 . B. 150 . C. 120 . D. 30 . Câu 8. (TH) Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và 0 60 BAC BAD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và CD ? A. 60 . B. 45 . C. 120 . D. 90 . Câu 9. (TH) Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và 0 0 60 , 90 BAC BAD CAD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và . CD Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ và CD ? A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 120 . Câu 10. (TH) Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ' ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi , , , M N P Q lần lượt là trung điểm của các cạnh , , ' AC CB BC và ' C A . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ? A. 0 45 . B. 0 120 . C. 0 60 . D. 0 90 . Câu 11. (TH) Cho hình chóp . S ABC có 2 BC a , các cạnh còn lại đều bằng a . Góc giữa hai vectơ SB và AC bằng A. 60 . B. 120 . C. 30 . D. 90 . Câu 12. (TH) Cho hình chóp . S ABC có 2 BC a , các cạnh còn lại đều bằng a . Góc giữa hai vectơ SB và AC bằng A. 60 . B. 120 . C. 30 . D. 90 . Câu 13. (TH) Cho hình chóp . S ABC có SA SB SC và ASB BSC CSA . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SA và BC ? A. 120 . B. 90 . C. 60 . D. 45 . AB ' CC ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 14. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, 2 SA SB a , AB a . Gọi là góc giữa hai véc tơ CD và AS . Tính cos ? A. 7 cos 8 B. 1 cos 4 C. 7 cos 8 D. 1 cos 4 Câu 15. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chọn mệnh đề sai? A. , 120 SA CD . B. , 90 SO AD . C. , 90 SA BD . D. , 60 SA CD . Câu 16. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, 6 SA SB a , 2 2 CD a . Gọi là góc giữa hai vectơ CD và AS . Tính cos . A. 2 cos 6 . B. 1 cos 3 . C. 2 cos 6 . D. 1 cos 3 . Câu 17. (TH) Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ' ' ABC D có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và ' O . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và ' OO ? A. 60 . B. 45 . C. 120 . D. 90 . Câu 18. (TH) Cho hình chóp . S ABC có SA SB SC và ASB BSC CSA . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SB và AC ? A. 60 . B. 120 . C. 45 . D. 90 . MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 19. (VD) Cho hai vectơ , a b thỏa mãn: 4; 3; . 10 a b a b . Xét hai vectơ y a b 2 , x a b . Gọi α là góc giữa hai vectơ , x y . Chọn khẳng định đúng. A. 2 cos 15 . B. 1 cos 15 . C. 3 cos 15 . D. 2 cos 15 . Câu 20. (VD) Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của BC . Đặt , AM BD . Chọn mệnh đề đúng A. 1 cos 2 . B. 3 cos 2 . C. 3 cos 6 . D. Đáp số khác. Câu 21. (VD) Cho hình lập phương . ABCD EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AF và EG ? A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 120 . Câu 22. (VD) Cho tứ diện đều . S ABC và , M N lần lượt là trung điểm của BC và SA . Cô-sin góc giữa hai vectơ SM và BN bằng. A. 1 2 . B. 1 . C. 2 3 . D. 1 3 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 23. (VD) Cho hình chóp . S ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B , BC a . Hai mặt phẳng SCA và SCB hợp với nhau một góc o 60 và o 45 BSC . Tính cosin của góc ASB . A. 3 cos = 2 . B. 2 cos = 5 . C. 2 cos = 2 . D. 1 cos = 3 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI VÉC-TƠ MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 1. (TH) Cho hai vectơ , a b thỏa mãn: 4; 3; 4 a b a b . Gọi là góc giữa hai vectơ , a b . Chọn khẳng định đúng? A. 3 cos 8 . B. 30 . C. 1 cos 3 . D. 60 . Lời giải Chọn A 2 2 2 9 ( ) 2 . . . 2 a b a b a b a b Do đó: 8 c s . 3 . o a b a b . Câu 2. (TH) Cho hình lập phương . ABCD EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và DH ? A. 45 . B. 90 . C. 120 . D. 60 . Lời giải Chọn B , 90 // AB AE AB DH AB DH AE DH . Câu 3. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Tính cos , . BD A C A. cos , 0 BD A C . B. cos , 1 BD A C . C. 1 cos , 2 BD A C . D. 2 cos , 2 BD A C . Lời giải Chọn A || BD AC A C BD A C os , 0 c BD A C . Câu 4. (TH) Cho hình lập phương . ABCD EFGH . Góc giữa cặp vectơ AF và EG bằng A. o 0 . B. o 60 . C. o 90 . D. o 30 . Lời giải Chọn B B A C D H G E FST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Nhận xét EG AC nên ; ; AF EG AF AC FAC . Tam giác FAC là tam giác đều nên o 60 FAC . Câu 5. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Góc giữa hai vectơ AD và A C bằng A. 120 . B. 60 . C. 30 . D. 150 . Lời giải Chọn B Ta có , , AD A C AD AC 60 D AC , do tam giác ACD đều. Câu 6. (TH) Cho hình lập phương . ABCD EFGH , góc giữa hai vectơ , AC BG là A. 0 45 . B. 0 30 . C. 0 60 . D. 0 120 . Lời giải Chọn C Gọi cạnh hình lập phương bằng a . Ta có BG BF BC 2 2 . . . . 2. 2 AC BF AC BF BC AC BF AC BC a a a Lại có 2 . 2 cos , AC BG a AC BG 0 1 cos , , 60 2 AC BG AC BG . Câu 7. (TH) Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm cạnh AB . Khi đó góc giữa 2 vectơ CH và AC bằng A. 135 . B. 150 . C. 120 . D. 30 . Lời giải Chọn B B A D C E F H GST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi A’ là điểm sao cho ' AC CA . Khi đó ( , ) ( , ') ' CH AC CH CA HCA . ABC đều 0 0 30 ' 150 ACH HCA . Vậy 0 ( , ) 150 CH AC . Câu 8. (TH) Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và 0 60 BAC BAD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và CD ? A. 60 . B. 45 . C. 120 . D. 90 . Lời giải Chọn D Ta có 0 0 . . . . . .cos60 . .cos 60 0 AB CD AB AD AC AB AD AB AC AB AD AB AC 0 , 90 AB CD Câu 9. (TH) Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và 0 0 60 , 90 BAC BAD CAD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và . CD Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ và CD ? A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 120 . Lời giải Chọn B Ta có BAC và BAD là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên CI DI (2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB ) nên CID là tam giác cân ở I . Do đó . IJ CD Câu 10. (TH) Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ' ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi , , , M N P Q lần lượt là trung điểm của các cạnh , , ' AC CB BC và ' C A . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ? H D B A C A B D C AB ' CC ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 0 45 . B. 0 120 . C. 0 60 . D. 0 90 . Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm CC CAC cân tại A (1) CC AI CBC cân tại B (2) CC BI (1),(2) CC AIB CC AB CC AB Kết luận: góc giữa CC và AB là 90 . Câu 11. (TH) Cho hình chóp . S ABC có 2 BC a , các cạnh còn lại đều bằng a . Góc giữa hai vectơ SB và AC bằng A. 60 . B. 120 . C. 30 . D. 90 . Lời giải Chọn B Ta có . cos , . SB AC SB AC SB AC 2 . SA AB AC a 2 . . SA AC AB AC a 2 2 0 1 2 2 a a . Vậy góc giữa hai vectơ SB và AC bằng 120 . Câu 12. (TH) Cho hình chóp . S ABC có 2 BC a , các cạnh còn lại đều bằng a . Góc giữa hai vectơ SB và AC bằng A. 60 . B. 120 . C. 30 . D. 90 . Lời giải Chọn B I P Q M N A B C C' A C B SST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có . cos , . SB AC SB AC SB AC 2 . SA AB AC a 2 . . SA AC AB AC a 2 2 0 1 2 2 a a . Vậy góc giữa hai vectơ SB và AC bằng 120 . Câu 13. (TH) Cho hình chóp . S ABC có SA SB SC và ASB BSC CSA . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SA và BC ? A. 120 . B. 90 . C. 60 . D. 45 . Lời giải Chọn B Ta có . . . . . .cos . .cos 0 SA BC SA SC SB SA SC SA SB SA SC ASC SA SB ASB 0 , 90 SA BC . Câu 14. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, 2 SA SB a , AB a . Gọi là góc giữa hai véc tơ CD và AS . Tính cos ? A. 7 cos 8 B. 1 cos 4 C. 7 cos 8 D. 1 cos 4 Lời giải Chọn B A C B S S A C BST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có 2 2 SB AS AB 2 2 2 2 . SB AS AS AB AB . AS CD . AS BA . AS AB 2 2 2 2 SB SA AB 2 2 a . Vậy cos cos , CD AS . . CD AS CD AS 2 2 .2 a a a 1 4 . Câu 15. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chọn mệnh đề sai? A. , 120 SA CD . B. , 90 SO AD . C. , 90 SA BD . D. , 60 SA CD . Lời giải Chọn A * Các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều. * , , , 60 SA CD SA BA AS AB SAB . * , 90 SO AC SO ABCD SO AD SO AD SO BD . * do , 90 BD SO SO ABCD BD SAC BD SA SA BD BD AC . * , , 60 SA CD SA AB SAB . Câu 16. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, 6 SA SB a , 2 2 CD a . Gọi là góc giữa hai vectơ CD và AS . Tính cos . O C A D B SST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 2 cos 6 . B. 1 cos 3 . C. 2 cos 6 . D. 1 cos 3 . Lời giải Chọn D Ta có: ABCD là hình bình hành CD BA AB . Do đó góc giữa hai vectơ CD và AS bù với góc giữa hai vectơ AB và AS cos cos ; cos AB AS SAB 2 2 2 2. . AS AB SB AS AB 2 2 2 6 8 6 1 2. 6.2 2 3 a a a a a . Câu 17. (TH) Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ' ' ABC D có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và ' O . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và ' OO ? A. 60 . B. 45 . C. 120 . D. 90 . Lời giải Chọn D Vì ABCD và ' ' ABC D là hình vuông nên // '; ' ' AD BC AD BC ADBC là hình bình hành Mà ; ' O O là tâm của 2 hình vuông nên ; ' O O là trung điểm của BD và ' AC ' OO là đường trung bình của ' ADBC '// OO AD Mặt khác, AD AB nên ' ', 90 o OO AB OO AB . Câu 18. (TH) Cho hình chóp . S ABC có SA SB SC và ASB BSC CSA . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SB và AC ? A. 60 . B. 120 . C. 45 . D. 90 . Lời giải. Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có: SAB SBC SCA c g c AB BC CA . Do đó tam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Vì hình chóp . S ABC có SA SB SC nên hình chiếu của S trùng với G Hay SG ABC . Ta có: AC BG AC SBG AC SG Suy ra AC SB . Vậy góc giữa cặp vectơ SB và AC bằng 0 90 . MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 19. (VD) Cho hai vectơ , a b thỏa mãn: 4; 3; . 10 a b a b . Xét hai vectơ y a b 2 , x a b . Gọi α là góc giữa hai vectơ , x y . Chọn khẳng định đúng. A. 2 cos 15 . B. 1 cos 15 . C. 3 cos 15 . D. 2 cos 15 . Lời giải Chọn D Ta có 2 2 . 2 2 3 . 4 x y a b a b a b a b . 2 2 2 2 2 4 4 . 2 3 x x a b a b a b . 2 2 2 2 2 . 5 y y a b a b a b . . 4 2 cos 2 3. 5 15 . x y x y Câu 20. (VD) Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của BC . Đặt , AM BD . Chọn mệnh đề đúng A. 1 cos 2 . B. 3 cos 2 . C. 3 cos 6 . D. Đáp số khác. Lời giải Chọn C G A B S CST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Dựng 1 ; 2 ME AM MN BD . Khi đó 0 0 , , 180 , 180 AM BD ME MN ME MA AMN . Ta có 2 2 2 cos 2. . AM MN AN AMN AM MN 2 2 2 3 1 3 4 4 4 3 1 2. . . . 2 2 AB AB AB AB AB 1 2 3 . Nên cos cos , AM BD 0 cos 180 AMN 1 3 cos 6 2 3 AMN . Câu 21. (VD) Cho hình lập phương . ABCD EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AF và EG ? A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 120 . Lời giải Chọn B Đặt cạnh của hình lập phương trên là a Gọi I là giao trung điểm EG Qua A kẻ đường thẳng // d FI Qua I kẻ đường thẳng // d FA Suy ra d cắt d tại J . Từ đó suy ra , EG AF EIJ 2 2 2 2 IJ AF EI FI AJ a 2 2 2 3 2 EJ AE AJ d' d J I D C A B F E G HST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông 2 2 2 1 cos 60 2. . 2 EI IJ AJ EI EJ Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD có số đo là 0 0 0 180 120 60 . Câu 22. (VD) Cho tứ diện đều . S ABC và , M N lần lượt là trung điểm của BC và SA . Cô-sin góc giữa hai vectơ SM và BN bằng. A. 1 2 . B. 1 . C. 2 3 . D. 1 3 . Lời giải Chọn C Do tam giác SBC đều, tam giác SMA cân tại M nên , SM BM MN SA . Đặt cạnh 2 2 2 3 1 1 ; 2 2 AB SM BN MN SM SN . Ta có: . . .cos , . . cos , . . . . SM BM MN MS MN MS MN SM BN SM MN SM BN SM BN SM BN SM BN SM BN 2 2 . 3 MN SM BN . Câu 23. (VD) Cho hình chóp . S ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B , BC a . Hai mặt phẳng SCA và SCB hợp với nhau một góc o 60 và o 45 BSC . Tính cosin của góc ASB . A. 3 cos = 2 . B. 2 cos = 5 . C. 2 cos = 2 . D. 1 cos = 3 . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Xét ABC kẻ BH vuông góc với AC tại H . Xét SAC kẻ HK vuông góc với SC tại K . Có , BH SC BH SAC HK SC SC BHK o , , 60 . SCA SCB KH KB HKB Có SBC vuông tại B do BC SAB Mà o 45 BSC Do đó SBC vuông cân tại B . 2 , . 2 BK KC a BC BS a Xét BHK vuông tại H có 1 2 6 , . 2 4 4 HK BK a HB a Xét HKC vuông tại K có 2 2 10 4 HC KH KC a Xét ABC có BH AC tại H có 2 2 2 2 . 15 . 5 BC BH AB a BC BH Vậy 10 cos . 5 ASB ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông DẠNG 2: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CHUNG 1. Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b . - Nhận xét a) Nếu a là véctơ chỉ phương của đường thẳng d thì véc tơ ka với 0 k cũng là véctơ chỉ phương của d b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một véc tơ chỉ phương a của nó. c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai véctơ chỉ phương cùng phương. d) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại. e) Nếu u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a và v là véc tơ chỉ phương của đường thẳng b và , u v thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng nếu 0 0 0 90 và bằng 0 180 nếu 0 0 90 180 . Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 o . ', ' 131 48' BC D C . 2. Xác định góc giữa hai đường thẳng bằng phương pháp vectơ. * Phương pháp Tìm hai vectơ chỉ phương 1 2 , u u lần lượt của hai đường thẳng , a b . Khi đó góc giữa hai đường thẳng xác định bởi 1 2 1 2 cos , u u a b u u . Chú ý: , , a b u v nếu 0 , 90 u v . , 180 , a b u v nếu 90 , 180 u v 3.Tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng phương pháp dựng hình. * Phương pháp Để xác định góc tạo bởi hai đường thẳng trong không gian , a b ta làm như sau: Cách 1: - Chọn một điểm O và qua O kẻ các đường thẳng / / , / / a a b b . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông - Chọn tam giác OAB sao cho , A a B b , sử dụng hệ thức lượng để tính giá trị lượng giác góc AOB . Từ đó suy ra góc giữa , a b . Lưu ý: + Ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng , a b , rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại. + Để tính góc giữa hai đường thẳng , a b ta có thể dùng tính chất sau: , , / / a c a b b c Cách 2: - Tìm các vecto chỉ phương của hai đường thẳng này, giả sử các vecto chỉ phương ấy là , u v . - Gọi là góc giữa 2 đường thẳng , a b ta có: . cos cos , . u v u v u v Lưu ý: Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau, ta chỉ cần chứng minh: . 0 AB CD B. BÀI TẬP MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1. (NB) Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc giữa A. Hai đường thẳng cắt nhau và không song song với chúng. B. Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng. C. Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng. D. Hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt vuông góc với chúng. Câu 2. (NB) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c. B. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn. D. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song hoặc trùng với c. Câu 3. (NB) Cho hai đường thẳng , a b lần lượt có véctơ chỉ phương là , u v . Giả sử , 125 u v . Tính góc giữa hai đường thẳng , a b . A. 55 . B. 125 . C. 55 . D. 125 . Câu 4. (NB) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh bằng a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AD CD . Góc giữa hai đường thẳng MN và B D là A. o 90 . B. o 45 . C. o 60 . D. o 30 . Câu 5. (NB) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Số đo góc giữa hai đường thẳng BC , SA bằng b' a' O b a ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 45 . B. 120 . C. 90 . D. 60 . Câu 6. (NB) Cho hình chóp đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Góc giữa hai đường thẳng SA và BC là A. 45 . B. 60 . C. 90 . D. 30 . Câu 7. (NB) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có ; 2 AB a BC a và ; 2 SA ABCD SA a . Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC . A. 45 . B. 135 . C. . 60 D. 90 . Câu 8. (NB) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B . AA AB a . Tính góc giữa đường thẳng AB và BC . A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 90 . Câu 9. (NB) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng A B và AC bằng A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Câu 10. (NB) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Góc giữa hai đường thẳng A C và BD bằng. A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 . Câu 11. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB một góc 45 . Gọi I là trung điểm của cạnh CD . Góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng (Số đo góc được làm tròn đến hàng đơn vị). A. 48 . B. 51 . C. 42 . D. 39 . MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 12. (TH) Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC . Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Câu 13. (TH) Cho hình lăng trụ tứ giác . ABCD A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , 3 AD a . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng A C và BD . A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 . Câu 14. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo góc , MN SB bằng A. 0 45 . B. 0 30 . C. 0 90 . D. 0 60 . Câu 15. (TH) Cho hình lập phương . ABCD EFGH cạnh a . A O C M BST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Hãy xác định góc giữa , EG FA . A. o 90 . B. o 120 . C. o 45 . D. o 60 . Câu 16. (TH) Cho hình chóp . S ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và SA SB SC a . Gọi M là trung điểm của AB . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC . A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 120 . Câu 17. (TH) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos , AB DM bằng: A. 3 6 . B. 2 2 . C. 3 2 . D. 1 2 . Câu 18. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Góc giữa hai đường thẳng BD và A D bằng A. 90 o . B. 0 o . C. 60 o . D. 45 o . Câu 19. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D , góc giữa hai đường thẳng A B và B C là A. 90 . B. 60 . C. 30 . D. 45 . Câu 20. (TH) Cho hình chóp . S ABC có 2 SA BC a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , và SC , 3 MN a . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và BC . A. 30 . B. 150 . C. 60 . D. 120 . Câu 21. (TH) Cho hình chóp đều . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và . BC Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và SC . A. 90 . B. 30 . C. 45 . D. 60 . Câu 22. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D ; gọi M là trung điểm của B C . Góc giữa hai đường thẳng AM và BC bằng A. 45 . B. 90 . C. 30 . D. 60 . Câu 23. (TH) Cho tứ diện ABCD có AB CD a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng 30 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 2 a MN . B. 3 2 a MN . C. 3 3 a MN . D. 4 a MN . Câu 24. (TH) Tứ diện đều có góc tạo bởi hai cạnh đối diện bằng A. 0 90 . B. . C. 0 30 . D. 0 45 . Câu 25. (TH) Cho tứ diện ABCD . Gọi , , M N P là trung điểm , , AB BC CD . Biết góc MNP bằng 0 120 . Góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng A. 0 60 . B. 0 45 . C. 0 120 . D. 0 30 . Câu 26. (TH) Cho tứ diện ABCD có 2 AB CD a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết 3 MN a . Tính góc giữa AB và CD . A. 45 . B. 30 . C. 90 . D. 60 . Câu 27. (TH) Cho hình lăng trụ đứng . ABCD A B C D có ABCD là hình thoi với AB BD AA a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và BC . A. 1 5 . B. 3 5 . C. 1 4 . D. 3 4 . Câu 28. (TH) Cho tứ diện đều ABCD . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Câu 29. (TH) Cho tứ diện OABC có , , OA OB OC đôi một vuông góc với nhau và . OA OB OC Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Câu 30. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có SA a , 2 SB a , 3 SC a , 60 ASB BSC , 90 CSA . Gọi là góc giữa hai đường thẳng SA và BC . Tính cos . A. 7 cos 7 . B. 7 cos 7 . C. cos 0 . D. 2 cos 3 . Câu 31. (TH) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , 2 SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính góc giữa hai đường thẳng SB và . CD A. 0 90 . B. 0 135 . C. 0 60 . D. 0 45 . Câu 32. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA SB AB . Góc giữa SA và CD bằng A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 . Câu 33. (TH) Cho tứ diện ABCD có 4 mặt là tam giác đều. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 . Câu 34. (TH) Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc với ( ) ABC , ABC vuông tại A . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 4 . B. 3 4 . C. 3 . D. 2 . Câu 35. (TH) Cho tứ diện đều ABCD có , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , AB CD . Góc giữa MN và AB bằng A. 0 30 . B. 0 90 . C. 0 60 . D. 0 45 . Câu 36. (TH) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, tam giác SBC là tam giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AD và SB . A. 60 . B. 30 . C. 120 . D. 90 . Câu 37. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi ; M N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và SD . A. 45 . B. 135 . C. 60 . D. 90 . Câu 38. (TH) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a , M là trung điểm cạnh BC . Khi đó, cos , AB DM bằng A. 2 2 . B. 1 2 . C. 3 2 . D. 3 6 . Câu 39. (TH) Cho hình chóp . S ABC có AB AC , SAC SAB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và . BC A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Câu 40. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh , 60 a ABC , SA a và SA ABCD . Gọi M là trung điểm của SB . Tính góc giữa hai đường thẳng SA và CM . A. 45 . B. 60 . C. 90 . D. 30 . Câu 41. (TH) Cho tứ diện . S ABC có SA SB SC AB AC a và 2 BC a . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. 45 . B. 120 . C. 60 . D. 90 . Câu 42. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Số đo góc giữa hai đường thẳng BC,SA bằng A. 0 45 . B. 0 120 . C. 0 90 . D. 0 60 . Câu 43. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có , I J tương ứng là trung điểm của , BC BB . Góc giữa hai đường thẳng , AC IJ bằng A. 30 . B. 120 . C. 60 . D. 40 . Câu 44. (TH) Cho tứ diện ABCD có 2 AB CD AD , 3 AC BD , 1 BC . Khi đó, góc giữa hai đường thẳng BC và DA là A. , 30 BC DA . B. , 90 BC DA . C. , 60 BC DA . D. , 45 BC DA . Câu 45. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng , a cạnh bên bằng 2a (tham khảo hình bên). Cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 1 . 4 B. 1 . 2 C. 1 . 2 D. 1 . 4 Câu 46. (TH) Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB AC AD BC BD a và 2 CD a . Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng A. 30 . B. 90 . C. 45 . D. 60 . Câu 47. (TH) Cho hình lăng trụ đứng .A'B'C'D' ABCD có đáy là hình chữ nhật và 0 40 . CAD Số đo góc giữa hai đường thẳng AC và ' ' B D là A. 0 20 . B. 0 80 . C. 0 40 . D. 0 50 . Câu 48. (TH) Tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 . Câu 49. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi , I J lần lượt là trung điểm của , SC BC . Số đo góc giữa IJ và CD bằng A. o 90 . B. o 30 . C. o 60 . D. o 45 . Câu 50. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc ( , ) IJ CD bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 51. (VD) Cho tứ diện ABCD có 1 AB AC AD ; 60 BAC ; 90 BAD ; 120 DAC . Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng AG và CD , trong đó G là trọng tâm tam giác BCD . A. 1 6 . B. 1 3 . C. 1 6 . D. 1 3 . Câu 52. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật, 2 AB a , BC a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC A. 2 7 . B. 2 35 . C. 2 5 . D. 2 7 . Câu 53. (VD) Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Hãy tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện. A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Câu 54. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD , BB . côsin của góc hợp bởi MN và AC là A. 2 3 . B. 3 3 . C. 5 3 . D. 2 4 . Câu 55. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB AD C D . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và CP . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 3 10 . B. 10 5 . C. 1 10 . D. 15 5 . Câu 56. (VD) Cho tứ diện ABCD biết 4 AB BC CA , 5 AD , 6 CD , 7 BD . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 120 . B. 60 . C. 150 . D. 30 . Câu 57. (VD) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có AB a và 2 AA a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 30 . Câu 58. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC ,C D . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP . A. 60 . B. 90 C. 30 . D. 45 . Câu 59. (VD) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD . Biết AB CD a và 3 2 a MN . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 30 . B. 90 . C. 120 . D. 60 . Câu 60. (VD) Cho tứ diện . S ABC có SA SB SC AB AC a , 2 BC a . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 0 . B. 120 . C. 60 . D. 90 . Câu 61. (VD) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh 4 2 cm a , cạnh bên SC vuông góc với đáy và 2cm SC . Gọi M , N là trung điểm của AB và BC . Góc giữa hai đường thẳng SN và CM là A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Câu 62. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D , gọi I là trung điểm của cạnh AB . Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng A D và B I được kết quả là A. 1 5 . B. 2 5 5 . C. 10 5 . D. 7 4 . Câu 63. (VD) Cho hình chóp có các cạnh , , đôi một vuông góc và . Gọi là trung điểm của . Khi đó góc giữa hai đường thẳng và bằng A. .. B. .. C. . D. . P N M B' C' D' A' A D C B . S ABC SA SB SC SA SB SC I AB SI BC 120 60 90 30 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 64. (VD) Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BCD . Biết tam giác BCD vuông tại C và 6 2 a AB , 2 AC a , CD a . Gọi Elà trung điểm của AD . Góc giữa hai đường thẳng AB và CE bằng A. o 30 . B. o 60 . C. o 45 . D. o 90 . Câu 65. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có , AB a 3 SA a . Gọi G là trọng tâm tam giác . SCD Góc giữa đường thẳng BG và đường thẳng SA bằng A. 33 arccos 22 . B. 330 arccos 110 . C. 3 arccos 11 . D. 33 arccos 11 . Câu 66. (VD) Cho hình chóp đều . S ABC có 9 SA a , 6 AB a . Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho 1 2 SM MC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng A. 1 2 . B. 7 2 48 . C. 19 7 . D. 14 3 48 . Câu 67. (VD) Cho tứ diện ABCD có 2 AB CD a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết 3 EF a , tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 90 . Câu 68. (VD) Cho tứ diện ABCD có AB CD a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD , BC . Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng 30 . A. 2 a MN . B. 3 2 a MN . C. 3 3 a MN . D. 4 a MN . Câu 69. (VD) Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng ( ) BCD . Biết tam giác BCD vuông tại C và 6 , 2 a AB 2, AC a CD a . Gọi E là trung điểm của cạnh AC . Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Câu 70. (VD) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI , với I là trung điểm của AD . A. 3 6 . B. 1 2 . C. 3 4 . D. 3 2 . Câu 71. (VD) Cho hình chóp . S ABC có độ dài các cạnh SA SB SC AB AC a và 2 BC a . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là? A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 . Câu 72. (VD) Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy , H K lần lượt trên các cạnh , AB AD sao cho 3 , 3 BH HA AK KD . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S sao cho 30 SBH . Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC . A. 28 5 39 . B. 18 5 39 . C. 36 5 39 . D. 9 5 39 . Câu 73. (VD) Cho hình hộp . ABCD A B C D có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD , DAA , ' A AB đều bằng 60 . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AA CD . Gọi là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B C , giá trị của cos bằng A. 2 5 . B. 1 5 . C. 3 5 . D. 3 5 10 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 74. (VD) Cho tứ diện . S ABC có ; 2 SA SB SC AB AC a BC a . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 0 . B. 120 . C. 60 . D. 90 . Câu 75. (VD) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của BC . Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng 3 6 . A. , AB DM . B. , AD DM . C. , AM DM . D. , AB AM . Câu 76.(VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , độ dài cạnh bên cũng bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC . Góc giữa MN và SC bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Câu 77. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , SA a , 3 SB a , SAB ABCD . Gọi M , N lượt lần là trung điểm của , AB AC . Tính côsin góc giữa SM và DN . A. 5 cos 4 . B. 2 cos 4 . C. 5 cos 4 . D. 1 cos 2 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1. (NB) Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc giữa A. Hai đường thẳng cắt nhau và không song song với chúng. B. Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng. C. Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng. D. Hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt vuông góc với chúng. Lời giải Chọn C Câu 2. (NB) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c. B. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn. D. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song hoặc trùng với c. Lời giải Chọn D Phương án A: chỉ đúng trong cùng một mặt phẳng nhưng thiếu trường hợp b trùng với c không đúng trong không gian. Phương án B: góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng đó khi góc giữa hai véc tơ chỉ phương là góc nhọn, nếu góc giữa véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng đó là góc tù thì sai. Phương án C: góc giữa hai đường thẳng có thể là góc vuông... Câu 3. (NB) Cho hai đường thẳng , a b lần lượt có véctơ chỉ phương là , u v . Giả sử , 125 u v . Tính góc giữa hai đường thẳng , a b . A. 55 . B. 125 . C. 55 . D. 125 . Lời giải Chọn A Hai đường thẳng , a b lần lượt có véc tơ chỉ phương là , u v và , 125 u v thì góc giữa hai đường thẳng , a b bằng 180 125 55 . Câu 4. (NB) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh bằng a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AD CD . Góc giữa hai đường thẳng MN và B D là A. o 90 . B. o 45 . C. o 60 . D. o 30 . Lời giải Chọn A Ta có / / MN A C mà A C B D MN B D . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 5. (NB) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Số đo góc giữa hai đường thẳng BC , SA bằng A. 45 . B. 120 . C. 90 . D. 60 . Lời giải Chọn D Vì // AD BC nên góc giữa BC và SA là góc giữa AD và SA. Hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng a nên SAD đều, suy ra , 60 AD SA . Câu 6. (NB) Cho hình chóp đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Góc giữa hai đường thẳng SA và BC là A. 45 . B. 60 . C. 90 . D. 30 . Lời giải Chọn B Do // BC AD nên , , SA BC SA AD . Mà tam giác SAD đều nên , 60 SA AD . Vậy , 60 SA BC . Câu 7. (NB) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có ; 2 AB a BC a và ; 2 SA ABCD SA a . Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC . A. 45 . B. 135 . C. . 60 D. 90 . Lời giải Chọn A S B A D C O B D C A S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có // ; ; AD BC SD BC SD AD . Xét SAD vuông tại A có SA AD SAD vuông cân tại A . Suy ra ; ; 45 . SD BC SD AD SDA Câu 8. (NB) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B . AA AB a . Tính góc giữa đường thẳng AB và BC . A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 90 . Lời giải Chọn D Có // , , BC B C AB BC AB B C , A B C A B AA B C ( tính chất lăng trụ đứng) AA B C . B C AA B B B C AB , 90 AB BC . Câu 9. (NB) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng A B và AC bằng A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Lời giải Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có: AB A B A B AB C A B AC B C A B . Vậy góc giữa hai đường thẳng A B và AC bằng 90 . Câu 10. (NB) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Góc giữa hai đường thẳng A C và BD bằng. A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn D Ta có: ; ; 90 A C BD AC BD Câu 11. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAB một góc 45 . Gọi I là trung điểm của cạnh CD . Góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng (Số đo góc được làm tròn đến hàng đơn vị). A. 48 . B. 51 . C. 42 . D. 39 . Lời giải Chọn B Cách 1. Gọi K là trung điểm của AB . Giả sử hình vuông ABCD cạnh a , , 45 SD SAB SA AD a Gọi K là trung điểm của AB . Vì // KD BI nên góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng góc giữa hai đường thẳng KD và SD và là góc SDK . Ta có 5 2 a KD SK , 2 SD a . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi H là trung điểm của SD . Ta có 2 10 2 cos 5 5 2 a HD SDK KD a . Vậy góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng 51 . Cách 2. Giả sử hình vuông ABCD cạnh a , , 45 SD SAB SA AD a . Xét trong không gian tọa độ Oxyz trong đó: O A , , , Ox AB Oy AD Oz AS . Khi đó ta có: ;0;0 B a , ; ;0 2 a I a , 0; ;0 D a , 0;0; S a Suy ra ; ;0 2 a IB a , 0; ; SD a a Mặt khác: 2 2 2 2 2 cos , . 4 a IB SD a a a a 2 10 , 51 IB SD . MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 12. (TH) Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC . Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Lời giải Chọn C Cách 1: A O C M B A B C D y x S z I K H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi N là trung điểm của AC , ta có // ; ; MN AB OM AB OM MN OMN . Do OAB OCB OAC và OA, OB , OC đôi một vuông góc với nhau nên 2 AB OM ON MN ; 60 OM AB OMN . Cách 2: Ta có: 2 2 , OA a 2 2 , OB b 2 2 , OC c . 0, OAOB . 0, OB OC . 0, OC OA 2, AB a 2 2 a OM . Do M là trung điểm của BC nên ; AB OB OA 1 1 2 2 OM OB OC . 1 1 1 . 2 2 2 OM AB OB OA OB OC OB OA OB OC 2 2 1 . . . . 2 2 a OM AB OB OB OC OAOB OAOC 2 . 1 2 cos ; cos ; 2 2 . 2. 2 a OM AB OM AB OM AB a OM AB a ; 60 OM AB . Câu 13. (TH) Cho hình lăng trụ tứ giác . ABCD A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , 3 AD a . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng A C và BD . A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn A Gọi O AC BD Ta có , , A C BD AC BD . A O C M B N ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta đi tính góc AOD Xét tam giác ABD vuông tại A , ta có: 3 tan 30 3 AB BDA BDA OAD AD (do tam giác AOD cân tại O ) 120 AOD Vậy , 180 120 60 A C BD . Câu 14. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo góc , MN SB bằng A. 0 45 . B. 0 30 . C. 0 90 . D. 0 60 . Lời giải Chọn D Ta có: Xét SAD có // MN SA Mà 0 , 60 SA SB ( SAB đều) 0 , 60 MN SB . Câu 15. (TH) Cho hình lập phương . ABCD EFGH cạnh a . Hãy xác định góc giữa , EG FA . A. o 90 . B. o 120 . C. o 45 . D. o 60 . Lời giải Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Vì // AF DG nên o , , 60 EG FA EG DG EGD (vì EDG là tam giác đều). Câu 16. (TH) Cho hình chóp . S ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và SA SB SC a . Gọi M là trung điểm của AB . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC . A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 120 . Lời giải Chọn A Gọi N là trung điểm của AC . Khi đó góc giữa SM và BC bằng góc giữa SM và MN . Ta có: AB BC CA 1 2 SM AB (trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền). 1 2 SN AC (trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền). 1 2 MN BC . Suy ra SM MN SN hay tam giác SMN đều. Do đó ; 60 SM BC SMN . Câu 17. (TH) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos , AB DM bằng: A. 3 6 . B. 2 2 . C. 3 2 . D. 1 2 . N M S B A C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Lời giải Chọn A Giả sử tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a ta có: 3 2 a DM . Ta lại có: . cos , . AB DM AB DM AB DM . . 3 . 2 AB DB AB BM a a . .cos 60 . .cos120 3 . 2 a a a a a a 3 6 . Vậy 3 cos , 6 AB DM . Câu 18. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Góc giữa hai đường thẳng BD và A D bằng A. 90 o . B. 0 o . C. 60 o . D. 45 o . Lời giải Chọn D Ta có / / AD A D nên , , 45 BD A D BD AD Câu 19. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D , góc giữa hai đường thẳng A B và B C là A. 90 . B. 60 . C. 30 . D. 45 . Lời giải Chọn B D C B A M D D' A A' C C' B B' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có // B C A D ; ; A B B C A B A D DA B . Xét DA B có A D A B BD nên DA B là tam giác đều. Vậy DA B 60 . Câu 20. (TH) Cho hình chóp . S ABC có 2 SA BC a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , và SC , 3 MN a . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và BC . A. 30 . B. 150 . C. 60 . D. 120 . Lời giải Chọn C B S A C M N P Q O Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của SB , AC . Khi đó MP , NQ , MQ , PN lần lượt là đường trung bình của tam giác SAB , SAC , ABC , SBC nên // // MP NQ SA ; // MQ // BC PN và 1 2 MP NQ SA a ; 1 2 PN MQ BC a . Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC là góc PMQ và tứ giác MPNQ là hình thoi. Xét hình thoi MPNQ : gọi O giao điểm của hai đường chéo; vì 3 MN a nên 3 2 a MO ; trong tam giác vuông MOQ thì 2 2 3 4 2 a a OQ a PQ a , khi đó tam giác PMQ đều hay 60 PMQ . Câu 21. (TH) Cho hình chóp đều . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và . BC Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và SC . A. 90 . B. 30 . C. 45 . D. 60 . Lời giải Chọn D Vì I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC nên // IJ CD . Suy ra góc giữa IJ và SC là góc giữa SC và CD hay là SCD . Vì SABCD là hình chóp đều nên SCD đều suy ra 60 . SCD ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Hay ( , ) 60 IJ SC . Câu 22. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D ; gọi M là trung điểm của B C . Góc giữa hai đường thẳng AM và BC bằng A. 45 . B. 90 . C. 30 . D. 60 . Lời giải Chọn A Giả sử cạnh của hình lập phương là 0 a . Gọi N là trung điểm đoạn thẳng BB . Khi đó, // MN BC nên , , AM BC AM MN . Xét tam giác A B M vuông tại B ta có: A M 2 2 A B B M 2 2 4 a a 5 2 a . Xét tam giác AA M vuông tại A ta có: 2 2 AM AA A M 2 2 5 4 a a 3 2 a . Có 5 2 a AN A M ; 2 2 2 BC a MN . Trong tam giác AMN ta có: cos AMN 2 2 2 2. . MA MN AN MA MN 2 2 2 9 2 5 4 4 4 3 2 2. . 2 2 a a a a a 2 2 6 4 . 4 6 2 a a 1 2 . Suy ra 45 AMN . Vậy , , AM BC AM MN 45 AMN . Câu 23. (TH) Cho tứ diện ABCD có AB CD a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng 30 . A. 2 a MN . B. 3 2 a MN . C. 3 3 a MN . D. 4 a MN . Lời giải N M C D A D' B' C' A' B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Chọn B Gọi P là trung điểm của AC . Suy ra 1 2 PM CD 1 2 AB PN . Do đó tam giác PMN cân tại P . Lại có góc giữa AB và MN bằng 30 nên góc giữa MN và PN bằng 30 . Vậy tam giác PMN là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120 . Ta có . 3 PN MN nên 3 2 a MN . Câu 24. (TH) Tứ diện đều có góc tạo bởi hai cạnh đối diện bằng A. 0 90 . B. . C. 0 30 . D. 0 45 . Lời giải. Chọn A Trong BCD , gọi H là chân đường cao hạ từ B . H là trung điểm của CD và 1 BH CD 2 AH CD Từ 1 ; 2 CD ABH CD AB Tương tự với các cặp cạnh đối còn lại. Câu 25. (TH) Cho tứ diện ABCD . Gọi , , M N P là trung điểm , , AB BC CD . Biết góc MNP bằng 0 120 . Góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng A. 0 60 . B. 0 45 . C. 0 120 . D. 0 30 . Lời giải A B C D H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Chọn A Vì , M N lần lượt là trung điểm của , AB BC nên // MN AC . , N P lần lượt là trung điểm của , CB CD nên // NP BD . Do đó góc giữa đường thẳng AC và BD bằng góc giữa hai đường thẳng MN và NP và bằng MNP hoặc 0 180 MNP . Từ giả thiết ta có 0 0 120 90 MNP nên góc đường thẳng AC và BD bằng 0 60 . Câu 26. (TH) Cho tứ diện ABCD có 2 AB CD a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết 3 MN a . Tính góc giữa AB và CD . A. 45 . B. 30 . C. 90 . D. 60 . Lời giải Chọn D Kẻ // MP AB , // NP CD nên góc giữa AB và CD là góc giữa MP và NP . 2 2 2 cos 2. . MP NP MN MPN MP NP 2 2 2 2 3 2 a a a a 1 2 120 MPN . Vậy góc giữa AB và CD bằng 60 . Câu 27. (TH) Cho hình lăng trụ đứng . ABCD A B C D có ABCD là hình thoi với AB BD AA a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và BC . A. 1 5 . B. 3 5 . C. 1 4 . D. 3 4 . Lời giải Chọn D N M B D C A P ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông . // , , BC B C AC BC AC B C . ABCD là hình thoi với AB BD AA a 3 2. 3 2 AC a a , 2 2 2 AC AA A C a , 2 AB a . cos , cos AC BC AC B 2 2 2 3 2. . 4 AC B C AB AC B C . Câu 28. (TH) Cho tứ diện đều ABCD . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn D Gọi M là trung điểm của BC . Vì các tam giác DBC và ABC đều nên BC DM BC AM BC ADM BC AD . Câu 29. (TH) Cho tứ diện OABC có , , OA OB OC đôi một vuông góc với nhau và . OA OB OC Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C Gọi I là trung điểm AC lại có M là trung điểm BC MI là đường trung bình của ABC 1 2 MI AB (1) và // MI AB , , OM AB OM MI Xét AOC vuông cân tại O có OI là đường trung tuyến nên 1 2 OI AC . (2) Xét BOC vuông cân tại O có OM là đường trung tuyến nên 1 2 OM BC . (3) Ta có AOC AOB BOC (c.g.c) AB AC BC (cạnh tương ứng) (4) Từ (1), (2), (3), (4) MI OM OI OIM là tam giác đều , 60 OM MI hay , 60 OM AB . Câu 30. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có SA a , 2 SB a , 3 SC a , 60 ASB BSC , 90 CSA . Gọi là góc giữa hai đường thẳng SA và BC . Tính cos . A. 7 cos 7 . B. 7 cos 7 . C. cos 0 . D. 2 cos 3 . Lời giải Chọn A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông cos cos( , ) SA BC . . SA BC SA BC .( ) . SA SC SB SA BC . . . SA SC SA SB SA BC 2 2 .S .cos90 . .cos 60 . 4 9 2.2 .3 .cos 60 SA C SA SB a a a a a 7 7 . Câu 31. (TH) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , 2 SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính góc giữa hai đường thẳng SB và . CD A. 0 90 . B. 0 135 . C. 0 60 . D. 0 45 . Lời giải Chọn D Có / / AB CD , , SB CD SB AB SBA . Tam giác SAB có 1 , 2 A v SA AB a SAB vuông cân tại A 0 45 SBA . 0 , 45 SB CD . Câu 32. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA SB AB . Góc giữa SA và CD bằng A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 . Lời giải Chọn C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Vì ABCD là hình vuông nên // AB CD nên góc giữa SAvà CD bằng góc giữa SAvà AB và bằng SAB hoặc 0 180 SAB . Ta có SA SB AB nên SAB đều 0 0 60 90 SAB . Vậy góc giữa SAvà CD bằng 0 60 . SAB Câu 33. (TH) Cho tứ diện ABCD có 4 mặt là tam giác đều. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 . Lời giải Chọn D Ta có tứ diện ABCD là tứ diện đều. Gọi M là trung điểm của CD , khi đó. ; AM CD BM CD CD ABM CD AB AM BM M AM BM ABM . Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 0 90 . Câu 34. (TH) Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc với ( ) ABC , ABC vuông tại A . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 4 . B. 3 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D Cách 1: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông . .( ) . . 0 AB SC AB AC AS AB AC AB AS . cos( , ) 0 . AB SC AB SC AB SC , 2 AB SC . Cách 2: Ta có AB SA và AB AC AB SAC AB SC Câu 35. (TH) Cho tứ diện đều ABCD có , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , AB CD . Góc giữa MN và AB bằng A. 0 30 . B. 0 90 . C. 0 60 . D. 0 45 . Lời giải Chọn B Do tứ diện đều ABCD nên các cạnh của tứ diện đều bằng nhau. Ta có: 3 3 ; 2 2 AB AB BN AN Xét tam giác ABN là tam giác cân tại N và M là trung điểm của AB MN AB Vậy góc giữa MN và AB bằng 0 90 Câu 36. (TH) Cho hình chóp tứ giác . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, tam giác SBC là tam giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AD và SB . A. 60 . B. 30 . C. 120 . D. 90 . Lời giải Chọn A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên đường thẳng AD song song với đường thẳng BC . Suy ra góc giữa đường thảng AD và đường thẳng SB là góc hai đường thẳng BC và SB , là góc 60 SBC . Câu 37. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi ; M N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và SD . A. 45 . B. 135 . C. 60 . D. 90 . Lời giải : Chọn A Gọi I là trung điểm của SC ta có / / NI SD nên suy ra ; ; MN SD MN NI . Ta có ; ; MI MN IN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác 2 ; ; SCD MI NI ; 2 2 a a SCB BCD MN . Xét MIN ta có 2 2 2 2 2 2 2 4 4 a a a MN MI NI MIN vuông cân tại I . Vậy góc o ; ; 45 MN SD MN NI MNI . Câu 38. (TH) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a , M là trung điểm cạnh BC . Khi đó, cos , AB DM bằng A. 2 2 . B. 1 2 . C. 3 2 . D. 3 6 . Lời giải Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi N là trung điểm của AC / / MN AB , , DM AB DM MN . Ta có 2 a MN , 3 2 a DM DN . 2 2 2 cos 2 . MN MD DN DMN MN MD 1 2 3 2 3 2. 2 a a 3 6 . Câu 39. (TH) Cho hình chóp . S ABC có AB AC , SAC SAB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và . BC A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Lời giải Chọn D Cách 1: Ta có . . . . . .cos . .cos 0. AS BC AS AC AB AS AC AS AB AS AC SAC AS AB SAB Do đó số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90 . Cách 2: Vì AB AC , SAC SAB nên SAC SAB , suy ra SB SC , nên hai tam giác ABC và SBC là tam giác cân. Gọi H là trung điểm BC , ta có AH BC SAH BC SH BC . Vậy SA BC . Câu 40. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh , 60 a ABC , SA a và SA ABCD . Gọi M là trung điểm của SB . Tính góc giữa hai đường thẳng SA và CM . A. 45 . B. 60 . C. 90 . D. 30 . N A B C D M ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của AB , suy ra // MH SA , do đó , , SA CM MH CM . Ta có 1 2 2 a MH SA , tam giác ABC đều cạnh a nên 3 2 a CH . Xét tam giác MHC vuông tại H có 3 2 tan 3 60 2 a CH HMC HMC a MH . Vậy , 60 MH CM hay , 60 SA CM . Câu 41. (TH) Cho tứ diện . S ABC có SA SB SC AB AC a và 2 BC a . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. 45 . B. 120 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi M là trung điểm của BC . Ta có: 2 2 2 BC AB AC nên tam giác ABC vuông cân tại A . Và 2 2 2 BC SB SC nên tam giác SBC vuông cân tại S . Vẽ hình chữ nhật (cũng là hình vuông) ABDC , AB SC SCD và SC CD a . H M C A D B S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông 2 2 2 2 2 2 a a AM SM MD a . SAM vuông tại M . SM BC ABCD SM ABCD SM AM ABCD SM MD . 2 2 2 SD SM MD 2 2 2 2 2 2 a a 2 2 2 2 a a SD a . Suy ra tam giác SCD đều , 60 AB SC SCD . Cách 2: . . cos , . . SC SB SA SC AB SC AB SC AB SC AB . .cos . .cos . SC SB BSC SC SA ASC SC AB . .cos90 . .cos60 1 . 2 a a a a a a ; 120 SC AB . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và SC là 60 . Câu 42. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Số đo góc giữa hai đường thẳng BC,SA bằng A. 0 45 . B. 0 120 . C. 0 90 . D. 0 60 . Lời giải Chọn D Ta có: // BC AD , SA BC , SA AD SAD (vì tam giác SADđều). Câu 43. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có , I J tương ứng là trung điểm của , BC BB . Góc giữa hai đường thẳng , AC IJ bằng A. 30 . B. 120 . C. 60 . D. 40 . Lời giải Chọn C Do // IJ B C nên góc giữa hai đường thẳng , AC IJ bằng góc giữa hai đường thẳng , AC B C bằng góc B CA 60 (vì . ABCD A B C D là hình lập phương nên AB C là tam giác đều). 60 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 44. (TH) Cho tứ diện ABCD có 2 AB CD AD , 3 AC BD , 1 BC . Khi đó, góc giữa hai đường thẳng BC và DA là A. , 30 BC DA . B. , 90 BC DA . C. , 60 BC DA . D. , 45 BC DA . Lời giải Chọn D A B C D 1 2 3 2 3 . . . .cos 1 cos , cos , . 2 2 2 . BD BA BC AD BC BD BC BC BD DBC AD BC AD BC AD BC AD BC 0 , 45 AD BC . Câu 45. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng , a cạnh bên bằng 2a (tham khảo hình bên). Cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 1 . 4 B. 1 . 2 C. 1 . 2 D. 1 . 4 Lời giải Chọn D , , . AB SC CD SC SCD Áp dụng định lý cosin cho tam giác SCD có 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 2 . 2.2 . 4 a a a SC CD SD C SC CD a a Câu 46. (TH) Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB AC AD BC BD a và 2 CD a . Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng A. 30 . B. 90 . C. 45 . D. 60 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Lời giải Chọn D Gọi M , N , I , K lần lượt là trung điểm các cạnh BD , DC , AC , AB thì MNIK là hình thoi. KCD cân tại K nên KN CD 2 2 KN KD ND 2 2 3 2 2 2 2 a a a NIK là tam giác đều 60 NIK , , AD BC IN IK 60 NIK . Câu 47. (TH) Cho hình lăng trụ đứng .A'B'C'D' ABCD có đáy là hình chữ nhật và 0 40 . CAD Số đo góc giữa hai đường thẳng AC và ' ' B D là A. 0 20 . B. 0 80 . C. 0 40 . D. 0 50 . Lời giải Chọn B Gọi Olà giao điểm của BD và AC . Vì ' ' B D BD nên ' ', AC , AC , B D BD với 0 0 0 90 . Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên OA OD hay OAD cân tại O. Do đó 0 40 . ODA OAD Suy ra 0 100 . AOD Vậy 0 80 . Câu 48. (TH) Tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 . Lời giải Chọn B a 2a K I M N D C B A O B' A' D' C' B A D C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi M là trung điểm CD . Khi đó CD AM CD ABM CD AB CD BM . Câu 49. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi , I J lần lượt là trung điểm của , SC BC . Số đo góc giữa IJ và CD bằng A. o 90 . B. o 30 . C. o 60 . D. o 45 . Lời giải Chọn C Ta có o / / , / / , , 60 IJ SB CD AB IJ CD SB AB . Câu 50. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc ( , ) IJ CD bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn B A D C B M ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông O AC BD O là trung điểm của BD và AC OJ song song với DC ( , ) ( , ) IJ CD IJ OJ IJO OJ là đường trung bình BCD 1 2 2 a OJ CD IJ là đường trung bình SBC 1 2 2 a IJ SB lại có OI là đường trung bình SAC 1 2 2 a OI SA OIJ là tam giác đều 60 IJO ( , ) 60 IJ CD MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 51. (VD) Cho tứ diện ABCD có 1 AB AC AD ; 60 BAC ; 90 BAD ; 120 DAC . Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng AG và CD , trong đó G là trọng tâm tam giác BCD . A. 1 6 . B. 1 3 . C. 1 6 . D. 1 3 . Lời giải Chọn C * ABC đều 1 BC . * ACD cân tại A có 2 2 2 . .cos120 3 CD AC AD AC AD . * ABD vuông cân tại A có 2 BD . * BCD có 2 2 2 CD BC BD BCD vuông tại B . Dựng đường thẳng d qua G và song song CD , cắt BC tại M . M G I B D C A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có // MG CD , , AG CD AG MG . Gọi I là trung điểm của BC , xét BDI vuông tại B có 2 2 DI BD BI 2 1 3 2 2 2 . Ta có 1 3 IM MG IG IC CD ID 1 . 3 IM IC 1 . 3 2 BC 1 6 ; 1 3 . 3 3 MG CD ; 1 1 . 3 2 IG ID . Xét AIM vuông tại I có 2 2 AM AI IM 2 2 3 1 7 2 6 3 . 2 2 2 cos 2 . AI ID AD AID AI ID 2 2 2 3 3 1 2 2 4 3 9 3 3 2. . 2 2 2 2 2 . .cos AG AI IG AI IG AID 2 2 3 1 3 1 4 3 3 2. . . 2 2 2 2 9 3 . Xét AMG có cos , cos AG MG AGM 2 2 2 2. . AG GM AM AG GM 2 2 2 3 3 7 3 3 3 1 6 3 3 2. . 3 3 . Câu 52. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật, 2 AB a , BC a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC A. 2 7 . B. 2 35 . C. 2 5 . D. 2 7 . Lời giải Chọn B , SC ABCD , SC CH 0 60 SCH . . cos , . SB AC SB AC SB AC . SB AC SH HB AB BC . . . . SH AB SH BC HB AB HB BC A D B C S H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông . . HB AB HB BC 2 2 1 2 2 AB a 5 AC a , 2 2 2 CH a a a , .tan 6 SH CH SCH a . 2 2 SB SH HB 2 2 6 7 a a a . . cos , . SB AC SB AC SB AC 2 2 7. 5 a a a 2 35 . Câu 53. (VD) Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Hãy tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện. A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Lời giải Chọn D Xét cặp cạnh đối AB và CD của tứ diện, ta có: . . . AB CD CB CA CD CB CD CACD 1 1 . .cos60 . .cos60 . . . . 0 2 2 CB CD CACD a a a a . Vậy , 90 AB CD . Câu 54. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD , BB . côsin của góc hợp bởi MN và AC là A. 2 3 . B. 3 3 . C. 5 3 . D. 2 4 . Lời giải Chọn A Cách 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở là AB , AD , AA .Giả sử độ dài cạnh của hình lập phương là a . Ta có: AC AB AD AA , 3 AC a 1 1 2 2 MN AB AA AD , 6 2 a MN 1 1 . 2 2 2 cos , 3 6 3. 2 AB AD AA AB AA AD AC MN AC MN a AC MN a Vậy côsin của góc hợp bởi MN và AC là 2 3 B C D A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Cách 2: Gọi độ dài cạnh hình lập phương . ABCD A B C D là a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O A , B Ox , D Oy , A Oz . Khi đó, tọa độ các đỉnh: 0;0;0 A , ;0;0 B a , 0; ;0 D a , 0;0; A a , ;0; B a a , ; ; C a a a . M là trung điểm của 0; ;0 2 a AD M N là trung điểm của ;0; 2 a BB N a Do đó ; ; 2 2 a a MN a ; ; ; AC a a a Cosin góc giữa AC và MN là 2 . 2 cos , cos , 3 6 . 3. 2 MN AC a MN AC MN AC MN AC a a . Câu 55. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB AD C D . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và CP . A. 3 10 . B. 10 5 . C. 1 10 . D. 15 5 . Lời giải Chọn C Gọi Q là trung điểm B C . Khi đó // PQ MN . Ta có , , MN CP PQ CP CPQ vì tam giác CPQ cân tại C do 5 2 a CP CQ . P N M B' C' D' A' A D C B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi H trung điểm PQnên CH PQ ; 2 2 a PQ 2 4 a PH . Vậy 2 2 1 cos . 4 5 10 PH a CPH CP a . Câu 56. (VD) Cho tứ diện ABCD biết 4 AB BC CA , 5 AD , 6 CD , 7 BD . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 120 . B. 60 . C. 150 . D. 30 . Lời giải Chọn B Khi đó . . . .cos . .cos AB CD CB CA CD CB CD BCD CACD ACD 2 2 2 2 2 2 . . . . 2. . 2. . CB CD BD CA CD AD CB CD CA CD CB CD CA CD 2 2 2 2 12 2 CB AD BD CA Suy ra . cos , . AB CD AB CD AB CD 12 1 4.6 2 , 60 AB CD . Câu 57. (VD) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có AB a và 2 AA a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 30 . Lời giải Chọn A B D C A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có . AB BC AB BB BC CC . . . . AB BC AB CC BB BC BB CC . . . . AB BC AB CC BB BC BB CC 2 2 2 3 0 0 2 2 2 a a a . Suy ra . cos , . AB BC AB BC AB BC 2 3 1 2 , 60 2 3. 3 a AB BC a a . Câu 58. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC ,C D . Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP . A. 60 . B. 90 C. 30 . D. 45 . Lời giải Chọn D Ta có tứ giác AMC P là hình bình hành nên // AP MC , , MN AP MN MC NMC . Gọi cạnh hình vuông có độ dài bằng a . Xét tam giác C CM vuông tại C có 2 2 2 2 2 3 2 a C M C C MC C C BC MB . Xét tam giác C CN vuông tại C có 2 2 5 2 a C N C C CN . Mà 2 2 2 AC a MN . Xét tam giác C CM có 2 2 2 2 cos 2 . 2 MC MN C N NMC MC MN 45 NMC , 45 MN AP . C' B' A C B A' P N M A B C D B' C' D' A' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 59. (VD) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD . Biết AB CD a và 3 2 a MN . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 30 . B. 90 . C. 120 . D. 60 . Lời giải Chọn D Gọi E lần lượt là trung điểm của BD . Vì || || AB NE CD ME nên góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng NE và ME . Trong tam giác MNE ta có: 2 2 2 2 2 2 2 3 1 4 4 4 cos 2 . 2 2. 4 a a a ME NE MN MEN a ME NE Suy ra 120 MEN . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 60 . Câu 60. (VD) Cho tứ diện . S ABC có SA SB SC AB AC a , 2 BC a . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 0 . B. 120 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C Gọi H , M , N lần lượt là trung điểm BC , AC và SA. Do 2 2 2 2 2 BC a AB AC nên tam giác ABC vuông cân tại A H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Do SA SB SC nên SH ABC . E N M C B D A N M H A B C S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Lại có: // HM AB và // MN SC nên góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng góc giữa hai đường thẳng HM và MN , đặt góc đó là . Nhận thấy: 2 a MN MH . Tam giác SBC có 2 2 2 2 SB SC a a 2 2 2a BC SBC vuông cân tại S 2 BC SH 2 2 a AH 2 2 2 2 SH AH a SA HSA vuông cân tại H 2 2 SA a HN 2 a MN HM HN MNH đều 60 NMH 60 . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 60 . Câu 61. (VD) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh 4 2 cm a , cạnh bên SC vuông góc với đáy và 2cm SC . Gọi M , N là trung điểm của AB và BC . Góc giữa hai đường thẳng SN và CM là A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn C Gọi I là trung điểm của BM , ta có // NI CM nên góc giữa SN và CM là góc giữa SN và NI . Xét tam giác SNI có 2 2 SN SC CN 4 8 2 3 ; 1 1 3 4 2. 6 2 2 2 NI CM ; 2 2 CI CM MI 24 2 26 2 2 SI SC CI 4 26 30 . Vậy 2 2 2 cos 2 . SN NI SI SNI SN NI 12 6 30 12 2 2 2.2 3. 6 3 2.4 135 SNI . Vậy góc giữa SN và CM bằng 45 . Câu 62. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D , gọi I là trung điểm của cạnh AB . Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng A D và B I được kết quả là A. 1 5 . B. 2 5 5 . C. 10 5 . D. 7 4 . Lời giải Chọn C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi độ dài cạnh hình lập phương là 0 a . Ta có , , B C D A D B I B I B C . Tính được 2 2 5 ; 2 2 2 a a B I a CI B C a . Trong tam giác B CI có 2 2 2 2 2 5 5 2 2 2 2 10 cos 5 5 10 2. . 2 2 a a a a IB C a a a . Vậy 10 cos , 5 A D B I . Câu 63. (VD) Cho hình chóp có các cạnh , , đôi một vuông góc và . Gọi là trung điểm của . Khi đó góc giữa hai đường thẳng và bằng A. .. B. .. C. . D. . Lời giải Chọn B Giả sử SA SB SC a . . . 1 cos ; 2 . . SA SB SC SB SI BC SI BC SI BC SI BC 2 1 . . . 2 . SA SC SA SB SB SC SB SI BC . S ABC SA SB SC SA SB SC I AB SI BC 120 60 90 30 I A B C S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông 2 2 1 1 1 2 2 2 2 . . 2 2 SB a a SI BC a . (Vì hình chóp có các cạnh , , đôi một vuông góc nên . 0 SA SB ; . 0 SA SC và . 0 SB SC ). Suy rA. 0 ; 120 SI BC . Do đó góc giữa hai đường thẳng và bằng 0 0 0 180 120 60 . Câu 64. (VD) Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BCD . Biết tam giác BCD vuông tại C và 6 2 a AB , 2 AC a , CD a . Gọi Elà trung điểm của AD . Góc giữa hai đường thẳng AB và CE bằng A. o 30 . B. o 60 . C. o 45 . D. o 90 . Lời giải Chọn C Ta có 2 2 BC AC AB 2 2 a , 6 2 a BD . Gọi M là trung điểm BD // ME AB , 1 6 2 4 a ME AB , 2 BD CM 6 4 a CME vuông cân tại M . Ta có , , AB CE EM CE o 45 CEM . Câu 65. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có , AB a 3 SA a . Gọi G là trọng tâm tam giác . SCD Góc giữa đường thẳng BG và đường thẳng SA bằng A. 33 arccos 22 . B. 330 arccos 110 . C. 3 arccos 11 . D. 33 arccos 11 . Lời giải Chọn D . S ABC SA SB SC SI BC ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi O là tâm mặt đáy ABCD . Do . S ABCD là hình chóp đều nên ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ. 2 2 a OA OB OC OD . Tam giác SAO vuông tại O : 2 2 10 2 a SO SA OA . Ta có: 2 ;0;0 2 a A , 2 0; ;0 2 a B , 2 ;0;0 2 a C , 2 0; ;0 2 a D , 10 0;0; 2 a S . G là trọng tâm tam giác SCD nên: 2 2 10 ; ; 6 6 6 a a a G . 2 10 ;0; 2 2 a a SA , 2 2 2 10 ; ; 6 3 6 a a a BG . 2 2 5 . 6 6 33 33 cos , , arccos 11 11 11 . 3. 3 a a SA BG SA BG SA BG a SA BG a . Câu 66. (VD) Cho hình chóp đều . S ABC có 9 SA a , 6 AB a . Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho 1 2 SM MC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng A. 1 2 . B. 7 2 48 . C. 19 7 . D. 14 3 48 . Lời giải Chọn D y x z G O D C B A S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi N là trung điểm của MC , I là trung điểm AC , K trên CB sao cho 2 CK a . Khi đó ta có // , , // AM NI AM SB NI NK SB NK . Trong tam giác 2 2 2 1 cos 2 . 3 CA CS SA SAC C CA CS Trong tam giácCNI ta có 2 2 2 . .cos 2 3 IN CN CI CN CI C a . Trong tam giác CIK ta có 2 2 2 . .cos 60 7 IK CI CK CI CK a . Trong tam giác NIK có 2 2 2 7 3 cos 2 . 18 NI NK IK INK NI NK . Vậy côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng 14 7 3 18 3 48 . Câu 67. (VD) Cho tứ diện ABCD có 2 AB CD a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết 3 EF a , tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 90 . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của AC . Suy ra: // ME AB , 1 2 ME AB a và // MF CD , 1 2 MF CD a . Suy ra: , , AB CD ME MF Ta có: 2 2 2 1 cos 2 . 2 ME MF EF EMF ME MF 120 EMF S 3a a 7 2a 3 2a 3a 3a 3a 3a K I N M C B A M F E A B C D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Vậy , 180 60 AB CD EMF . Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng thuộc 0 ;90 ; còn góc giữa hai vector thuộc 0 ;180 . Câu 68. (VD) Cho tứ diện ABCD có AB CD a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD , BC . Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng 30 . A. 2 a MN . B. 3 2 a MN . C. 3 3 a MN . D. 4 a MN . Lời giải Chọn B Gọi P là trung điểm AC , / / NP AB ; ; ; MN AB MN NP MNP . 2 a PM PN ; 30 120 MNP MPN . 2 2 2. . .cos120 MN NP MP PM PN 3 2 a . Câu 69. (VD) Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng ( ) BCD . Biết tam giác BCD vuông tại C và 6 , 2 a AB 2, AC a CD a . Gọi E là trung điểm của cạnh AC . Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm của cạnh BC . Ta có / / AB BCD EH BCD AB EH EH HD và góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng góc giữa EH và DE bằng góc HED . Lại có CD BC CD AC CD AB . H C B D E A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Xét tam giác ECD vuông tại C , 2 2 ED EC CD 2 2 2 6 2 2 a a a . Xét tam giác EHD vuông tại H có cos EH HED ED 6 1 4 2 6 2 a a 60 HED . Câu 70. (VD) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI , với I là trung điểm của AD . A. 3 6 . B. 1 2 . C. 3 4 . D. 3 2 . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của BD . Ta có: // IM AB . , AB IC , IM IC . cos , AB IC cos , IM IC cos , IM IC cos MIC . Mà: cos MIC 2 2 2 2. . MI IC MC MI IC 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2. . 2 2 a a a a a 3 6 . cos , AB IC cos MIC 3 6 . Câu 71. (VD) Cho hình chóp . S ABC có độ dài các cạnh SA SB SC AB AC a và 2 BC a . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là? A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 . Lời giải Chọn C M I B C D A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có 2 BC a nên tam giác ABC vuông tại A . Vì SA SB SC a nên hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tam giác ABC vuông tại A nên I là trung điểm của BC . Ta có cos , AB SC cos , AB SC . . AB SC AB SC . . AB SC AB SI IC . AB SI 1 . 2 BA BC 1 . .cos 45 2 BA BC 2 2 a . cos , AB SC 2 2 2 a a 1 2 , AB SC 60 . Cách 2: cos , AB SC cos , AB SC . . AB SC AB SC Ta có . AB SC SB SA SC . . SB SC SA SC . .cos90 . .cos 60 SB SC SA SC 2 2 a . Khi đó 2 2 2 1 cos , 2 a AB SC a Câu 72. (VD) Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy , H K lần lượt trên các cạnh , AB AD sao cho 3 , 3 BH HA AK KD . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S sao cho 30 SBH . Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC . A. 28 5 39 . B. 18 5 39 . C. 36 5 39 . D. 9 5 39 . Lời giải Chọn B Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có ABD BCH . 90 ABD BCH HEB . E A B D C H K I ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có: cos ; cos ; cos SE BC SE EI SEI , .tan 30 3 SH BH a . 2 9 5 HB HE HB a HE HC HB HC , 2 2 2 2 81 2 39 3 25 5 a a SE SH HE a . 2 27 25 HE HI HE a HI HB HE HB , 2 2 2 2 27 2 651 3 25 25 a a SI SH HI a . 9 36 25 25 EI HI a EI BC HB Áp dụng định lý cosin cho tam giác SEI ta đượC. 2 2 2 2 2 2 2 39 36 2 651 5 25 25 18 cos 2. . 2 39 36 5 39 2. . 5 25 a a a SE EI SI a SEI SE EI a a . Câu 73. (VD) Cho hình hộp . ABCD A B C D có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD , DAA , ' A AB đều bằng 60 . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AA CD . Gọi là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và B C , giá trị của cos bằng A. 2 5 . B. 1 5 . C. 3 5 . D. 3 5 10 . Lời giải Chọn D E A D C B S H K I ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi P là trung điểm DC Ta có // // B C A D MN A P . Suy ra cos , cos , cos MN B C A P A D DA P Do ' 60 BAD DAA A AB và các cạnh hình hộp bằng a . Do đó 1 3 , 3, 2 2 a A D a C D C A a DP DC Xét tam giác A C D với A P là đường trung tuyến, nên ta có: 2 2 2 2 2 5 4 2 A D C A C D A P A P a Áp dụng định lý cosin cho tam giác A DP , ta có: 2 2 2 3 5 cos 2. . 10 A D A P DP DA P A D A P Như vậy 3 5 cos , cos , cos 10 MN B C A P A D DA P . Câu 74. (VD) Cho tứ diện . S ABC có ; 2 SA SB SC AB AC a BC a . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 0 . B. 120 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của , , BC SB SA . Góc giữa AB và SC là góc giữa PN và MN . 2 a MN NP 2 2 3 2 a PC BP PM PC CM 2 2 3 2 2 2 2 a a a Suy ra tam giác MNP là tam giác đều 60 MNP . Vậy góc giữa AB và SC bằng 60 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 75. (VD) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của BC . Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng 3 6 . A. , AB DM . B. , AD DM . C. , AM DM . D. , AB AM . Lời giải Chọn A Gọi cạnh của tứ diện có độ dài là a . Ta có: 3 2 a AM DM . Xét tam giác ADM cân tại M có: 2 2 2 cos 2. . AM DM AD AMD AM DM 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2. . 2 2 a a a a a 1 3 . 2 2 2 cos 2. . DM AD AM ADM AD DM 2 2 2 3 3 2 2 3 2. . 2 a a a a a 1 3 . Xét tam giác đều ABC có AM là đường trung tuyến và là đường phân giác nên , 30 AB AM 3 cos , 2 AB AM . Từ đó loại trừ đáp án B, C, Gọi N là trung điểm của AC . Ta có // MN AB , , AB DM MN DM . Xét tam giác MND có: 2 2 2 cos 2. . MN DM ND NMD MN DM 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2. . 2 2 a a a a a 3 6 . C D N M B A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Suy ra 3 cos , 6 AB DM . Câu 76. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , độ dài cạnh bên cũng bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC . Góc giữa MN và SC bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A Gọi P là trung điểm của SB , ta có // , , SC NP MN SC MN NP MNP . Mà 1 2 2 a MP AB ; 1 2 2 a NP SC ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 4 4 SC AC SA a a a a MC ; 3 2 a MB . 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 2 2 4 4 3 4 4 4 a a a MC MB BC a MN . Do đó 2 2 2 3 3 2 cos 2. . 2 2 2. 2 a NP MN MP MN MNP a NP MN NP . Vậy 30 MNP . Câu 77. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , SA a , 3 SB a , SAB ABCD . Gọi M , N lượt lần là trung điểm của , AB AC . Tính côsin góc giữa SM và DN . A. 5 cos 4 . B. 2 cos 4 . C. 5 cos 4 . D. 1 cos 2 . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi P là trung điểm của AD , H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống AB . Theo giả thiết SAB ABCD nên SH ABCD . Xét tam giác SAB có 2 2 2 AB SA SB SAB vuông tại S . Ta có: / / MP DN do đó góc giữa SM và DN là góc giữa SM và MP . Xét tam giác SAB có: 1 2 SM AB a và . 3 2 SA SB a SH AB 2 2 2 a AH SA SH . Ta lại có: 1 2 2 MP BD a . Mặt khác: 2 2 5 2 a HP HA AP . Do đó: 2 2 2 SP SH HP a . Xét tam giác SHP có 2 2 2 cos 2. . SM MP SP SMP SM MP 2 2 2 2 2 1 2 4 2. . 2 2 2 a a a a a . 2a a 3 a P N M D S A B C HST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông DẠNG 3: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. A. KIẾN THỨC CHUNG 1. Xác định góc bằng định nghĩa * Định nghĩa: Góc của đường xiên d và mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi d và hình chiếu vuông góc của d lên . *Phương pháp tính góc của d và - Tìm giao điểm I của d và mặt phẳng . - Chọn A trên d , vẽ AH mp thì góc của d và mp là AIH . - Dùng tỉ số lượng giác hoặc hệ thức lượng trong tam giác tính được góc này. 2. Tính góc dùng khoảng cách Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P là góc giữa d và hình chiếu của nó lên P . Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P thì 0 90 . Trước hết tìm giao điểm A của d và P . Trên d chọn điểm B khác A , dựng BH vuông góc với P tại H . Suy ra AH là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng P . Vậy góc giữa d và P là BAH . Nếu việc xác định góc giữa d và P gặp khó khăn ( không chọn được điểm B để dựng BH vuông góc với P ) thì ta sự dụng công thức sau đây: Gọi là góc giữa d và P , suy ra , sin d M P AM . Ta phải chọn điểm M trên d sao cho có thể tính được khoảng cách đến P , còn A là giao điểm của d và P . B. BÀI TẬP Câu 1. (NB) Cho hình chóp . S ABC có SA ABC , góc giữa SB và mặt phẳng ABC là A. SBA . B. SAB . C. SBC . D. SCB . d' d P M A HST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 2. (NB) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , 2 AD a , 3 SA a và SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD là A. SAD . B. ASD . C. SDA . D. BSD . MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 3. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có SA AB a , gọi O AC BD , gọi là góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 60 . B. 45 . C. 2 tan 2 . D. 30 . Câu 4. (TH) Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C có 3 AB và 1 AA . Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC và ABC bằng A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 75 . Câu 5. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và hai mặt phẳng SAC , SBD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây? A. , SB SA . B. , SB SO . C. , SB BD . D. , SO BD . Câu 6. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a SD a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SBD . A. 45 . B. 1 arcsin 4 . C. 30 . D. 60 . Câu 7. (TH) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 30 . B. 75 . C. 60 . D. 45 . Câu 8. (TH) Cho chóp . S ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B . Biết SA AB BC . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC . A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 1 cos 3 arc . Câu 9. (TH) Cho hình chóp . S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB a , 2 BC a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và 15 SA a . Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD . A. 0 30 . B. 0 60 . C. 0 45 . D. 0 90 . Câu 10. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , 2 SA a . Gọi là góc giữa SC và mặt phẳng ABCD . Giá trị của tan là A. 2 2 . B. 1. C. 45 . D. 2 . Câu 11. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với ( ), 5 ABCD SB a . Tính tan góc giữa SC và mặt phẳng ( ). SAB ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 1 6 . B. 1 5 . C. 1 3 . D. 1 4 Câu 12. (TH) Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AB và là góc tạo bởi đường thẳng MC và mặt phẳng ABC . Khi đó tan bằng A. 7 7 2 . B. 2 3 . C. 7 3 . D. 3 3 2 . Câu 13. (TH) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của đường thẳng BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Số đo góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 75 . Câu 14. (TH) Cho lăng trụ đều . ABC A B C có AB a; 2 AA a . Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BCC B . A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 . Câu 15. (TH) Cho lăng trụ đều . ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng A B C bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Câu 16. (TH) Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AB và là góc tạo bởi MC và mặt phẳng ABC . Khi đó tan bằng: A. 2 7 7 . B. 3 2 . C. 3 7 . D. 2 3 3 . Câu 17. (TH) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC là trung điểm của cạnh BC . Biết SBC đều, tính góc giữa SA và ABC . A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 30 . Câu 18. (TH) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, góc 60 ADC . Gọi O là giao điểm của AC và BD, SO ABCD và SO = 3a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD bằng A. 60 o . B. 75 o . C. 30 o . D. 45 o . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 19. (TH) Cho hình chóp . S ABC có SA SB SC , 90 ASB , 60 BSC , 120 ASC . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC . A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Câu 20. (TH) Cho hình chóp . S ABC có 3 2 a SA SB SC , đáy là tam giác vuông tại A , cạnh BC a . Tính côsin của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC . A. 3 2 . B. 1 3 . C. 1 3 . D. 1 5 . Câu 21. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 2 AB a , AD a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy. 3 SA a . Cosin của góc giữa SC và mặt đáy bằng A. 5 4 . B. 7 4 . C. 6 4 . D. 10 4 . Câu 22. (TH) Cho tứ diện đều ABCD . Cosin góc giữa AB và mp BCD bằng: A. 3 2 . B. 3 3 . C. 1 3 . D. 2 3 . Câu 23. (TH) Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D có cạnh bằng a . Gọi là góc giữa đường thẳng ' A B và mặt phẳng ( ' ' ) BB D D . Tính sin . A. 3 5 . B. 3 2 . C. 1 2 . D. 3 4 . Câu 24. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều .A S BCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABCD bằng A. , với cot 3 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Câu 25. (TH) Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D cạnh a . Điểm M thuộc tia ' DD thỏa mãn 6 DM a . Góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD là A. 30 o . B. 45 o . C. 75 o . D. 60 o . Câu 26. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O . Cạnh bên 2 SA a và vuông góc với mặt đáy ABCD . Gọi là góc giữa SO và mặt phẳng ABCD thì A. tan 2 2. B. tan 3. C. tan 2. D. tan 1. B D C AST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 27. (TH) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại , A AB AA a (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ABB A . A. 2 2 . B. 6 3 . C. 2 . D. 3 3 . MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 28. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E , M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SA , là góc tạo bởi đường thẳng EM và mặt phẳng SBD . Giá trị của tan bằng A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Câu 29. (VD) Cho hình chóp . S ABC có SA ABC , tam giác ABC đều cạnh a và SA a . Tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB bằng A. 3 5 . B. 3 2 2 . C. 1. D. 1 2 . Câu 30. (VD) Cho tứ diện đều ABCD . Cosin góc giữa AB và mặt phẳng BCD bằng A. 3 2 . B. 3 3 . C. 1 3 . D. 2 3 . Câu 31. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E ; M lần lượt là trung điểm của BC và SA . Gọi là góc tạo bởi EM và SBD . Khi đó tan bằng: A. 1. B. 2 . C. 2 . D. 3 . Câu 32. (VD) Cho hình lăng trụ . ABC A B C có 10 4 a AA , 2 AC a , BC a , 135 ACB . Hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M của AB . Tính góc tạo bởi đường thẳng C M với mặt phẳng ACC A . A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 . Câu 33. (VD) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , 60 ADC . Gọi O là giao điểm của AC và BD , SO ABCD và SO a . Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD bằng A. 60 . B. 75 . C. 30 . D. 45 . A C B A C B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 34. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , 2 , AD a AB BC a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SAC . A. 36 33 . B. 26 57 . C. 26 33 . D. 30 33 . Câu 35. (VD) Cho hình chóp đều . S ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a . Giá trị côsin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy là A. 3 6 . B. 3 4 . C. 3 12 . D. 33 6 . Câu 36. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, 2 SA a . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên các cạnh SB , SD . Góc giữa mặt phẳng AMN và đường thẳng SB bằng A. 45 . B. 120 . C. 90 . D. 60 . Câu 37. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên 2 SA a và vuông góc với đáy. Gọi là góc giữa SA và SBC . Khi đó A. 1 5 cos . B. 2 5 cos . C. 1 2 5 cos . D. Đáp án khác. Câu 38. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , 3 2 a SA a và SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và ABCD là: A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 . Câu 39. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA ABCD và 2 SA a . Gọi M là trung điểm SB . Tính tan góc giữa đường thẳng DM và ABCD . A. 5 5 . B. 2 5 . C. 2 5 . D. 10 5 . Câu 40. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi O là tâm của đáy và , M N lần lượt là trung điểm của , SA BC . Nếu góc giữa đường thẳng MN và ABCD bằng 60 thì độ dài đoạn MN là A. 2 2 a . B. 2 a . C. 5 2 a . D. 10 2 a . Câu 41. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , , 2 AB BC a AD a , SA vuông góc với mặt đáy ABCD , SA a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , SB CD . Tính cosin của góc giữa MN và SAC . A. 3 5 10 . B. 2 5 . C. 1 5 . D. 55 10 . Câu 42. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có SAvuông góc với mặt phẳng đáy, ABCD là hình chữ nhật có 3 , 5 AD a AC a , góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 0 45 . Khi đó côsin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 7 5 . B. 4 5 . C. 2 2 5 . D. 17 5 . Câu 43. (VD) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có độ dài cạnh đáy bằng a . Độ dài cạnh bên của hình chóp bằng bao nhiêu để góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 ? A. 2 3 a . B. a . C. 6 a . D. 3 6 a . Câu 44. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật 2 AB a ; BC a và 2 SA SB SC SD a . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC , H là hình chiếu vuông góc của K trên SA . Tính cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng BKH . A. 7 4 . B. 1 3 . C. 8 5 . D. 3 . Câu 45. (VD) Cho lăng trụ . ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC . Cạnh bên hợp với ABC góc 60 . Sin của góc giữa AB và mặt phẳng BCC B . A. 3 13 . B. 3 2 13 . C. 1 13 . D. 2 13 . Câu 46. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Biết rằng góc giữa MN và ABCD bằng 60 , cosin góc giữa MN và mặt phẳng SBD bằng: A. 41 41 . B. 5 5 . C. 2 5 5 . D. 2 41 41 . Câu 47. (VD) Tứ diện OABC có OA OB OC và đôi một vuông góc. Tan của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng ABC bằng A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 2 2 . Câu 48. (VD) Cho hình chóp tam giác . S ABC , có ABC là tam giác đều cạnh a , 3 SA SB SC a . Tính cosin góc giữa SA và ABC . A. 2 3 . B. 1 2 . C. 2 2 . D. 1 3 . Câu 49. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, 2 2 2 2 AD AB BC CD a . Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của SB và CD . Tính cosin góc giữa MN và SAC , biết thể tích khối chóp . S ABCD bằng 3 3 4 a . A. 5 10 . B. 3 310 20 . C. 310 20 . D. 3 5 10 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 50. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , 2 , AB a BC a SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Cô sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng A. 2 . 5 B. 21 . 5 C. 3 . 2 D. 1 . 2 Câu 51. (VD) Cho hình chóp . S ABC có các mặt ABC và SBC là các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Số đo của góc giữa đường thẳng SAvà ABC bằng A. 45 . B. 75 . C. 60 . D. 30 . Câu 52. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA SB SD a , 60 BAD . Góc giữa đường thẳng SA và mp( ) SCD bằng A. 30 . B. 90 . C. 45 . D. 60 . Câu 53. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có ABCD đáy là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SAC cùng vuông góc với đáy ABCD và 2 SA a . Tính cosin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD . A. 30 6 . B. 6 5 . C. 3 2 . D. 6 6 . Câu 54. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Biết SA ABCD và SA a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , SC BC . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BD . A. 30 . B. 90 . C. 60 . D. 45 . Câu 55. (VD) Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên ' 3 AA a . Góc giữa đường thẳng ' AB và mặt phẳng ABC là A. 0 45 . B. 0 30 . C. 0 60 . D. 0 90 . Câu 56. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA SB SD a , 60 BAD . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SCD bằng A. 30 . B. 60 . C. 90 . D. 45 . Câu 57. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, 2cm AD , 1cm DC , 120 ADC . Cạnh bên 3 cm SB , hai mặt phẳng SAB và SBC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là góc tạo bởi SD và mặt phẳng SAC . Tính sin . A. 1 sin 4 . B. 3 sin 7 . C. 3 sin 4 . D. 3 sin 4 . Câu 58. (VD) Cho tứ diện OABC có OA OB OC và đôi một vuông góc. Tang của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng ABC bằng A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 2 2 . Câu 59. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Gọi là góc giữa đường thẳng ' A C và mặt phẳng ' ' ABC D . Khi đó A. tan 3 . B. tan 1 . C. 1 tan 3 . D. tan 2 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 60. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có ( ) SA ABCD và đáy ABCD là hình vuông tâm O . Xác định góc giữa SA và ( ) SBD ? A. ASO . B. SOA . C. ASB . D. ASD . Câu 61. (VD) Cho hình chóp . S ABC có SA ABC và tam giác ABC vuông tại C . Biết 2 AB a , 2 SA a , 0 30 ABC . Tính góc giữa SC và SAB . A. 0 60 . B. 0 30 . C. 0 45 . D. 0 90 . Câu 62. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật với 2 AD a , AB a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Gọi M là trung điểm của BC . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SDM bằng 2 a , tính tan của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD . A. 5 10 . B. 1. C. 1 5 . D. 5 . Câu 63. (VD) Cho hình chóp đều . S ABCD có 5 SA a , AB a . Gọi , , , M N P Q lần lượt là trung điểm của , , , SA SB SC SD . Tính cosin của góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng MQP . A. 2 2 . B. 1 2 . C. 3 2 . D. 15 6 . MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 64. (VDC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tâm O và SO ABCD .Mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với SC cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích 2 td 1 S a 2 . Gọi φlà góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD . Tính . A. 0 45 . B. 1 129 φ a r c s i n 16 . C. 1 33 φ ar c s i n 8 . D. 0 φ 6 0 . Câu 65. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bính hành, 0 2 , , 120 . AB a BC a ABC Cạnh bên 3 SD a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng ( ). SAC A. 3 7 . B. 3 4 V . C. 3 4 V D. 1 4 V Câu 66. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, 2a, AB BC a , 120 ABC , SD vuông góc với mặt phẳng đáy, 3 SD a . Tính cosin của góc tạo bởi SB và SAC . A. 1 4 . B. 3 2 . C. 15 4 . D. 3 4 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 67. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , cạnh a , góc 60 BAD , 3 2 a SA SB SD . Gọi là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC . Giá trị sin bằng A. 1 3 . B. 2 3 . C. 5 3 . D. 2 2 3 . Câu 68. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD , tứ giác ABCD là hình thoi cạnh 0 , , 120 a SA a ABC , hình chiếu của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thỏa mãn 1 . 3 AH AB Gọi E là trung điểm , AD d là trục của đường tròn ngoại tiếp SCE , là góc giữa d và mặt phẳng . ABCD Tính tan . A. 3 14 . B. 6 7 . C. 1 2 . D. 6 35 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 3: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. Câu 1. (NB) Cho hình chóp . S ABC có SA ABC , góc giữa SB và mặt phẳng ABC là A. SBA . B. SAB . C. SBC . D. SCB . Lời giải Chọn A Vì SA ABC nên hình chiếu của SB lên ABC là AB ; SB ABC SBA . Câu 2. (NB) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , 2 AD a , 3 SA a và SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD là A. SAD . B. ASD . C. SDA . D. BSD . Lời giải Chọn C Ta có SA ABCD . AD là hình chiếu vuông góc của SD xuống mặt ABCD . , , SD ABCD SD AD SDA . MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 3. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có SA AB a , gọi O AC BD , gọi là góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 60 . B. 45 . C. 2 tan 2 . D. 30 . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có , SA ABCD , SA AO SAO . Lại có 2 2 a AO , SA a cos AO SAO SA 2 2 2 2 a a 45 . Câu 4. (TH) Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C có 3 AB và 1 AA . Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC và ABC bằng A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 75 . Lời giải Chọn C Ta có , AC ABC , AC AC CAC , tan CC C AC AC 1 3 30 C AC . Câu 5. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và hai mặt phẳng SAC , SBD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây? A. , SB SA . B. , SB SO . C. , SB BD . D. , SO BD . Lời giải Chọn C O A D B C SST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Do hai mặt phẳng , SAC SBD cùng vuông góc với đáy nên SO ABCD . Khi đó, O là hình chiếu của điểm S xuống đáy ABCD và góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD chính là góc giữa SB và BD . Câu 6. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a SD a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SBD . A. 45 . B. 1 arcsin 4 . C. 30 . D. 60 . Lời giải Chọn C Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD . Ta có AO BD AO SBD AO SD nên SO là hình chiếu vuông góc của AS lên mặt phẳng SBD suy ra góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SBD là góc ASO . Trong tam giác vuông AOS , ta có 2 1 2 sin 30 2 2 a OA ASO ASO SA a . Câu 7. (TH) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và ABC . A. 30 . B. 75 . C. 60 . D. 45 . O B D C A SST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Lời giải Chọn D Dễ thấy AH là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy. Do đó góc tạo bởi SA và ABC là SAH . Mặt khác, ABC SBC 3 2 a SH AH . Vậy tam giác SAH là tam giác vuông cân đỉnh H hay 45 SAH . Câu 8. (TH) Cho chóp . S ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B . Biết SA AB BC . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC . A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 1 cos 3 arc . Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm của AC BI AC (vì ABC vuông cân tại A ). 1 Mặt khác: SA BI (vì SA ABC ) 2 Từ 1 và 2 , suy ra: BI SAC . SI là hình chiếu của SB lên SAC . a a a a a H A B C S I A B C SST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông , , SB SAC SB SI BSI . Xét BSI vuông tại I , ta có: sin BI BSI SB 2 2 2 AB AB 1 2 . 30 BSI . Câu 9. (TH) Cho hình chóp . S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB a , 2 BC a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD và 15 SA a . Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD . A. 0 30 . B. 0 60 . C. 0 45 . D. 0 90 . Lời giải Chọn B Do SA ABCD nên , , SC ABCD SC AC SCA . Xét tam giác vuông SAC , ta có 2 2 tan 3 SA SA SCA AC AB BC . Suy ra 0 60 SCA . Câu 10. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , 2 SA a . Gọi là góc giữa SC và mặt phẳng ABCD . Giá trị của tan là A. 2 2 . B. 1. C. 45 . D. 2 . Lời giải Chọn B Ta có ; SA ABCD SC ABCD SCA 2 tan 1 2 2 SA SA a AC AB a . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 11. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với( ), 5 ABCD SB a . Tính tan góc giữa SC và mặt phẳng ( ). SAB A. 1 6 . B. 1 5 . C. 1 3 . D. 1 4 Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ,( )) BC SA BC SAB BC SAB CSB BC AB SAB vuông ở A suy ra 1 tan . 5 BC CSB SB Câu 12. (TH) Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AB và là góc tạo bởi đường thẳng MC và mặt phẳng ABC . Khi đó tan bằng A. 7 7 2 . B. 2 3 . C. 7 3 . D. 3 3 2 . Lời giải Chọn D Ta có MC là hình chiếu của MC lên ABC . Suy ra C CM . Xét tam giác MCC vuông tại C có: 2 3 tan 3 3 2 CC a CM a . Câu 13. (TH) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của đường thẳng BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Số đo góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 75 . Lời giải Chọn A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Tam giác ABC là tam giác đều cạnh a 3 2 a AH Tam giác SBC là tam giác đều cạnh a 3 2 a SH Vì SH ABC nên SAH góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC . Tam giác SHA vuuong cân tại H nên 45 o SAH . Câu 14. (TH) Cho lăng trụ đều . ABC A B C có AB a; 2 AA a . Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BCC B . A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm của B C A M BB C C , góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BB C C bằng góc giữa AB và B M và bằng A BM . Ta có 2 2 3 A B AA AB a , 3 2 a A M , 1 sin 30 2 A M A BM A BM A B . Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BB C C bằng 30 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 15. (TH) Cho lăng trụ đều . ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng A B C bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Lời giải Chọn D +) Ta có A B là hình chiếu của AB lên mặt phẳng A B C , , AB A B C AB A B AB A . +) AA B vuông tại A , AA A B a AA B vuông cân tại A AB A 45 . Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng A B C bằng 45 . Câu 16. (TH) Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AB và là góc tạo bởi MC và mặt phẳng ABC . Khi đó tan bằng: A. 2 7 7 . B. 3 2 . C. 3 7 . D. 2 3 3 . Lời giải Chọn D Hình chiếu của MC lên mặt phẳng ABC là MC . Do đó, '; '; ' MC ABC MC MC C MC . Xét tam giác vuông MCC : Ta có ' 2 3 tan 3 3 2 CC a CM a . M C' B' A B C A'ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 17. (TH) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC là trung điểm của cạnh BC . Biết SBC đều, tính góc giữa SA và ABC . A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 30 . Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm của BC . Khi đó góc giữa SA và ABC là góc giữa SA và MA. Tam giác SAM vuông tại M có 3 2 a SM AM nên 45 SAM . Câu 18. (TH) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, góc 60 ADC . Gọi O là giao điểm của AC và BD, SO ABCD và SO = 3a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD bằng A. 60 o . B. 75 o . C. 30 o . D. 45 o . Lời giải Chọn A Ta có hình chiếu của SD trên mặt phẳng ABCD là OD nên , , SD ABCD SD OD SDO Ta có AD DC và 60 ADC nên tam giác ADC đều 3 3 tan 60 3 SO OD a OD M C B A SST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 19. (TH) Cho hình chóp . S ABC có SA SB SC , 90 ASB , 60 BSC , 120 ASC . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC . A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Lời giải Chọn D Đặt SA SB SC a . Ta có SAB vuông cân tại 2 S AB a ; SBC đều BC a ; SAC cân tại 3 S AC a . Ta thấy 2 2 2 AB BC AC ABC vuông tại B trung điểm H của AC là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC SH ABC . Vậy góc giữa SB và ABC là góc SBH . Ta có SB a , 1 3 2 2 a BH BC 3 cos 2 BH SBH SB 30 SBH . Câu 20. (TH) Cho hình chóp . S ABC có 3 2 a SA SB SC , đáy là tam giác vuông tại A , cạnh BC a . Tính côsin của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC . A. 3 2 . B. 1 3 . C. 1 3 . D. 1 5 . Lời giải Chọn C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi H là trung điểm BC thì khi đó SH ABC ; suy ra HA là hình chiếu của SA trên ABC . Do đó ; SA ABC ; SA HA SAH cos AH SAH SA 2 3 2 a a 1 3 . Câu 21. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 2 AB a , AD a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy. 3 SA a . Cosin của góc giữa SC và mặt đáy bằng A. 5 4 . B. 7 4 . C. 6 4 . D. 10 4 . Lời giải Chọn D Hình chiếu của SC lên ABCD là AC Do đó , SC ABCD SCA Ta có 2 2 2 2 4 5 AB AD A a a C a 2 2 SC a Trong tam giác vuông SAC : 5 10 cos 4 2 2 AC a SCA SC a . Câu 22. (TH) Cho tứ diện đều ABCD . Cosin góc giữa AB và mp BCD bằng: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 3 2 . B. 3 3 . C. 1 3 . D. 2 3 . Lời giải Chọn B Gọi M là trung điểm của CD . Ta có 3 2 AB BM . Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng BCD thì H BM và 2 3 BH BM 3 3 AB . Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BCD là ABM . Ta có cos cos ABM BH AB 3 3 AB AB 3 3 . Câu 23. (TH) Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D có cạnh bằng a . Gọi là góc giữa đường thẳng ' A B và mặt phẳng ( ' ' ) BB D D . Tính sin . A. 3 5 . B. 3 2 . C. 1 2 . D. 3 4 . Lời giải Chọn C B D C A H M B D C AST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có: ' ( ' ' ) B A B BB D D . ' ' ' ' ' ' ( ' ' ) ' ' ' ' ', ' ' ( ' ' ) A O B D A O BB A O BB D D BB B D B BB B D BB D D . BO là hình chiếu vuông góc của ' AB lên ( ' ' ) BB D D nên ' , ' ' ' , A B BDD B A B BO . Suy ra ' A BO (do ' BA O vuông tại O ). Ta có: 2 ' 2 , ' 2 a A B a A O . Suy ra ' 1 sin ' 2 A O A B . Câu 24. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều .A S BCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABCD bằng A. , với cot 3 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Lời giải Chọn D Ta có : 2 cos 2 AO SAO SA . Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABCD bằng 45 . Câu 25. (TH) Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D cạnh a . Điểm M thuộc tia ' DD thỏa mãn 6 DM a . Góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD là A. 30 o . B. 45 o . C. 75 o . D. 60 o . Lời giải Chọn D B' O A' B A C D C' D'ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Dễ thấy đường thẳng BD là hình chiếu vuông góc của đường thẳng BM lên mặt phẳng ABCD . Suy ra góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD là góc giữa hai đường thẳng BM và BD . Ta có MDB vuông tại D , 6 DM a , 2 BD a (đường chéo hình vuông cạnh a ). Suy ra góc giữa hai đường thẳng BM và BD là góc MBD . 6 tan 3 2 MD a MBD BD a . Vậy góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD là 60 o . Câu 26. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O . Cạnh bên 2 SA a và vuông góc với mặt đáy ABCD. Gọi là góc giữa SO và mặt phẳng ABCD thì A. tan 2 2. B. tan 3. C. tan 2. D. tan 1. Lời giải Chọn A Vì SA ABCD nên hình chiếu vuông góc của SO trên ABCD là AO . Gọi là góc giữa SO và mặt phẳng ABCD thì , SO OA SOA . Vì tam giác SAO vuông tại A nên tan SA OA 2 2 2 a a 2 2. Câu 27. (TH) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại , A AB AA a (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ABB A . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 2 2 . B. 6 3 . C. 2 . D. 3 3 . Lời giải Chọn A ABC vuông cân tại A AB AC a . ABA vuông tại A 2 A B a . Ta có C A A B C A AA C A ABB A . BA là hình chiếu của BC lên mặt phẳng ABB A . ; ; BC ABB A BC BA . A BC vuông tại A tan A A C BC A B 2 a a 2 2 . MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 28. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E , M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SA , là góc tạo bởi đường thẳng EM và mặt phẳng SBD . Giá trị của tan bằng A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn D Dựng hình bình hành ABFC . Ta có // EM SF nên góc giữa EM và SBD bằng góc giữa SF và SBD . // FB AC FB SBD do đó góc giữa SF và SBD bằng góc FSB . Ta có tan 2 BF AC FSB SB SB . Vậy chọn D Cách 2: A C B A C B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Tọa độ hóa với , , 1 . Ox OC Oy OB Oz OS OA Ta có 1;0;0 , 1;0;0 C A SBD nhận 2;0;0 AC là một VTPT. Từ 2 2 2 2 1 SA AB OA SO SA OA 0;0;1 1 1 ;0; . 2 2 1;0;0 S M A Ta có 1;0;0 1 1 ; ;0 2 2 0;1;0 C E EM B nhận 1 1 1; ; 2 2 ME Là một VTCPT 2 2 2 . 2 6 sin ; . 3 1 1 1 .2 2 2 ME AC EM SBD ME AC 1 cos tan 2 3 . Là một VTCPT 2 2 2 . 2 6 sin ; . 3 1 1 1 .2 2 2 ME AC EM SBD ME AC 1 cos tan 2 3 . Câu 29. (VD) Cho hình chóp . S ABC có SA ABC , tam giác ABC đều cạnh a và SA a . Tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB bằng A. 3 5 . B. 3 2 2 . C. 1. D. 1 2 . Lời giải Chọn A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi M là trung điểm AB thì CM AB CM SAB . Ta có SM là hình chiếu của SC trên SAB , SC SAC , SC SM MSC . Ta có 3 2 a MC , 2 2 SM SA AM 5 2 a . Vậy tan MC MSC SM 3 5 .-----------. Câu 30. (VD) Cho tứ diện đều ABCD . Cosin góc giữa AB và mặt phẳng BCD bằng A. 3 2 . B. 3 3 . C. 1 3 . D. 2 3 . Lời giải Chọn B Đặt 0 AB a a . Gọi M là trung điểm DC , G là trọng tâm tam giác BCD . Vì ABCD là tứ diện đều nên AG BCD . Khi đó ; ; AB BCD AB BG ABG . Ta có 2 2 3 3 . 3 3 2 3 a a BG BM . Vậy 3 3 3 cos 3 a BG ABG BA a . Câu 31. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E ; M lần lượt là trung điểm của BC và SA . Gọi là góc tạo bởi EM và SBD . Khi đó tan bằng: A. 1. B. 2 . C. 2 . D. 3 . Lời giải G M A D B CST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Chọn C Giả sử tất cả các cạnh của hình chóp có độ dài bằng#a. Gọi O là giao điểm của AC và BD và , , N P H lần lượt là trung điểm của , , AB AD OA. Khi đó ta có / / MNP SBD . Do đó là góc tạo bởi EM và SBD bằng góc tạo bởi EM và MNP vì / / / / EN AC AC SBD EN MNP SBD MNP . Suy ra hình chiếu của ME trên MNP là MN . Suy ra góc bằng góc giữa hai đường thẳng MN và ME . Trong tam giác MNE vuông tại N ta có 2 a MN , 2 2 a NE suy ra tan 2. EN MN Câu 32. (VD) Cho hình lăng trụ . ABC A B C có 10 4 a AA , 2 AC a , BC a , 135 ACB . Hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M của AB . Tính góc tạo bởi đường thẳng C M với mặt phẳng ACC A . A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 . Lời giải Chọn D Dựng MI AC ( I AC ) và MH C I ( H C I ) (1). Ta có: AC IM AC C MI AC C M mà HM C MI MH AC (2) Từ (1) và (2) MH ACC A . Do đó góc tạo bởi đường thẳng C M với mặt phẳng ACC A là góc HC M . B' A' M C A B C' I HST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Mặt khác, ta có 2 2 1 1 2 . .sin135 . 2. . 2 2 2 2 4 ABC AMC a a S CACB a a S . Lại có 2 2 2 1 2 . . 2 2 4 2 2 AMC AMC S a a a S MI AC MI AC AC a . 2 2 2 2 1 1 1 5 2 . .cos135 2 2 2. .cos135 2 2 2 2 a AM AB AC CB AC CB a a a a . 2 2 2 2 5 2 3 2 3 2 2 2 4 16 4 4 4 a a a a a AI AM IM CI AC AI a . 2 2 2 2 10 2 2 16 16 2 a a a C I C C CI . Do đó 2 2 1 sin . 30 4 2 2 IM a C I a . Câu 33. (VD) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , 60 ADC . Gọi O là giao điểm của AC và BD , SO ABCD và SO a . Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD bằng A. 60 . B. 75 . C. 30 . D. 45 . Lời giải Chọn C Ta có ABCD là hình thoi cạnh 2a , và 60 ADC nên ACD đều và 2 . 3 3 2 a OD a . Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD là SDO và 1 tan 3 SO SDO DO suy ra 30 SDO . Câu 34. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , 2 , AD a AB BC a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SAC . A. 36 33 . B. 26 57 . C. 26 33 . D. 30 33 . Lời giải Chọn C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông SC ABCD C và hình chiếu của S trên mặt phẳng ABCD là A hình chiếu của SC trên mặt phẳng ABCD là , , 60 AC SC ABCD SC AC SCA . Xét tam giác ABC vuông tại B có 2 2 2 2 2 AC AB BC a a a . Xét tam giác SAC vuông tại A có .tan 60 2. 3 6 SA AC a a và 2 2 2 2 SC SA AC a . Xét tam giác SAD vuông tại A có 2 2 2 2 6 4 10 SD SA AD a a a . Gọi I là trung điểm của AD .Ta có 1 2 AI AD a AI BC . Lại có // AI BC nên ABCI là hình bình hành. Do đó 1 2 CI AB a AD ACD vuông tại C CD AC mà CD SA (vì SA ABCD ) nên CD SAC . Ta có SD SAC S và hình chiếu của D trên mặt phẳng SAC là C hình chiếu của SD trên mặt phẳng SAC là , , SC SD SAC SD SC DSC . Xét tam giác SCD vuông tại C có 2 2 2 5 cos 5 10 SC a DSC SD a 26 33 DSC . Câu 35. (VD) Cho hình chóp đều . S ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a . Giá trị côsin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy là A. 3 6 . B. 3 4 . C. 3 12 . D. 33 6 . Lời giải Chọn A D I B C A SST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi O là tâm của ABC , suy ra 3 3 a OA . Do . S ABC là hình chóp đều nên SO ABC . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa SA và mặt phẳng ABC . Ta có 3 3 3 cos , cos , cos 2 6 a OA SA ABC SA OA OAS SA a . Câu 36. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, 2 SA a . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên các cạnh SB , SD . Góc giữa mặt phẳng AMN và đường thẳng SB bằng A. 45 . B. 120 . C. 90 . D. 60 . Lời giải Chọn D Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC Ta có , ( ) BC AB BC SA BC SAB BC AM ( ) AM SB AM SBC AM SC Tương tự: ( ) AN SCD AN SC Vậy ( ) SC AMN tại I . Ta có MI là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng AMN Suy ra góc giữa SB và AMN là góc SMI I N M O D A B C SST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có sin SI SMI SM Ta có 2 2 . 3 a SM SB SA SM 2 2 2 SC SA AC a 2 . SI SC SA SI a Vậy 3 sin 60 2 SI SMI SMI SM Câu 37. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên 2 SA a và vuông góc với đáy. Gọi là góc giữa SA và SBC . Khi đó A. 1 5 cos . B. 2 5 cos . C. 1 2 5 cos . D. Đáp án khác. Lời giải Chọn B Kẻ AH SB , chứng minh được AH SBC , Khi đógóc giữa SA và SBC là góc ASH hay ASB và ta có 5 SB a . cos SA SB 2 2 5 5 a a . Câu 38. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , 3 2 a SA a và SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và ABCD là: A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 . Lời giải Chọn C I C S D B A HST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông SA ABCD AC là hình chiếu của SC trên mp ABCD . Góc giữa SC và ABCD là SCA . Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh 2 a AC a . 3 tan 3 SA a SCA AC a 0 60 SCA . Câu 39. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA ABCD và 2 SA a . Gọi M là trung điểm SB . Tính tan góc giữa đường thẳng DM và ABCD . A. 5 5 . B. 2 5 . C. 2 5 . D. 10 5 . Lời giải Chọn D Gọi N là trung điểm AB . Ta có: MN là đường trung bình của SAB nên // MN SA và 1 2 2 2 a MN SA . Lại có: SA ABCD . N M C A D B SST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Do đó MN ABCD 1 . Suy ra MN DN . Ta có: N là hình chiếu vuông góc của M lên ABCD (do 1 ) và D là hình chiếu vuông góc của D lên ABCD . Suy ra ; ; DM ABCD DM ND MDN ( MDN nhọn vì MND vuông tại N ). Ta có: 2 2 DN AD AN 5 2 a . Xét MND vuông tại N , có: tan MDN MN DN 10 5 . Vậy 10 tan ; 5 DM ABCD . Câu 40. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi O là tâm của đáy và , M N lần lượt là trung điểm của , SA BC . Nếu góc giữa đường thẳng MN và ABCD bằng 60 thì độ dài đoạn MN là A. 2 2 a . B. 2 a . C. 5 2 a . D. 10 2 a . Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm của OA MH SO . Do hình chóp . S ABCD đều nên: , 60 SO ABCD MH ABCD MN ABCD MNH . Xét tam giác HNC có: 2 2 2 2 2 2 9 3 2 2 5 2 . . 2. . . 4 8 2 4 2 8 a a a a a HN NC HC HC NC cosHCN . Vậy 5 . 2 2 a HN Xét tam giác vuông MHN ta có: 5 10 .2 . 60 2 2 2 HN a a MN cos Câu 41. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , , 2 AB BC a AD a , SA vuông góc với mặt đáy ABCD , SA a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , SB CD . Tính cosin của góc giữa MN và SAC . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 3 5 10 . B. 2 5 . C. 1 5 . D. 55 10 . Lời giải Chọn D Gọi I BN AD . Dễ thấy N là trung điểm của BI , do đó / / MN SI . Kẻ đường thẳng qua D và song song với SI cắt SA tại K / / , , DK SI MN SAC DK SAC Dễ thấy CK là hình chiếu của DK trên SAC , DK SAC DKC . Ta có 2 2 3 3 a KA SA 2 2 2 2 4 22 2 9 3 a KC KA AC a a , 2 2 2 2 4 2 10 4 9 3 a KD KA AD a a 55 cos 10 KC DKC KD . Câu 42. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có SAvuông góc với mặt phẳng đáy, ABCD là hình chữ nhật có 3 , 5 AD a AC a , góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 0 45 . Khi đó côsin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC bằng A. 7 5 . B. 4 5 . C. 2 2 5 . D. 17 5 . Lời giải Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 0 45 SDA . Gọi E là hình chiếu vuông góc của A lên SB 2 2 . 12 , 5 SA AB a AE d A SBC AE SBC SA AB . (với 2 2 4 AB AC AD a ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên SBC . Khi đó, góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC bằng DSH . 0 12 , , 2 2 5 sin .tan 45 5 3 2 a d D SBC d A SBC DH AE DSH SD SD SD AD a . 2 17 cos 1 sin 5 DSH DSH . Câu 43. (VD) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có độ dài cạnh đáy bằng a . Độ dài cạnh bên của hình chóp bằng bao nhiêu để góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 ? A. 2 3 a . B. a . C. 6 a . D. 3 6 a . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC Ta có: SA SB SC GA GB GC Suy ra SG là trục của ABC Suy ra SG ABC Ta có: A là hình chiếu vuông góc của A lên ABC và G là hình chiếu vuông góc của S lên ABC Suy ra ; ; 60 SA ABC SA AG SAG Ta có: 2 2 3 3 . 3 3 2 3 a a AG AI Xét tam giác SAG vuông tại G , ta có: 3 tan 60 . 3. 3 a SG AG a . Câu 44. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật 2 AB a ; BC a và 2 SA SB SC SD a . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC , H là hình chiếu vuông góc của K trên SA . Tính cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng BKH . A. 7 4 . B. 1 3 . C. 8 5 . D. 3 . Lời giải Chọn A Cách 1: Tính trực tiếp bằng lớp 11. 60° G I A C B SST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi I tâm của ABCD . Ta có: SI AC SI ABCD SI BD . Mặt khác: BK AC BK SAC BK SI . Suy ra: SH HK SH BHK SH BK . Nên cos ; cos SB BHK HBK Ta có: 1 1 . 2 2 SM AB HB SA . SM AB HB SA Với: 2 2 14 2 a SM SA AM . Suy ra: 14 2 7 2 2 2 a a a HB a 2 2 2 a AH AB HB 3 2 a SH . Trong tam giác BHK có: 2 2 2 cos 2. . HB SB SH BHK HB SB 2 2 2 7 9 4 4 4 cos 7 2 2 2 a a a BHK a a . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Vậy: 7 cos ; 4 SB BHK . Cách 2: Phương pháp tọa độ hóa trong không gian (lớp 12). Gọi I tâm của ABCD . Ta có: SI AC SI ABCD SI BD . Chọn hệ trục như hình vẽ với: 0;0;0 B ; 2;0;0 A a ; 0; ;0 C a . 2 2 SI SB BI 2 2 3 13 4 4 2 a a SI a . Suy ra tọa điểm 2 13 ; ; 2 2 2 a a a S . Trong tam giác vuông BAC có: 2 AB AK AC 2 3 a AK ; 2 3 AK AC . Suy ra: 2 3 AK AC 2 2 ; ;0 3 3 a a K . Kẻ IJ SA , (hình minh họa) Ta có: 2 AI AJ SA 3 8 AJ a . Dễ thấy: 4 3 AH AK AJ AI 2 a AH . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Suy ra: 1 4 AH AS với 2; ; H H H AH x a y z ; 2 13 2; ; 2 2 2 a a a AS a . 7 2 13 ; ; 8 8 8 a a a H . Để dễ tính toán ta đặt 1 a . Lúc đó ta có hệ thống điểm như sau: 2 1 13 ; ; 2 2 2 S ; 2 2 ; ;0 3 3 K ; 7 2 1 13 ; ; 8 8 8 H . Gọi 2 1 13 ; ; 2 2 2 BS u ; 2 13 26 13 2 ; ; ; 24 24 24 n BH BK . Ta có: sin ; sin SB BHK . sin sin ; u n u n u n . 2 2 2 2 26 26 13 26 48 48 48 sin 2 1 13 52 26 388 4 4 4 24 24 24 3 sin 4 . Suy ra: 9 7 cos ; 1 16 4 SB BHK . Câu 45. (VD) Cho lăng trụ . ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC . Cạnh bên hợp với ABC góc 60 . Sin của góc giữa AB và mặt phẳng BCC B . A. 3 13 . B. 3 2 13 . C. 1 13 . D. 2 13 . Lời giải Chọn A Ta có B G ABC nên BG là hình chiếu của BB lên mặt phẳng ABC . , , BB ABC BB BG 60 B BG . G M B B' C C' A A' HST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A lên B M , ta có BC AM BC B G BC AB M BC AH . Mà AH B M nên AH BCC B . Do đó HB là hình chiếu của AB lên mặt phẳng BCC B . , AB BCC B , AB HB ABH . Xét tam giác ABH vuông tại H có sin AH ABH AB . B G .tan 60 BG 3 2 . . 3 2 3 a a . 2 2 B M B G GM 2 2 3 1 . 2 3 a a 39 6 a . Ta có AHM B GM . AM B G AH B M 3 . 3 2 39 13 6 a a a a . Vậy 3 13 sin a ABH a 3 13 . Câu 46. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Biết rằng góc giữa MN và ABCD bằng 60 , cosin góc giữa MN và mặt phẳng SBD bằng: A. 41 41 . B. 5 5 . C. 2 5 5 . D. 2 41 41 . Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi E , F lần lượt là trung điểm SO , OB thì EF là hình chiếu của MN trên SBD . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi P là trung điểm OA thì PN là hình chiếu của MN trên ABCD . Theo bài ra: 60 MNP . Áp dụng định lý cos trong tam giác CNP ta được: 2 2 2 2 . .cos 45 NP CP CN CP CN 2 2 2 3 2 3 2 2 5 2. . . 4 4 4 2 2 8 a a a a a . Suy ra: 10 4 a NP , 30 .tan 60 4 a MP NP ; 30 2 2 a SO MP . 2 2 2 2 SB SO OB a 2 EF a . Ta lại có: MENF là hình bình hành ( vì ME và NF song song và cùng bằng 1 2 OA). Gọi I là giao điểm của MN và EF , khi đó góc giữa MN và mặt phẳng SBD là NIF . 2 4 2 5 cos . 2 5 10 IK a NIF IN a . Cách 2: Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ sao cho: 0;0;0 O , 2 ;0;0 2 a A , 2 ;0;0 2 a C , 2 0; ;0 2 a B , 2 0; ;0 2 a D , 0;0; S x , 0 x . M là trung điểm của SA : 2 ;0; 4 2 a x M N là trung điểm của BC : 2 2 ; ;0 4 4 a a N 2 2 ; ; 4 4 2 a a x MN , 0;0;1 k . Ta có: o 2 2 2 . 2 sin 60 . 2 8 8 4 x MN k MN k a a x 30 x a Khi đó 2 2 30 ; ; 4 4 4 a a a MN VTCP của SBD là 1;0;0 i Gọi là góc giữa SBD và MN Ta có: . 1 sin 5 MN i MN i 2 cos 5 . Câu 47. (VD) Tứ diện OABC có OA OB OC và đôi một vuông góc. Tan của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng ABC bằng A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 2 2 . Lời giải Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Theo bài ra tứ diện OABC có OA OB OC và đôi một vuông góc nên đáy ABC là tam giác đều và hình chiếu vuông góc của O lên ABC trùng với trọng tâm G của ABC . Do đó ; OG ABC OA ABC OAG . Giả sử 2 OA OB OC a AB AC BC a . Xét tam giác OBC vuông: 2 2 2 BC a OM (tính chất đường trung tuyến) 2 2 tan 2a 2 OA OB OM a OA OBC OA OM OAM OA OC OA . Câu 48. (VD) Cho hình chóp tam giác . S ABC , có ABC là tam giác đều cạnh a , 3 SA SB SC a . Tính cosin góc giữa SA và ABC . A. 2 3 . B. 1 2 . C. 2 2 . D. 1 3 . Lời giải Chọn D Gọi , AI CK lần lượt các đường cao trong tam giác ABC , H AI CK . Ta có ; BC AI BC SI BC SH . Tương tự, AB SH . Suy ra SH ABC nên AH là hình chiếu của SA lên ABC A C B O M G H A C B S I KST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông ; ; SA ABC SA AH SAH . Xét tam giác SAH vuông tại H có 2 2 3 3 . 3 3 2 3 a a AH AI . 3 1 3 cos 3 3 a AH SAH SA a . Câu 49. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, 2 2 2 2 AD AB BC CD a . Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của SB và CD . Tính cosin góc giữa MN và SAC , biết thể tích khối chóp . S ABCD bằng 3 3 4 a . A. 5 10 . B. 3 310 20 . C. 310 20 . D. 3 5 10 . Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi là mp đi qua MN và song song với mp SAD . Khi đó cắt AB tại P , cắt SC tại Q , cắt AC tại K . Gọi I là giao điểm của MN và QK I SAC . Suy ra: P , Q , K lần lượt là trung điểm của AB , SC và AC . Lại có: ABCD là hình thang cân có 2 2 2 2 AD AB BC CD a 2 ; AD a AB BC CD a 3 2 a CH ; 2 2 3 3 3 . 2 2 4 ABCD a a a a S . Nên 2 3 1 3 3 3 . . 3 4 4 ABCD a a V SA SA a 1 2 2 a MP SA và 3 2 a NP . Xét tam giác MNP vuông tại P: 2 2 3 10 2 2 2 a a a MN , MP KQ lần lượt là đường trung bình của tam giác , SAB SAC // // MP KQ SA KN là đường trung bình của tam giác 1 2 ACD KN AD a . Xét tam giác AHC vuông tại H: 2 2 3 3 3 2 2 a a AC a 3 2 a KC ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Suy ra: tam giác KNC vuông tại C C là hình chiếu vuông góc của N lên SAC . góc giữa MN và SAC là góc NIC Khi đó: 2 2 2 10 10 . . 3 3 3 2 3 IN KN a a IN MN MN NP Xét tam giác NIC vuông tạiC : 10 ; 2 3 a a NC IN 2 2 10 31 3 2 6 a a a IC 31 10 310 cos : 6 3 20 IC a a NIC IN . Cách 2. Vì ABCD là hình thang cân có 2 2 2 2 AD AB BC CD a 2 ; AD a AB BC CD a 3 2 a CH ; 2 2 3 3 3 . 2 2 4 ABCD a a a a S . nên 2 3 1 3 3 3 . .SA 3 4 4 ABCD a a V SA a Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ Ta có: 0;0;0 , K ;0;0 , 2 a B 3 0; ;0 , 2 a C 3 0; ;0 , 2 a A 3 ; ;0 , 2 2 a a N 3 0; ; , 2 a S a 3 ; ; 4 4 2 a a a M 3 3 3 ; ; 4 4 2 a a a MN . Chọn 1 3;3 3; 2 u cùng phương với MN Nhận xét: BK SA BK SAC BK AC ;0;0 2 a BK là vtpt của SAC .Chọn 1 1 ;0;0 n cùng phương với BK Gọi là góc góc giữa MN và SAC . Ta có 1 1 1 2 . 3 10 sin 20 u n u u 310 cos 20 . Câu 50. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , 2 , AB a BC a SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Cô sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng A. 2 . 5 B. 21 . 5 C. 3 . 2 D. 1 . 2 Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Kẻ , DE AC E AC ta có DE SA do đó ( ) DE SAC . Suy ra góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng góc DSE . Ta có 2 21 , 5, . 5 5 a ED SD a SE Tam giác DSE vuông tại E nên 21 cos . 5 SE DSE SD Câu 51. (VD) Cho hình chóp . S ABC có các mặt ABC và SBC là các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Số đo của góc giữa đường thẳng SAvà ABC bằng A. 45 . B. 75 . C. 60 . D. 30 . Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có ABC SBC . Trong mặt phẳng SBC kẻ SH BC SH ABC hay SH là đường cao của hình chóp. Khi đó ta có , , SA ABC SA AH SAH . Mặt khác theo giả thiết tam giác SBC và ABC là tam giác đều nên H là trung điểm của BC và 3 2 a AH SH . Xét tam giác vuông SHA ta có tan 1 SH SAH AH 45 SAH . A D B S C E H S C A BST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Vậy , 45 SA ABC . Câu 52. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA SB SD a , 60 BAD . Góc giữa đường thẳng SA và mp( ) SCD bằng A. 30 . B. 90 . C. 45 . D. 60 . Lời giải Chọn C Do ABCD là hình thoi và góc 60 BAD nên ABD là tam giác đều cạnh a Gọi H là trọng tâm tam giác ABD . Ta có 3 3 a DH Vì SA SB SD a nên ( ) SH ABCD . 2 2 6 3 a SH SD DH Gọi F là hình chiếu vuông góc của H lên SD khi đó ta có mp( ) HF SCD . Tính được . 2 3 SH DH a FH SD Gọi I là hình chiếu của A lên ( ) SCD khi đó FH song song với AI . Ta có 2 3 FH CH AI CA Nên 3 2 2 2 a AI HF Góc giữa đường thẳng SA và mp( ) SCD là góc ASI . 2 sin 2 AI ASI SA 45 ASI . Câu 53. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có ABCD đáy là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SAC cùng vuông góc với đáy ABCD và 2 SA a . Tính cosin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD . A. 30 6 . B. 6 5 . C. 3 2 . D. 6 6 . Lời giải Chọn A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Vì hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SAC cùng vuông góc với đáy ABCD nên SA vuông góc với đáy ( ) ABCD . Ta có ( ) CD AD CD SAD CD SA , suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ) SAD là góc CSD . Xét tam giác SAC vuông tại A , có 2 SA a , 2 AC a , suy ra 2 2 2 2 6 SC a a a . Xét tam giác SCD vuông tại D , có CD a , 6 SC a , suy ra 2 2 6 5 SD a a a . 5 5 30 cos 6 6 6 SD a CSD SC a . Câu 54. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Biết SA ABCD và SA a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , SC BC . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BD . A. 30 . B. 90 . C. 60 . D. 45 . Lời giải Chọn C Vì , M N là trung điểm của , BC SC nên // MN SB . Suy ra , , MN BD SB BD . Áp dụng định lý Pytago cho tam giác SAB và tam giác SAD ta có 2 2 2 2 2 SB SA AB a a a , 2 2 2 2 2 SD SA AB a a a . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông ABCD là hình vuông nên 2 BD a . Vậy tam giác SBD là tam giác đều do đó , 60 , 60 SB BD MN BD . Câu 55. (VD) Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên ' 3 AA a . Góc giữa đường thẳng ' AB và mặt phẳng ABC là A. 0 45 . B. 0 30 . C. 0 60 . D. 0 90 . Lời giải Chọn C *Vì ' BB ABC nên AB là hình chiếu vuông góc của ' AB trên ABC . *Ta có ', ', ' AB ABC AB AB B AB . * Tam giác ' ABB vuông tại B nên 0 ' ' tan ' 3 ' 60 BB AA BAB BAB AB AB . Câu 56. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA SB SD a , 60 BAD . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng SCD bằng A. 30 . B. 60 . C. 90 . D. 45 . Lời giải Chọn D Dễ thấy hình chóp . S ABD đều. Gọi G là trọng tâm của ABD . Khi đó SG ABCD . Do ABD đều nên GD CD CD SGD . Kẻ GH SD , H SD . Khi đó: GH SCD ; d G SCD GH . Ta có: 2 3 3 . 3 2 3 a a GD 2 2 6 3 a SG SD GD . C B A' C' B' A B C A D S G HST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Xét SGD vuông tại G : 2 . . 3 a GH SD SG GD GH . Mà 2 ; . ; 2 AC a d A SCD d G SCD GC . Gọi K là hình chiếu của A lên SCD . Khi đó góc giữa SA và mặt phẳng SCD là ASK . Xét ASK vuông tại K thì: 2 sin 2 AH SAK SA 45 SAK . Câu 57. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, 2cm AD , 1cm DC , 120 ADC . Cạnh bên 3 cm SB , hai mặt phẳng SAB và SBC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là góc tạo bởi SD và mặt phẳng SAC . Tính sin . A. 1 sin 4 . B. 3 sin 7 . C. 3 sin 4 . D. 3 sin 4 . Lời giải Chọn A Dễ thấy SB ABCD , 2 2 2 . .cos60 3 BD AB AD AB AD 6 SD . 2 2 2 . .cos 60 7 AC AB AD AB AD . Gọi H là hình chiếu của B trên AC , K là hình chiếu của B trên SH . Khi đó BH SAC . Do 1 . 2 ABC S BH AC 1 . .sin120 2 AB BC 21 7 BH . 2 2 2 1 1 1 BK BH BS 6 4 BK 6 , , 4 d B SAC d D SAC . Dễ thấy , 1 sin 4 d D SAC SD . Câu 58. (VD) Cho tứ diện OABC có OA OB OC và đôi một vuông góc. Tang của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng ABC bằng A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 2 2 . Lời giải Chọn D O B A C D S H KST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi I là trung điểm của BC OI BC , kẻ OH AI ( H AI ) OH ABC . Ta được góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng ABC chính là góc giữa hai đường thẳng OA, AH và bằng OAH OAI . Giả sử OA OB OC a , ta có 2 2 2 BC a OI . Xét tam giác OAI vuông tại O có 2 2 2 tan 2 a OI OAI OA a . Câu 59. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Gọi là góc giữa đường thẳng ' A C và mặt phẳng ' ' ABC D . Khi đó A. tan 3 . B. tan 1 . C. 1 tan 3 . D. tan 2 . Lời giải Chọn D Gọi I là trung điểm của ' A C . Ta có: ' '; ' ' ACC A ABC D là các hình chữ nhật. Nên '; ' ; ' AC A C BD cắt nhau tại I ' ' ' A C ABC D I . Gọi O là tâm của hình vuông ' ' ADD A ' ' A O AD . 1 Lại có: ' ' ' AB ADD A A O AB . 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Từ 1 và 2 ta có ' ' ' A O ABC D . ' ; ' ' ' A C ABC D A IO . Gọi cạnh hình lập phương là a . Tam giác ' A IO vuông tại O có: 'O A 2 2 a ; 1 ' ' 2 2 a OI D C . 2 'O 2 tan ' 2 2 a A A IO a OI . Câu 60. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có ( ) SA ABCD và đáy ABCD là hình vuông tâm O . Xác định góc giữa SA và ( ) SBD ? A. ASO . B. SOA . C. ASB . D. ASD . Lời giải Chọn A Ta có ;SA BD (SAO) BD (SAO) (SBD) AO BD Mà ( ) ( ) SAO SBD SO . Trong ( ) : SAO AH SO tại H . ( ) (SA;(SBD)) (SA;SH) SO AH SBD ASH A Câu 61. (VD) Cho hình chóp . S ABC có SA ABC và tam giác ABC vuông tại C . Biết 2 AB a , 2 SA a , 0 30 ABC . Tính góc giữa SC và SAB . A. 0 60 . B. 0 30 . C. 0 45 . D. 0 90 . Lời giải Chọn B Kẻ CH AB , theo giả thiết thì CH SA nên CH SAB . S A C B HST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Vậy thì ; SC SAB CSH và chú ý tam giác SHC vuông tại H . Ta có sin HC CSH SC . Tính toán 0 .sin 30 AC AB a ; 2 2 SC SA AC 3 a ; .sin HC AC CAH 0 .sin 60 a 3 2 a . Vậy nên 1 sin 2 CSH tức là 0 sin 30 CSH . Câu 62. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật với 2 AD a , AB a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD . Gọi M là trung điểm của BC . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SDM bằng 2 a , tính tan của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD . A. 5 10 . B. 1. C. 1 5 . D. 5 . Lời giải Chọn A Trong mặt phẳng ABCD , AC DM K . Ta có 1 2 CK MC AK AD , suy ra 1 , , 2 d C SDM d A SDM , suy ra , d A SDM a Từ giả thiết ABCD là hình chữ nhật với 2 AD a , AB a 2 AM DM a 2 2 2 AD AM DM tam giác AMD vuông tại M MD AM . Mặt khác MD SA (vì SA ABCD ). Ta có AM MD AM MD A A S A S MD SAM . Trong SAM kẻ AH SM tại H , suy ra AH SDM , d A SDM AH a . Xét tam giác SAM vuông tại A , ta có : 2 2 2 1 1 1 AH SA AM 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 SA a a a 2 SA a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là góc SCA. Ta có 2 10 tan 5 5 SA a SCA AC a ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 63. (VD) Cho hình chóp đều . S ABCD có 5 SA a , AB a . Gọi , , , M N P Q lần lượt là trung điểm của , , , SA SB SC SD . Tính cosin của góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng MQP . A. 2 2 . B. 1 2 . C. 3 2 . D. 15 6 . Lời giải Chọn A Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Khi đó SO ABCD . Mặt phẳng MQP cũng là mặt phẳng MNPQ . Vì hai mặt phẳng MNPQ và ABCD song song với nhau nên góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng MNPQ bằng góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng ABCD . Trong mặt phẳng SBD gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên BD . Khi đó góc giữa DN và ABCD là góc NDH . Ta có: 2 2 2 2 2 3 2 5 2 2 a SO SB BO a a 3 2 2 4 SO NH a ; 3 3 3 2 . 2 4 4 4 DH BD a a Ta suy ra tam giác NDH vuông cân tại H nên góc 0 45 NDH . Vậy 2 cos 2 NDH . MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 64. (VDC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tâm O và SO ABCD .Mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với SC cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích 2 td 1 S a 2 . Gọi φ là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD . Tính . A. 0 45 . B. 1 129 φ a r c s i n 16 . C. 1 33 φ ar c s i n 8 . D. 0 φ 6 0 . Q P N M O C A D B S HST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Lời giải Chọn B Giả sử α cắt các cạnh SB,SC,SD lần lượt tại các điểm H,J,K . Gọi I là giao điểm SO và AJ . Do BD SO BD SAC BD SC BD AC mà α S C α B D . Vậy BD SBD BD α K H B D H K SA C H K A J SBD α H K . do đó AHJK 1 S HK.AJ 2 . Do SO ABCD OC là hình chiếu của SC trên ABCD suy ra SC, ABCD SCO φ . Ta có AJ ACsin φ a 2 s i n φ ; a 2 SO OC tan φ t an φ 2 . Δ S O C Δ S J I SIJ SCO φ A I O S I J φ . Từ đó ta có a 2 OI OAcot φ c o t φ 2 . 2 a 2 cot φ HK SI OI 2 1 1 1 cot φ BD SO SO a 2 tan φ 2 2 2 KH BD 1 cot φ a 2 1 c o t φ . Vậy 2 2 2 AHJK 1 S HK.AI a 2 sin φ . a 2 1 c o t φ 2 a s i n φ 1 c o t φ 2 Từ giả thiết suy ra 2 2 2 1 2a sin φ 1 c o t φ a 2 2 8 sin φ s i n φ 4 0 1 129 sin φ 16 (do π 0 φ 2 nên sin φ 0 ) 1 129 φ ar c s i n 16 . Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là 1 129 φ ar c s i n 16 . H K J I D C B A O SST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 65. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bính hành, 0 2 , , 120 . AB a BC a ABC Cạnh bên 3 SD a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Tínhsin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng ( ). SAC A. 3 7 . B. 3 4 V . C. 3 4 V D. 1 4 V Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng( ) SAC khi đó ,( ) SB SAC BSH Nên ( ,( )) sin ,( ) sin BH d B SAC SB SAC BSH SB SB (*) Lại có ( ,( )) ( ,( )) 1 sin ( ,( )) d B SAC BO BH d A SAC BSH d A SAC DO SB SB Kẻ , ( ,( )) DK AC DI SK d A SAC DI Trong 2 2 : 2 . .cos 7. ADC AC DA DC DA DC ADC a 2 1 3 3 . .sin ; 2 2 7 DAC DAC S a S DA DC ADC DK a AC . Xét tam giác vuông SDK có đường cao DI suy ra 2 2 2 2 . 6 4 SD DK a DI SD DK . Trong 2 2 : 2 . .cos 3. ABD BD DA AB DA AB DAB a 2 2 6. SB SD DB a ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Thay vào (*) ta được 6 1 4 sin . 4 6 a AI BSH SB a Câu 66. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, 2a, AB BC a , 120 ABC , SD vuông góc với mặt phẳng đáy, 3 SD a . Tính cosin của góc tạo bởi SB và SAC . A. 1 4 . B. 3 2 . C. 15 4 . D. 3 4 . Lời giải Chọn C Trong các tam giác ABC và D AB ta có 2 2 2 . .cos 7 AC AB BC AB BC ABC a , 2 2 2 . .cos 3 BD AB AD AB AD BAD a . Tam giác ABD có 2 2 2 AB AD BD nên tam giác ABD vuông ở D . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có: 0;0;0 D , ;0;0 A a , 0; 3 ;0 B a , 0;0; 3 S a . Do ; 3 ;0 DA CB C a a . Véc tơ chỉ phương của đường thẳng SB là 0; 3 ; 3 SB a a , chọn véc tơ chỉ phương của đường thẳng SB là 0;1; 1 u . Lại có: ;0; 3 SA a a , ; 3 ; 3 SC a a a véc tơ pháp tuyến của mp SAC là 2 2 2 , 3 ; 2 3 ; 3 SA SC a a a , chọn véc tơ pháp tuyến của mp SAC là 3 ;2;1 u . Gọi góc tạo bởi SB và SAC là , ta có 2 . 1 15 sin cos 1 sin . 4 4 . u n u n Câu 67. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , cạnh a , góc 60 BAD , 3 2 a SA SB SD . Gọi là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC . Giá trị sin bằng A. 1 3 . B. 2 3 . C. 5 3 . D. 2 2 3 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Lời giải Chọn C Gọi O là tâm hình thoi ABCD , H là trọng tâm tam giác ABD . Từ SA SB SD suy ra SH ABCD . Tam giác ABD có AB AD a và 60 BAD nên suy ra tam giác ABD là tam giác đều cạnh a 3 2 a AO 2 3 3 3 a AH BH AO . Do đó 2 2 SH SA AH 2 2 3 3 15 2 3 6 a a a . Ta có BH AD BH BC BC SHB . Kẻ HK SB K SB HK SBC . Trong tam giác SHB vuông tại H , ta có: 2 2 . SH BH HK SH BH 2 2 15 3 . 6 3 15 3 6 3 a a a a 15 9 a . Gọi E DH BC 3 2 DE HE . Gọi I là hình chiếu của D trên SBC , suy rA. 3 2 DI DE HK HE 3 2 DI HK 3 15 . 2 9 a 15 6 a . Ta có ; SD SBC ; SD SI DSI DSI . sin sin DSI DI SD 15 5 6 3 3 2 a a . O I E H C A D B S KST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 68. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD , tứ giác ABCD là hình thoi cạnh 0 , , 120 a SA a ABC , hình chiếu của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thỏa mãn 1 . 3 AH AB Gọi E là trung điểm , AD d là trục của đường tròn ngoại tiếp SCE , là góc giữa d và mặt phẳng . ABCD Tính tan . A. 3 14 . B. 6 7 . C. 1 2 . D. 6 35 Lời giải Chọn A Cách 1: Gọi là góc giữa , SCE ABCD . Ta có d là trục của đường tròn ngoại tiếp SCE nên d vuông góc với SCE 0 90 tan cot Kẻ HI vuông góc CE tại I SI vuông góc CE tại I ( , ) HI SI HIS 2 2 2 2 2 2 3 3 a a SH SA AH a 2 2 2 2 2 0 2 1 7 7 2 . .cos120 2. . . 4 2 2 4 2 a a a a CE CD DE CD DE a a CE 2 2 2 2 2 2 0 1 7 7 2 . .cos60 2. . . 9 4 3 2 2 36 6 a a a a a a HE AH AE AH AE HE 2 2 2 2 2 0 2 4 2 1 19 13 2 . .cos120 2. . . 9 3 2 9 3 a a a a CH CB BH CB BH a a CH 2 2 2 11 2 3 cos sin 2 . 133 133 CH CB HE HCE HCB CH CB 2 . . .sin .sin 21 a HI CE CH CE HCE HI CH HCE 2 3 3 cot . tan 14 21 2 2 HI a SH a Cách 2: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Kẻ HK vuông góc CE tại K ; HI vuông góc SE tại I HI vuông góc SCE / / d HI ( , ) ( ,( )) d ABCD HI ABCD IHK HSK 2 2 2 2 2 2 3 3 a a SH SA AH a 2 2 2 2 2 0 2 1 7 7 2 . .cos120 2. . . 4 2 2 4 2 a a a a CE CD DE CD DE a a CE 2 1 1 ; ; 3 6 2 CBH ABC AHE ABD CDE CDA S S S S S S 2 2 2 1 1 2 3 3 2 . 3 6 2 3 4 6 CHE ABC a a S S 2 2 2 3 3 tan . . 21 21 2 2 14 SCE S a HK a HK CE SH a ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông DẠNG 4: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC CHUNG 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng định nghĩa * Phương pháp Cho hai mặt phẳng , P Q và P Q . Trong P vẽ đường thẳng a và trong Q vẽ đường thẳng b . Khi đó, ta có , , P Q a b . 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách tạo mặt phẳng vuông góc giao tuyến * Phương pháp - Tìm giao tuyến d của mặt phẳng P và Q . - Dựng mặt phẳng R vuông góc với d . - Tìm giao tuyến a của mặt phẳng P và R , giao tuyến b của mặt phẳng Q và R . Khi đó: , , P Q a b . 3. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau Giả sử hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến c . Từ một điểm I bất kì trên c ta dựng trong đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong đường thẳng b vuông góc với c . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng a và b . * Phương pháp: Giả sử c , từ I c , dựng: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông , , a b a b a c b c . B. BÀI TẬP MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 1. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có SA ABCD và đáy ABCD là hình vuông tâm O . Xác định góc giữa SBD và ABCD . A. SOA . B. SBA. C. SDA . D. SOC . Câu 2. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là: A. ASB . B. SBA. C. SCA . D. ASC . Câu 3. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ( ) SA ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SCD bằng góc nào sau đây? A. ASD . B. BSC . C. ASC . D. BSD . Câu 4. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a (hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Câu 5. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 2 , AB a AD a , SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD . Khi đó A. 30 . B. 3 tan 2 . C. 60 . D. 3 tan 4 . Câu 6. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , chiều cao hình chóp bằng 2 3 a . Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng A. 60 . B. 75 . C. 30 . D. 45 . Câu 7. (TH) Trong hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 , tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng A. 3 6 . B. 3 . C. 3 2 . D. 2 3 . Câu 8. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy. A. 1 2 . B. 1 3 . C. 1 3 . D. 1 2 . Câu 9. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 3 2 a . Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 45 . B. 75 . C. 30 . D. 60 . Câu 10. (TH) Cho hình chóp . S ABC có SA ABC , tam giác ABC đều, 3 AB a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC . Giá trị của cos là A. 3 2 . B. 3 2 . C. 1 2 . D. 1 2 . Câu 11. (TH) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B cạnh AB a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2 SA a . Tính cosin của góc là góc giữa mặt phẳng ABC và mặt phẳng SBC . A. 2 cos 3 . B. 1 cos 3 . C. 1 cos 5 . D. 1 cos 5 . Câu 12. (TH) Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng a . Tính góc giữa hai mặt phẳng AB C và A B C . A. 6 . B. 3 . C. 3 arccos 4 . D. 3 arcsin 4 . Câu 13. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh bằng a . Số đo của góc giữa hai mặt phẳng BA C và DA C là: A. o 90 . B. o 60 . C. o 30 . D. o 45 . Câu 14. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh bằng a . Giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng BDA và ABCD bằng A. 6 4 . B. 3 3 . C. 6 3 . D. 3 4 . Câu 15. (TH) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C có cạnh bên bằng 2 a và đáy là tam giác vuông tại , A , 3. AB a AC a Ký hiệu là góc tạo bởi hai mặt phẳng ' A BC và BCC B . Tính tan . A. 3 tan 6 . B. 6 tan 4 . C. 3 tan 4 . D. 2 6 tan 3 . Câu 16. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, , 2 AB a AD SA a , SA ABCD . Tính tang của góc giữa mặt phẳng SBD và mặt phẳng ABCD . A. 1 5 . B. 5 2 . C. 2 5 . D. 5 . Câu 17. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác đều SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD . Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SCD bằng: A. 2 3 . B. 2 3 3 . C. 3 3 . D. 3 2 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 18. (TH) Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh ' A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh . AB Biết góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ' ' BCC B và ABC . Khi đó cos bằng A. 3 cos 3 . B. 17 cos 17 . C. 5 cos 5 . D. 16 cos 17 . Câu 19. (TH) Cho hình chóp . S ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , AB BC a , 3 SA a , SA ABC . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là A. 45 . B. 60 . C. 90 . D. 30 . Câu 20. (TH) Cho hình chóp . S ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABC , biết AB AC a , 3 BC a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC . A. 120 . B. 60 . C. 150 . D. 30 . Câu 21. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnha. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy và 3 2 a SO . Tính góc giữa SCD và ABCD . A. o 90 . B. o 45 . C. o 60 . D. o 30 . Câu 22. (TH) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , 3 , 4 AB a BC a . Biết SA ABC và góc giữa SBC và ABC bằng 0 60 . Tính diện tích tam giác SBC . A. 2 6a . B. 2 8a . C. 2 3 3 a . D. 2 12a . Câu 23. (TH) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C có đáy là tam giác đều và chiều cao lăng trụ bằng a , mặt phẳng A BC tạo với mặt đáy ABC một góc 60 . Gọi S là diện tích tam giác ABC , giá trị của S bằng A. 2 3 3 a S . B. 2 3 4 a S . C. 2 3 2 a S . D. 2 3 9 a S . Câu 24. (TH) Hình chóp đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng A. 3 3 . B. 6 3 . C. 2 2 . D. 1 2 . Câu 25. (TH) Cho hình chóp . S ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , 2 AD a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD , 2 SA a . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD . A. 1 . 5 B. 5 . 2 C. 2 . 5 D. 5. Câu 26. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy. A. 1 3 . B. 1 2 . C. 1 2 . D. 1 3 . Câu 27. (TH) Cho hình chóp . S ABCcó đáy ABC là tam giác vuông tại A . Mặt bên SBC là tam giác cân tại , S đường cao 3 SH a ( H BC ), 3 BC a . Cạnh bên SAvuông góc với mặt đáy . ABC Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 60 . B. 45 . C. 2 3 cos . D. 30 . Câu 28. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khối chóp . S ABCD có thể tích bằng 3 2 3 a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBD . Tính cos . A. 3 cos 5 . B. 6 cos 3 . C. 2 2 cos 5 . D. 10 cos 5 . Câu 29. (TH) Cho hình chóp đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 a , biết các cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAC và SCD khi đó tan bằng A. 2 3 3 . B. 21 3 . C. 21 7 . D. 3 2 . Câu 30. (TH) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a . Biết o 90 SBA SCA , 3 SA a . Tính là góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SAC . A. o 90 . B. o 30 . C. o 45 . D. o 60 . Câu 31. (TH) Cho tứ diện . S ABC có các cạnh SA , SB ; SC đôi một vuông góc và 1 SA SB SC . Tính cos , trong đó là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC ? A. 1 cos 2 . B. 1 cos 2 3 . C. 1 cos 3 2 . D. 1 cos 3 . MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 32. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi tâm O, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết AB SB a , 6 3 a SO . Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD . A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 60 . Câu 33. (VD) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại A với AB a ; 2 AC a . Mặt phẳng ( ) SBC vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC . Mặt phẳng ( );( ) SAB SAC cùng tạo với mặt phẳng ( ) ABC một góc bằng 60 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SBC . Tính tan . A. 51 17 . B. 51 3 . C. 17 3 . D. 3 17 17 . Câu 34. (VD) Cho hình lăng trụ tam giác . ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh 2 AB a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0 60 . Góc giữa hai mặt phẳng BCC B và ABC bằng A. arctan 2 . B. arctan2 . C. arctan4 . D. 1 arctan 4 . Câu 35. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , 2 AD SA a , SA ABCD . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng SB D và ABCD . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 5 . B. 5 2 . C. 2 5 . D. 1 5 . Câu 36. (VD) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , 2 AB a , SA vuông góc với mặt đáy và góc giữa SB với mặt đáy bằng 60 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC . Giá trị cos bằng A. 15 5 . B. 1 7 . C. 2 5 . D. 2 7 . Câu 37. (VD) Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D có cạnh bằng a . Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng ' BA C và ' DA C . A. 0 30 . B. 0 120 . C. 0 60 . D. 0 90 . Câu 38. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết 6 , 3 a BC SB a SO . Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD . A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 . Câu 39. (VD)Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật, 3, 4 AB BC . Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA bằng 4 . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng A. 5 34 17 . B. 3 17 17 . C. 2 34 17 . D. 3 34 17 . Câu 40. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA ABCD , SA x . Xác định x để hai mặt phẳng SBC và SDC tạo với nhau một góc bằng 60 . A. 2 a x . B. 3 x a . C. 3 2 a x . D. x a . Câu 41. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của đoạn OA và góc ; 60 SD ABCD . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD . Tính tan . A. 4 15 tan 9 . B. 30 tan 12 . C. 10 tan 3 . D. 30 tan 3 . Câu 42. (VD) Cho tứ diện đều . ABCD Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và . BCD A. 2 2 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 2 2 Câu 43. (VD) (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC , AB a , 2 SA a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , SB SC . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng AMN và ABC bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 1 2 . B. 2 5 5 . C. 5 5 . D. 1 4 . Câu 44. (VD) Cho hình chóp đều . S ABC có góc giữa mặt bên và đáy bằng 0 60 ; H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC . Khoảng cách từ H đến SA bằng 7 a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC . Khi đó, tan 2 bằng: A. 7 3 . B. 2 3 . C. 6 3 . D. 3 3 . Câu 45. (VD) Cho hình chóp đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 5 a . Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC . Gọi là góc tạo bởi mp P và ABCD . Tính tan . A. 6 tan 3 . B. 6 tan 2 . C. 2 tan 3 . D. 3 tan 2 . Câu 46. (VD) Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ' A BD và ABC . Tính tan . A. 1 tan 2 . B. tan 2 . C. 2 tan 3 . D. 3 tan 2 . Câu 47. (VD) Cho khối chóp . S ABC có , SAB ABC SAC ABC , SA a , 2 AB AC a , 2 2 BC a . Tính cos , SAC SBC . A. 1 6 . B. 1 2 . C. 5 6 . D. 2 3 . Câu 48. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có SA ABCD , ABCD là hình thang vuông tại A và D , 2 AB CD , AD CD a , SA x . Tìm giá trị của x để số đo của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC bằng 60 . A. 2 x a . B. 2 a x . C. 3 x a . D. x a . Câu 49. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a , góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng A. 30 . B. 90 . C. 0 . D. 45 . Câu 50. (VD) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh bên bằng 2a , cạnh đáy bằng a . Gọi là góc giữa hai mặt bên của hình chóp đó. Hãy tính cos . A. 8 cos 15 . B. 3 cos 2 . C. 7 cos 15 . D. 1 cos 2 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 51. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SO ABCD . Cho AB SB a , 6 3 a SO . Số đo góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD bằng với A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Câu 52. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp . S ABC bằng 3 3 6 a . Gọi là góc giữa mp SCD và mp ABCD . Khi đó tan bằng A. 3 4 . B. 3 . C. 3 3 . D. 3 2 . Câu 53. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng CB D và ABCD . A. 3 3 . B. 2 2 . C. 3 2 . D. 6 3 . Câu 54. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh bằng a . Số đo góc giữa hai mặt phẳng BA C và DA C bằng A. 60 . B. 90 . C. 120 . D. 30 . Câu 55. (VD) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , có , 2 , 2 AB BC a AD a SA a . Góc giữa hai mặt phẳng SAD và SCD bằng A. 75 . B. 30 . C. 45 . D. 60 . Câu 56. (VD) Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai tia , Bx Dy vuông góc với mặt phẳng ABCD và cùng chiều lần lượt lấy hai điểm , M N sao cho ; 4 a BM 2 DN a . Tính góc giữa hai mặt phẳng AMN và CMN . A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Câu 57. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều, có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 3 2 a . Số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng A. 90 . B. 30 . C. 45 . D. 60 . Câu 58. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a . SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABCD và SCD . Tính tan . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 3 tan 2 . B. 3 tan 3 . C. 2 3 tan 3 . D. 3 tan 4 . Câu 59. (VD) Khối lăng trụ đứng ABC.A B C có diện tích tam giác ABC bằng 2 3 . Gọi , , M N P lần lượt thuộc các cạnh A A , B B , C C , diện tích tam giác MNP bằng 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và MNP A. 30 . B. 120 . C. 90 . D. 45 . Câu 60. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. tan 2 . B. tan 3 . C. tan 2 . D. 2 tan 2 . Câu 61. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; 2 AB a , AD DC a và SA ABCD . Tang của góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng A. 1 2 . B. 1 3 . C. 3 . D. 2 . Câu 62. (VD) Cho hình chóp đều . S ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 6 a . Gọi là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp. Tính tan . A. tan 6 2 . B. tan 2 2 . C. tan 3 2 . D. tan 2 3 . Câu 63. (VD) Cho hình chóp . S ABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có 2 AB a , AD DC a , SA a và SA ABCD . Tan của góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là A. 2 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 3 . Câu 64. (VD) Cho hình chóp SABC có đường cao SA bằng 2a , tam giác ABC vuông ở C có 2 AB a , 30 CAB . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAB , SBC . A. 7 9 . B. 7 14 . C. 3 7 14 . D. 7 7 . Câu 65. (VD) Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC AD BC BD a , 2 CD x . Tính giá trị của x sao cho hai mặt phẳng ABC và ABD vuông góc với nhau. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 2 a . B. 3 a . C. 3 3 a . D. 2 3 a . MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 66. (VDC) Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D có 2 AB a , 3 AD a , 4 AA a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng AB D và A C D . Giá trị của cos bằng A. 29 61 . B. 27 34 . C. 2 2 . D. 137 169 . Câu 67. (VDC) Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , 2 AC a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và K là hình chiếu của điểm A trên cạnh SC . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và AGK . Tính cos , biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng KBC bằng 2 a . A. 1 cos 2 . B. 2 cos 2 . C. 3 cos 2 . D. 3 cos 3 . Câu 68. (VDC) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có 2 3 AB và 2 AA . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A B , A C và BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C và MNP bằng A. 6 13 65 . B. 13 65 . C. 17 13 65 . D. 18 13 65 . Câu 69. (VDC) Cho hình chóp . S ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA BC a và o 60 BAC . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của Alên SB và SC . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng AHK và ABC . A. 21 3 . B. 21 7 . C. 3 2 . D. 3 7 . Câu 70. (VDC) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại A với AB a , 2 AC a . Mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC . Hai mặt phẳng SAB , SAC cùng tạo với mặt phẳng ABC một góc bằng 60 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC . Giá trị của tan là A B C B A P M N C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 51 17 . B. 51 3 . C. 17 3 . D. 3 17 17 . Câu 71. (VDC) Cho . S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính 2 AB a ; 3 SA a và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng: A. 2 2 . B. 2 4 . C. 2 3 . D. 2 5 . Câu 72. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B . Biết rằng 2 , , 2 AD a AB BC a SA a và SA vuông góc với đáy, gọi I là trung điểm của AD , M là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2 SM MD . Điểm N thuộc cạnh CD sao cho tam giác MNI có diện tích bằng 2 3 a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ) MNI và ( ) SAC . A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 70 . Câu 73. (VDC) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BC a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, 3 SA a . Gọi M là trung điểm của AC . Tính côtang góc giữa hai mặt phẳng SBM và SAB . A. 3 2 . B. 1. C. 21 7 . D. 2 7 7 . Câu 74. (VDC) Cho lăng trụ đều . ABC A B C có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 3 . Gọi M là trung điểm của CC . Tính sin góc giữa hai mặt phẳng ACB và BMA . A. 2 5 . B. 21 5 . C. 1 5 . D. 2 5 . Câu 75. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và tại B với SA ABCD ; 5 AB ; 8 BC ; 3 AD . Góc hợp bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45 . Gọi là góc tạo bởi mặt phẳng SCB và mặt phẳng SCD . Tính tan . A. 89 2 74 . B. 89 2 37 . C. 74 2 89 . D. 37 2 89 . Câu 76. (VDC) Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc với đáy, 2 SA BC và o 120 BAC . Hình chiếu của A trên các đoạn , SB SC lần lượt là , M N . Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và AMN . A. o 45 . B. o 60 . C. o 15 . D. o 30 . Câu 77. (VDC) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông ABCD và M là điểm thuộc OI sao cho 1 2 MO MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó, côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ) MC D và ( ) MAB bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 7 85 85 . B. 6 13 65 . C. 6 85 85 . D. 17 13 65 . Câu 78. (VDC) Cho hình chóp . S ABC có ABC vuông tại B , 1, 3 AB BC , SAC đều, mặt phẳng SAC vuông với đáy. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC . Giá trị của cos bằng A. 2 65 65 . B. 65 20 . C. 65 10 . D. 65 65 . Câu 79. (VDC) Cho hình lăng trụ . ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên 2 AA a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn BG (với G là trọng tâm tam giác ABC ). Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABB A . A. 1 cos 95 . B. 1 cos 165 . C. 1 cos 134 . D. 1 cos 126 . Câu 80. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2 SA a . Biết 2 2 2 AB AD DC a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC . Tính tan A. 2 . B. 2 2 . C. 2 4 . D. 2 2 . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 4: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 1. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có SA ABCD và đáy ABCD là hình vuông tâm O . Xác định góc giữa SBD và ABCD . A. SOA . B. SBA. C. SDA . D. SOC . Lời giải Chọn A Ta có: do BD AC BD SA SA ABCD BD SAC BD SO BD AC DB SBD ABCD Góc giữa SBD và ABCD là góc giữa AC và SO là SOA (do SAC vuông tại A ). Câu 2. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là: A. ASB . B. SBA. C. SCA . D. ASC . Lời giải Chọn B Ta có: ; BC BA BC SA nên ; ; SBC ABCD AB SB SBA . Câu 3. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ( ) SA ABCD . Góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SCD bằng góc nào sau đây? A. ASD . B. BSC . C. ASC . D. BSD . Lời giải Chọn A O D B C A S C A D B S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi ( ) ( ) SAB SCD . Vì // AB CD nên // // AB CD . Vì SA AB nên SA . Vì ( ) CD SAD nên CD SD hay SD . Do đó, góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SCD bằng ASD . Câu 4. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a (hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A Ta có: SBC SAD // // Sx BC AD . Ta chứng minh được BC SAB BC SB Sx SB . Lại có: SA ABCD SA AD SA Sx . Vậy góc giữa mặt phẳng SBC và SAD là góc 45 BSA . Câu 5. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 2 , AB a AD a , SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD . Khi đó A. 30 . B. 3 tan 2 . C. 60 . D. 3 tan 4 . Lời giải Chọn C Δ A B D C S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi , H K lần lượt là trung điểm của , AB CD . Suy ra ; SH ABCD HK CD CD SHK CD SK . Do đó SKH . Tính được 3 ; 2 3 2 HK a SH a a , suy ra 3 tan 3 60 a a . Câu 6. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng a , chiều cao hình chóp bằng 2 3 a . Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng A. 60 . B. 75 . C. 30 . D. 45 . Lời giải Chọn C Gọi O là giao điểm của AC và BD ; H là trung điểm của AB . Vì . S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ABCD và 2 3 a SO . Vì SA SB nên tam giác SAB cân tại S suy ra SH AB . Ta có: SAB ABCD AB AB SH AB OH Nên góc giữa SAB và ABCD là góc giữa SH và OH , tức là SHO . Ta có: OH là đường trung bình tam giác ABD nên 1 1 2 2 OH AD a . Tam giác SHO vuông tại O nên: 3 tan 30 3 SO SHO SHO OH . Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 30 . Câu 7. (TH) Trong hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 , tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 3 6 . B. 3 . C. 3 2 . D. 2 3 . Lời giải Chọn D Nhận xét: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên có độ dài bằng nhau. Tâm của đáy là chân đường cao của hình chóp và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau, các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. Cho hình chóp đều . S ABC như hình vẽ. Gọi Olà trọng tâm của tam giác đều ABC , khi đó SO ABC . , , 60 SB ABC SB OB SBO . Gọi I là trung điểm BC , khi đó BC AI . Mặt khác SO ABC nên SO BC . Do đó BC SOI SI BC . Ta có , , SBC ABC BC SI SBC OI ABC SI BC OI BC . , , SBC ABC SI OI SIO . Xét tam giác SOB vuông tại O, ta có .tan 60 3 SO OB OA . Xét tam giác SOI vuông tại O, ta có . 3 2 . 3 tan 2 3 SO OA OI OI OI OI . Câu 8. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy. A. 1 2 . B. 1 3 . C. 1 3 . D. 1 2 . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi Olà trung điểm của AC . Vì . S ABCD là hình chóp đều nên SO ABCD . Gọi H là trung điểm của BC và góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy ABCD là . Ta có SBC ABCD BC mà BC SH và BC OH nên SHO . SH là đường cao của tam giác đều SBC cạnh a nên 3 2 a SH , Xét tam giác SOH vuông tại Ocó: cos OH SH 1 2 3 3 2 a a . Câu 9. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 3 2 a . Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy. A. 45 . B. 75 . C. 30 . D. 60 . Lời giải Chọn D Gọi O là tâm hình vuông ABCD , M là trung điểm CD . : : SCD ABCD CD SM SCD SM CD OM ABCD OM CD , , SCD ABCD SM OM SMO . 3 2 tan 3 2 a SO SMO a OM 60 SMO . A O H B S C D M O C A D B S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 10. (TH) Cho hình chóp . S ABC có SA ABC , tam giác ABC đều, 3 AB a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC . Giá trị của cos là A. 3 2 . B. 3 2 . C. 1 2 . D. 1 2 . Lời giải Chọn D Ta có SAB SAC SA , AB SAB và AB SA , AC SAC và AC SA , cho nên góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC là góc CAB và bằng 60 , 1 cos60 2 . Câu 11. (TH) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B cạnh AB a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2 SA a . Tính cosin của góc là góc giữa mặt phẳng ABC và mặt phẳng SBC . A. 2 cos 3 . B. 1 cos 3 . C. 1 cos 5 . D. 1 cos 5 . Lời giải Chọn C Vì BC AB BC SAB BC SB BC SA . Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng ABC và mặt phẳng SBC là góc SBA . Xét tam giác vuông SBA có 2 2 1 cos 5 AB AB SB SA AB . A C B S A C B S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 12. (TH) Cho hình lăng trụ đều . ABC A B C có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng a . Tính góc giữa hai mặt phẳng AB C và A B C . A. 6 . B. 3 . C. 3 arccos 4 . D. 3 arcsin 4 . Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm của B C . Ta có: B C A I B C AIA B C A A Khi đó: AB C A B C B C AI B C A I B C góc giữa hai mặt phẳng AB C và A B C là góc AIA . Xét tam giác AIA vuông tại A ta có: tan AA AIA A I 1 3 3 a a 6 AIA . Câu 13. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh bằng a . Số đo của góc giữa hai mặt phẳng BA C và DA C là: A. o 90 . B. o 60 . C. o 30 . D. o 45 . Lời giải Chọn B Dễ thấy A DC A BC , o 90 A BC A DC . Dựng DH A C BH A C . Vậy góc giữa hai mặt phẳng BA C và DA C là góc , HD HC . C B A C' A' B' D' D H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Xét tam giác DHC có 2 BD a , 6 3 a DH BH . 2 2 2 cos 2 . HD HB BD DHB HD HB 2 2 2 1 2 . 2 HD HB BD HD HB . Vậy góc giữa hai mặt phẳng BA C và DA C bằng o 60 . Câu 14. (TH) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ). Giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng BDA và ABCD bằng A. 6 4 . B. 3 3 . C. 6 3 . D. 3 4 . Lời giải Chọn C Ta thấy góc giữa hai mặt phẳng A BD và ABCD là góc A OA 2 2 2 2 6 sin 3 2 AA AA a A OA A O AA AO a a . Câu 15. (TH) Cho hình lăng trụ đứng . ABC A B C có cạnh bên bằng 2 a và đáy là tam giác vuông tại , A , 3. AB a AC a Ký hiệu là góc tạo bởi hai mặt phẳng ' A BC và BCC B . Tính tan . A. 3 tan 6 . B. 6 tan 4 . C. 3 tan 4 . D. 2 6 tan 3 . Lời giải Chọn B O A D B C C' B' D' A' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Kẻ ' ' ' A H B C , H thuộc ' ' B C Suy ra ' ' ' A H BCC B tại H . Trong ' ' BCC B kẻ HK BC tại K . Ta có ' ' ' ' BC HK BC A H A H BCC B ' BC A HK Mà ' ' A K A HK ' BC A K Ta có ' ' ' ' A BC BCC B BC BC HK gt BC A K cmt Suy ra ' A KH là góc giữa ' A BC và ' ' BCC B . Tính góc ' A KH . Xét ' A KH vuông tại H có 2 2 2 2 ' '. ' ' . 3 3 ' 2 ' ' ' ' 3 A B A C a a a A H A B A C a a , 2 HK a . Ta có 3 ' 6 2 tan ' . 4 2 a A H A KH HK a Câu 16. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, , 2 AB a AD SA a , SA ABCD . Tính tang của góc giữa mặt phẳng SBD và mặt phẳng ABCD . A. 1 5 . B. 5 2 . C. 2 5 . D. 5 . Lời giải Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Kẻ AH BD . Ta lại có BD SA suy ra BD SAH do đó góc giữa mặt phẳng SBD và mặt phẳng ABCD là SHA . Trong tam giác vuông ABD có 2 2 2 2 2 1 1 1 . 2 . 5 AB AD a AH AH AB AD AB AD Khi đó tan 5 SA SHA AH . Câu 17. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác đều SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB , CD . Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SCD bằng: A. 2 3 . B. 2 3 3 . C. 3 3 . D. 3 2 . Lời giải Chọn B Ta có: H là trung điểm AB thì SH AB (vì tam giác SAB đều) Mà SAB ABCD SH ABCD SAB ABCD AB Mặt khác // // AB CD SAB SCD Sx AB CD S SAB SCD Mà Sx SH Sx SHK Sx SK , với K là trung điểm CD . , SAB SCD HSK . S A B C D H K x ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Khi đó 2 3 tan 3 HK HSK SH . Câu 18. (TH) Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh ' A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh . AB Biết góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ' ' BCC B và ABC . Khi đó cos bằng A. 3 cos 3 . B. 17 cos 17 . C. 5 cos 5 . D. 16 cos 17 . Lời giải Chọn C Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên ABC . Khi đó: KBC là hình chiếu vuông góc của B BC trên ABC . Do đó: cos cos KBC KBC B BC B BC S S S S . Ta có: 2 2 2 3 1 1 3 . 2 2 4 2 KBC ABC a a S S . Ta lại có: cos60 2 ; AH AA a BB AA tan 60 3 A H A H a B K AH . 2 2 2. . .cos120 7 KC BC BK BC BK a . và 2 2 10 B C B K CK a . Khi đó: 2 15 2 B BC a S ( sử dụng công thức Hê-rông ). Vậy 2 2 3 5 2 cos 5 15 2 KBC B BC a S S a . Câu 19. (TH) Cho hình chóp . S ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , AB BC a , 3 SA a , SA ABC . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là A. 45 . B. 60 . C. 90 . D. 30 . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có BC SAB BC SA . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là góc SBA . tan SA SBA AB 3 a a 3 60 SBA . Câu 20. (TH) Cho hình chóp . S ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABC , biết AB AC a , 3 BC a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC . A. 120 . B. 60 . C. 150 . D. 30 . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có: , , , , AB SA AB SAB AC SA AC SAC SAB SAC AB AC SAB SAC SA . Xét tam giác ABC có: 2 2 2 2 2 2 3 1 cos 2 . 2. . 2 AB AC BC a a a BAC AB AC a a 120 BAC . Vậy , , SAB SAC AB AC 180 120 60 . Câu 21. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnha. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy và 3 2 a SO . Tính góc giữa SCD và ABCD . A. o 90 . B. o 45 . C. o 60 . D. o 30 . Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của CD. Ta có , , SCD ABCD SM OM SMO . o 3 2 tan 3 60 2 a SO SMO SMO a OM . Câu 22. (TH) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , 3 , 4 AB a BC a . Biết SA ABC và góc giữa SBC và ABC bằng 0 60 . Tính diện tích tam giác SBC . A. 2 6a . B. 2 8a . C. 2 3 3 a . D. 2 12a . Lời giải Chọn D 3a 4a 60 0 S C B A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có 0 , 60 SA ABC SBC ABC SBA . 0 2 0 . cos60 12 1 cos60 2. 2 ABC ABC SBC SBC S S AB BC S a S . Câu 23. (TH) Cho lăng trụ đứng . ABC A B C có đáy là tam giác đều và chiều cao lăng trụ bằng a , mặt phẳng A BC tạo với mặt đáy ABC một góc 60 . Gọi S là diện tích tam giác ABC , giá trị của S bằng A. 2 3 3 a S . B. 2 3 4 a S . C. 2 3 2 a S . D. 2 3 9 a S . Lời giải Chọn D Gọi M là trung điểm của BC . Ta có BC AM và BC AA BC AA M BC A M . Vậy , , A BC ABC BC BC AM AM ABC BC A M A M A BC , A BC ABC A M AM A MA 60 . A AM tại A có tan 60 AA AM 3 3 a . ABC đều có 3 . 2 AM AB 2 3 AM AB 2 3 . 3 3 a 2 3 a . ABC S S 2 3 . 4 AB 2 2 3 3 4 a 2 3 9 a . Câu 24. (TH) Hình chóp đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Côsin góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng A. 3 3 . B. 6 3 . C. 2 2 . D. 1 2 . Lời giải Chọn A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Giả sử . S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi , O I lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và trung điểm của CD . SO ABCD OI CD , SCD ABCD SIO . Ta có: SCD đều cạnh a 3 2 a SI . SOI vuông tại O , 2 a OI 3 cos 3 OI SIO SI . Câu 25. (TH) Cho hình chóp . S ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , 2 AD a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD , 2 SA a . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD . A. 1 . 5 B. 5 . 2 C. 2 . 5 D. 5. Lời giải Chọn D Trong ABD kẻ AH BD , suy ra SH BD . Góc giữa mặt phẳng SBD và mặt phẳng ABCD là góc giữa SH và HA . Gọi góc giữa hai mặt phẳng cần tìm là , vậy = . Tính tan . tan SA AH . Tính AH . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Xét tam giác BAD vuông tại A: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 4 2 AH AB AD a a a . 2 5 a AH . 2 tan 5 2 5 SA a a AH . Câu 26. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy. A. 1 3 . B. 1 2 . C. 1 2 . D. 1 3 . Lời giải Chọn A + Gọi O là tâm của hình chóp tứ giác đều . S ABCD . Ta có SO ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a và các mặt bên là các tam giác đều cạnh a . + Gọi I là trung điểm cạnh CD . Theo giả thiết ta có: SCD ABCD CD OI CD SI CD nên góc giữa mặt bên SCD và mặt đáy ABCD bằng góc giữa hai đường thẳng OI và SI bằng góc SIO . Khi đó: cos OI SIO SI 2 3 2 a a 1 cos 3 SIO . Câu 27. (TH) Cho hình chóp . S ABCcó đáy ABC là tam giác vuông tại A . Mặt bên SBC là tam giác cân tại , S đường cao 3 SH a ( H BC ), 3 BC a . Cạnh bên SAvuông góc với mặt đáy . ABC Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 60 . B. 45 . C. 2 3 cos . D. 30 . Lời giải Chọn D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Vì . SA ABC SA BC Ta có BC SH BC SA BC SAH BC AH . Mà ; ; SBC ABC BC BC AH AH ABC BC SH SH SBC (( );( )) SBC ABC ( ; ) SH AH SHA . Tam giác ABC vuông tại A nên 1 2 AH BC 3 2 a . Tam giác SAH vuông tại A có 3 3 2 2 3 a AH cos SH a 30 . Câu 28. (TH) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khối chóp . S ABCD có thể tích bằng 3 2 3 a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBD . Tính cos . A. 3 cos 5 . B. 6 cos 3 . C. 2 2 cos 5 . D. 10 cos 5 . Lời giải Chọn D Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Kẻ AH SO tại H . S A C B H ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có: , BD AO BD SA BD SAO BD AH . Vậy AH SBD . Lại có: AB SAD , do đó góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBD là góc giữa hai đường thẳng AH và AB . Vậy BAH . Khối chóp . S ABCD có thể tích bằng 3 2 3 a nên ta có: 3 2 1 2 . 2 3 3 a SA a SA a . Tam giác SAO vuông tại A, đường cao AH nên: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 5 2 2 2 AH AS AO a a a Suy ra: 10 5 a AH . Từ đó: 10 cos 5 AH AB . Câu 29. (TH) Cho hình chóp đều . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 a , biết các cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAC và SCD khi đó tan bằng A. 2 3 3 . B. 21 3 . C. 21 7 . D. 3 2 . Lời giải Chọn A 60 O K S A B C D Kẻ OK SC . Do . S ABCD là hình chóp đều và ABCD là hình vuông nên SO ABCD ; BD SAC SC BD . Suy ra SC BKD KD SC . Vậy góc giữa hai mặt phẳng SAC và SCD là OKD và tan OD OKD OK (do KOD vuông ở O): ABCD là hình vuông cạnh 2 a nên 2 AC a OA OC OD a . Trong hình chóp đều . S ABCD , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 nên 60 SAC .tan 60 3 SO OA a . Ta có 2 2 2 1 1 1 3 2 a OK OK SO OC 2 2 3 tan 3 3 OD OKD OK . Câu 30. (TH) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB a . Biết o 90 SBA SCA , 3 SA a . Tính là góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SAC . A. o 90 . B. o 30 . C. o 45 . D. o 60 . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Kẻ CH SA , dễ dàng chứng minh được BH SA . Do đó, góc tạo bởi giữa hai mặt phẳng , , SAB SAC CH BH . Ta có, . 6 3 CACS a CH SA , 2 CB a . Xét tam giác CHB , có 2 2 2 1 cos 2. . 2 CH BH BC H HB HC . Vậy o , , 60 SAB SAC CH BH . Câu 31. (TH) Cho tứ diện . S ABC có các cạnh SA , SB ; SC đôi một vuông góc và 1 SA SB SC . Tính cos , trong đó là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC ? A. 1 cos 2 . B. 1 cos 2 3 . C. 1 cos 3 2 . D. 1 cos 3 . Lời giải Chọn D Cách 1: Gọi D là trung điểm cạnh BC . Ta có SA SB SA SBC SA SC SA BC . C A B S H S A B C D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Mà SD BC nên BC SAD . , SBC ABC SDA . Khi đó tam giác SAD vuông tại S có 1 2 SD ; 3 2 AD và cos SD AD 1 cos 3 . MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu 32. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thoi tâm O, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết AB SB a , 6 3 a SO . Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD . A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 60 . Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của SA . Ta có , , ; SAB SAD SA SAB SAD BM DM BM SA DM SA . Trong SBO vuông tại O, có 2 2 2 2 6 3 9 3 a a OB SB SO a . Trong SAO vuông tại O, ta có 6 3 a OA SO 2 3 2 3 a SA OA 3 3 a AM . Mặt khác, có 2 2 2 2 3 6 9 3 a a DM BM AB AM a . Xét tam giác vuông BOM vuông tại O, có 3 3 2 sin . 45 3 2 6 OB a BMO BMO BM a . Vậy góc , 90 SAB SAD . Câu 33. (VD) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại A với AB a ; 2 AC a . Mặt phẳng ( ) SBC vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC . Mặt phẳng ( );( ) SAB SAC cùng tạo với mặt phẳng ( ) ABC một góc bằng 60 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( ) SAB và ( ) SBC . Tính tan . M O D C B A S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 51 17 . B. 51 3 . C. 17 3 . D. 3 17 17 . Lời giải Chọn B Vẽ SH BC suy ra ( ) SH ABC ; vẽ Ax là phân giác góc# Theo giả thiết thì H là giao điểm Ax BC . Kẻ (( ),( )) HI SB SBC SAB HIK HK SM 5 1 3 2 2 3 5 a BH HB AB HC AC a CH . 1 2 3 3 2 3 .tan60 3 HM BH a HM AC BC a SM HM 2 3 3 .sin60 . 3 2 3 a a HK HM 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 51 20 20 51 17 17 17 51 tan . 3 3 a MI MI BM SM a a IK HI HK HK IK Câu 34. (VD) Cho hình lăng trụ tam giác . ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh 2 AB a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 0 60 . Góc giữa hai mặt phẳng BCC B và ABC bằng A. arctan 2 . B. arctan2 . C. arctan4 . D. 1 arctan 4 . M S B A C H I ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Lời giải Chọn B Gọi H lần lượt là trung điểm của AB , khi đó góc giữa AA và ABC là 0 60 A AH Gọi , I I lần lượt là trung điểm của , BC B C , K là trung điểm của BI . Ta có AI BC HK BI mà A H BC BC A HKI BC KI Khi đó , , BCC B ABC HK KI HKI . Ta có HKI A là hình thang vuông tại , H A , có 15 6; 2 a HI a KI Khi đó 2 5 sin 5 HKI . Do đó 1 cot 2 HKI . Vậy arctan 2 HKI . Câu 35. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , 2 AD SA a , SA ABCD . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng SB D và ABCD . A. 5 . B. 5 2 . C. 2 5 . D. 1 5 . Lời giải Chọn A Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên BD AI BD 1 . Mà S A B D do SA ABCD 2 BD SAI BD SI . I' I H A B C A' B' C' K ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Mặt khác ta có 0 , 90 3 SBD ABCD BD SAI . Từ 1 , 2 , 3 SBD ABCD SIA .) Trong BA D vuông tại A có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 5 4 5 a AI AI AB AD a a . Xét SAI vuông tại A ta có: tan 5 SA AI . Câu 36. (VD) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , 2 AB a , SA vuông góc với mặt đáy và góc giữa SB với mặt đáy bằng 60 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC . Giá trị cos bằng A. 15 5 . B. 1 7 . C. 2 5 . D. 2 7 . Lời giải Chọn B Ta có giao tuyến của SBC và ABC là BC . Từ A kẻ AM BC , M là trung điểm BC (do ABC vuông cân tại A ) Ta có BC AM , BC SA (gt), do đó BC SAM suy ra góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là góc giữa hai đường thẳng SM và AM . Ta tính góc SMA Xét tam giác SMA có 2 2 1 1 2 2 2 AM BC AB AC a . Góc giữa SB và ABC là góc 60 SBA do đó .tan 60 SA AB 2 3 a , từ đó ta có 2 2 14 SM SA AM a Vậy 2 1 cos 14 7 AM a SM a . Câu 37. (VD) Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D có cạnh bằng a . Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng ' BA C và ' DA C . A. 0 30 . B. 0 120 . C. 0 60 . D. 0 90 . Lời giải Chọn C Cách 1: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông + ' BA C vuông tại B (vì ' ' ' BC ABB A BC A B ). Kẻ ' BH A C trong ' BA C . ' BD AA C (vì , ' BD AC BD AA ) ' BD A C . Ta có ' BH A C ; ' ' ' BD A C A C BHD A C HD . + ' ' ' BA C DA C A C . ' A C BHD ' BHD BA C BH ' BHD DA C DH góc giữa hai mặt phẳng ' BA C và ' DA C bằng góc giữa BH và DH . + ' ' v v BH DH BA C DA C . ' v BA C : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 ' 2 3 2 a BH DH BH BA BC a a a . 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 1 3 3 : cos 120 . 2 2 . 2 2. 3 a a a BH DH BD BHD BHD BHD a BH DH Vậy góc giữa hai mặt phẳng ' BA C và ' DA C bằng 0 0 0 180 120 60 . Cách 2: Chọn hệ tọa độ Oxyz có A O , , , ' AB AD AA lần lượt cùng hướng với các véc tơ đơn vị , , i j k . a H D C A B D' C' B' A' z y x a D C A B D' C' B' A' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Lấy 1 a , suy ra 1;0;0 , 0;1;0 , ' 0;0;1 , 1;1;0 B D A C . ' BA C có véc tơ pháp tuyến 1 ' 1;0; 1 n BA BC . ' DA C có véc tơ pháp tuyến 2 ' 0;1;1 n DA DC . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ' BA C và ' DA C 1 2 0 1 2 1 2 . 1 1 cos = cos , 60 . 2 2. 2 . n n n n n n Câu 38. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết 6 , 3 a BC SB a SO . Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD . A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm của SC , do tam giác SBC cân tại B nên ta có SC BM (1). Theo giả thiết ta có BD SAC SC BD . Do đó SC BCM suy ra SC DM (2). Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD là góc giữa hai đường thẳng BM và DM . Ta có SBO CBO suy ra 6 3 a SO CO . Do đó 1 3 2 3 a OM SC . Mặt khác 2 2 3 3 a OB SB SO . Do đó tam giác BMO vuông cân tại M hay góc 45 BMO , suy ra 90 BMD . Vậy góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD là 90 . Câu 39. Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình chữ nhật, 3, 4 AB BC . Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA bằng 4 . S A B C D O M ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông [HH11.C3.4.D03.c] Côsin của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC bằng A. 5 34 17 . B. 3 17 17 . C. 2 34 17 . D. 3 34 17 . Lời giải Chọn D Ta có: 2 2 5 AC AB BC . Kẻ đường cao BH của tam giác ABC . 12 5 AB BC BH AC và 2 2 9 16 HA AB HC AC . , 9 , 25 d H SA HA d C SA CA 36 , 25 d H SA . Vì ABC SAC BH SAC . Kẻ HK SA , SAC SAB BKH . 5 tan , 3 BH SAB SAC HK 2 1 3 34 cos , 34 5 1 3 SAB SAC . Câu 40. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA ABCD , SA x . Xác định x để hai mặt phẳng SBC và SDC tạo với nhau một góc bằng 60 . A. 2 a x . B. 3 x a . C. 3 2 a x . D. x a . Lời giải ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Chọn D Gọi O là tâm hình vuông ABCD và O AC G hc . Vì BD SAC nên BD SC , mà SC OG suy ra SC BGD . Do đó , , SBC SCD GB GD 60 60 120 BGO BGO SAC OGC nên: SA SC OG OC 2 2 2 . 2 2 a x OG x a 2 2 2 2 xa x a . Xét tam giác BGO : TH1: 2 2 2 2 2 2 tan 60 a x a BO GO xa 2 2 2 3 a x a xa 2 2 3 2 x x a x a . TH2: 2 2 2 2 2 2 tan 30 a x a BO GO xa 2 2 3 2 3 a x a xa 2 2 3 3 2 x x a 2 2 6 18 0 : x a vn Câu 41. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của đoạn OA và góc ; 60 SD ABCD . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD . Tính tan . A. 4 15 tan 9 . B. 30 tan 12 . C. 10 tan 3 . D. 30 tan 3 . Lời giải Chọn D x O B A D C S G ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có SH ABCD suy ra góc giữa SD và mặt phẳng ABCD chính là góc SDH hay 60 SDH . Hạ HK CD suy ra CD SHK nên góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD là góc SKH suy ra SKH . Ta có 2 2 2 2 2 5 2 2 2 a a DH OH OD a . Tam giác SHD là nửa tam giác đều cạnh 2 10 SD DH a suy ra đường cao 10 3 30 2 2 a a SH . Gọi M là trung điểm CD , ta có 3 2 2 OM AD a HK . Vậy 30 30 2 tan 3 3 2 a SH a HK . Câu 42. (VD) Cho tứ diện đều . ABCD Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và . BCD A. 2 2 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 2 2 Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm tam giác . BCD Ta có , , ABC BCD AM DM AMD 2a M K H O D A B C S G M D C B A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi cạnh của tứ diện là 1 khi đó ta có 3 1 3 ; 2 3 6 AM GM DM 1 cos 3 GM AMG AM Câu 43. (VD) (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC , AB a , 2 SA a . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , SB SC . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng AMN và ABC bằng A. 1 2 . B. 2 5 5 . C. 5 5 . D. 1 4 . Lời giải Chọn C Ta có: // MN BC (tính chất đường trung bình) // MN ABC AMN ABC Ax . Dễ thấy, Ax AB BC SAB Ax SAB Ax AM . Vậy góc giữa hai mặt phẳng AMN và ABC là MAB . Vì tam giác SAB vuông, nên MAB SBA . Ta có: 2 2 5 cos cos 5 5 AB a a MAB SBA SB a SA AB . Câu 44. (VD) Cho hình chóp đều . S ABC có góc giữa mặt bên và đáy bằng 0 60 ; H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC . Khoảng cách từ H đến SA bằng 7 a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC . Khi đó, tan 2 bằng: A. 7 3 . B. 2 3 . C. 6 3 . D. 3 3 . Lời giải Chọn A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi M là trung điểm của BC ; , K I lần lượt là hình chiếu vuông góc của , H M lên SA, 0 AB x x Ta có: BC AM BC SA BC SM , mà , IM SA SA IBC IB IC . Mặt khác: 1 1 3 3 3 . , 2 3 3 2 6 3 x x x HM AM AH HM . 0 3 .tan 60 . 3 6 2 x x SH HM . 2 2 2 2 2 2 2 7 1 1 1 3 4 7 x a a HK AH SH x x x . 3 3 3 . 2 2 7 2 7 a a IM HK Khi đó: 3 7 tan : 2 2 3 2 7 BM a a IM . Câu 45. (VD) Cho hình chóp đều . S ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 5 a . Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC . Gọi là góc tạo bởi mp P và ABCD . Tính tan . A. 6 tan 3 . B. 6 tan 2 . C. 2 tan 3 . D. 3 tan 2 . Lời giải Chọn A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông - Trong mặt phẳng SAC , kẻ AK SC . - Trong mặt phẳng SCD , kẻ KH SC . - Trong mặt phẳng SBC , kẻ KM SC . Khi đó P AHKM . Các tam giác SBC và SCD bằng nhau và cùng có ; MK SC HK SC . Suy ra // SM SH HM BD SB SD . Hai mặt phẳng AHKM và ABCD có A là điểm chung thứ nhất và lần lượt chứa hai đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua A và song song với BD . Bây giờ ta đi xác định góc giữa hai mặt phẳng cần tìm. Vì AO BD AO d và BD SO DB AK AK d BD AC nên góc giữa hai mặt phẳng cần tìm là góc OAK CAK . Ta có 2 2 3 SO SD OD a ; . 3.2 2 2 30 . . 5 5 SO AC a a a SO AC AK SC AK SC a ; 15 cos 5 AK CAK AC . Suy ra 2 1 5 6 tan 1 1 cos 3 3 . Cách 2. Vì hai mặt phẳng P và ABCD lần lượt có hai véc tơ pháp tuyến là SC và SO nên góc giữa hai mặt phẳng cần tìm là góc giữa hai đường thẳng , SO SC . Ta có 2 2 3 SO SD OD a nên 2 6 tan 3 3 OC a SO a . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 46. (VD) Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ' A BD và ABC . Tính tan . A. 1 tan 2 . B. tan 2 . C. 2 tan 3 . D. 3 tan 2 . Lời giải Chọn B Ta có ' A BD ABC BD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Vì ABCD là hình vuông nên AO BD . Mặt khác AO là hình chiếu của ' A O lên ( ) ABCD nên theo định lý 3 đường vuông góc ta có ' A O BD . Do đó góc giữa ' A BD và ABC là ' A OA . Gọi cạnh hình lập phương là a . Tam giác ' A OA vuông tại A có ' AA a , 2 2 a AO , ' tan ' 2 2 2 AA a A OA AO a . Vậy tan 2 . Câu 47. (VD) Cho khối chóp . S ABC có , SAB ABC SAC ABC , SA a , 2 AB AC a , 2 2 BC a . Tính cos , SAC SBC . A. 1 6 . B. 1 2 . C. 5 6 . D. 2 3 . Lời giải Chọn A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có: SAB ABC SA ABC SAC ABC . Ta có: 2 2 2 BC AB AC ABC AB AC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC AM BC . Kẻ AH SM tại H . Mà BC SA BC SAM BC AH AH SBC tại H . Ta lại có: AB SAC . Do đó: , , SAC SBC AH AB HAB . Ta có: 2 2 2 2 . 2. 6 2 2 3 2 BC AM SA a a a AM a AH AM SA a a 6 6 1 cos : 2 3 6 6 AH a HAB a AB . Vậy 1 cos , 6 SAC SBC . Câu 48. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có SA ABCD , ABCD là hình thang vuông tại A và D , 2 AB CD , AD CD a , SA x . Tìm giá trị của x để số đo của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC bằng 60 . A. 2 x a . B. 2 a x . C. 3 x a . D. x a . Lời giải Chọn A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Dựng CE AB CE SAB và ADCE là hình vuông AE BE EC a . Dựng EI SB SB CEI SB CI . Vậy góc giữa SAB và SBC là góc 60 CIE . Xét EIC vuông tại E có .cot 60 3 a IE EC ; 2 2 2 2 2 3 3 a a IB BE EI a . Vì SAB đồng dạng với EIB nên 2 . . 3 2 2 3 a a SA AB AB EI SA a EI IB IB a . Vậy 2 x a . Câu 49. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a , góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng A. 30 . B. 90 . C. 0 . D. 45 . Lời giải Chọn D Ta có AB SAD Gọi E là hình chiếu của A lên SB , dễ thấy AE SBC Vậy góc giữa SAD và SBC là góc giữa AB và AE Ta có tam giác SAB vuông cân tại A suy ra 0 0 45 45 SBA BAE là góc giữa AB và AE Vậy góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng 0 45 BAE . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 50. (VD) Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh bên bằng 2a , cạnh đáy bằng a . Gọi là góc giữa hai mặt bên của hình chóp đó. Hãy tính cos . A. 8 cos 15 . B. 3 cos 2 . C. 7 cos 15 . D. 1 cos 2 . Lời giải Chọn C Gọi , M N là chân đường cao hạ từ các đỉnh , B S của tam giác SBC . H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC . Ta có: AB SHC AB SC Mặt khác SC BM SC ABM SC AM Vậy ; ; , SAC SBC SC AM SAC SAC SBC AM BM BM SBC SC AM SC BM . Ta tính góc AMB . Xét tam giác AMB . Tam giác SBC cân tại S nên N là trung điểm của BC . +) 2 2 2 2 15 4 4 2 a a SN SC NC a . +) . 15. 15 2.2 4 SN BC a a a BM SC a . +) 2 2 2 2 AM AC MC BC MC BM . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 15 15 7 16 16 cos 0 15 2. . 15 2. 16 a a a AM BM AB AMB a MA MB , suy ra góc AMB nhọn. Vậy 7 ; ; cos 15 SAC SBC AM BM AMB . Câu 51. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SO ABCD . Cho AB SB a , 6 3 a SO . Số đo góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD bằng với A. 90 . B. 45 . C. 60 . D. 30 . Lời giải N M H C B A S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Chọn C Trong tam giác SOA , từ điểm O kẻ OE SA 1 . Do BO AC BO SO BO SAC BO SA SO AC O 2 . Từ 1 và 2 suy ra SA BOE SA BE 3 . Tương tự, ta cũng có SA DE 4 . Từ 3 và 4 suy ra góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD chính là góc giữa hai đường thẳng BE và DE . Tam giác SBA cân tại B nên E là trung điểm của SA . Trong tam giác vuông SOA , ta có 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a a a OA SA SO a . Trong tam giác vuông AOB , ta có 2 2 2 2 6 3 3 a a OB AB OA a . Trong tam giác vuông SOA , ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 9 2 2 2 3 a OE OE OA SO a a a . Trong tam giác vuông BOE , ta có ο ο 6 3 tan 3 60 120 2 3 a OB BEO BEO BED OE a . Vậy góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD bằng 60 . Câu 52. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp . S ABC bằng 3 3 6 a . Gọi là góc giữa mp SCD và mp ABCD . Khi đó tan bằng A. 3 4 . B. 3 . C. 3 3 . D. 3 2 . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có 2 1 2 2 ABC ABCD a S S . Mà 3 . 1 3 . 3 3 6 S ABC ABC a V SA S SA a . Có CD SA CD SAD CD SD CD AD . Vì ABCD SCD CD . Mà CD SD CD AD ; ; SCD ABCD SD AD SAD . 3 tan 3 SA a AD a . Câu 53. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng CB D và ABCD . A. 3 3 . B. 2 2 . C. 3 2 . D. 6 3 . Lời giải Chọn A Do / / ABCD A B C D nên góc giữa mặt phẳng CB D và ABCD bằng góc giữa mặt phẳng CB D và A B C D . Gọi O A C B D , ta dễ dàng chứng minh được B D C OC B D CO , nên góc giữa mặt phẳng CB D và A B C D là góc giữa CO và C O , là góc C OC . O A B D D' C C' B' A' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Đặt 1 CC thì ta có 2 2 C O , 6 2 CO , 3 cos 3 C O C OC CO . Câu 54. (VD) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có cạnh bằng a . Số đo góc giữa hai mặt phẳng BA C và DA C bằng A. 60 . B. 90 . C. 120 . D. 30 . Lời giải Chọn A Kẻ DE A C tại 1 E Vì 2 BD AC BD AA C BD A C BD AA Từ 1 và 2 A C BDE A C BE , , BA C DA C A C DE A C BA C DA C DE BE BE A C Tính BED . 6 2; 3 DC A D BD a BE DE a A C 2 2 2 1 cos 120 2 . 2 BE DE BD BED BED BE DE Vậy , 60 BA C DA C Câu 55. (VD) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , có , 2 , 2 AB BC a AD a SA a . Góc giữa hai mặt phẳng SAD và SCD bằng A. 75 . B. 30 . C. 45 . D. 60 . Lời giải Chọn D C' C A B D D' B' A' E ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông E là trung điểm của AD . Do đó AE ED a , 2 2 6 S SA AD a D . Trong mặt phẳng (SAD), từ E kẻ EF SD ( F SD ). Theo giả thiết: ( ) SA ABCD SA AB Ta lại có: AD AB nên ( ) AB SAD ABCE là hình vuông AB EC ( ) EC SAD EC EF EC SD Vì EC SD EF SD nên SD FC . Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) là EFC . 3 . 2 3 6 EF ED a a SAD EFD EF a SA SD a ∽ Xét tam giác EFC vuông tại E. 3 3 tan 3 a EC a EFC EF 60 EFC Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng 60 . Câu 56. (VD) Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai tia , Bx Dy vuông góc với mặt phẳng ABCD và cùng chiều lần lượt lấy hai điểm , M N sao cho ; 4 a BM 2 DN a . Tính góc giữa hai mặt phẳng AMN và CMN . A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn D Cách 1: Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ: ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có: 0;0;0 B , 0; ;0 A a , ;0;0 C a , 0;0; 4 a M , ; ;2 N a a a . 0; ; 4 a AM a , 0;0;2 AN a , 2 2 2 , 2 ; ; 4 a AM AN a a là vectơ pháp tuyến của mp AMN . ; 0; 4 a CM a , 0; ; 2 CN a a , 2 2 2 , ;2 ; 4 a CM CN a a là vectơ pháp tuyến của mp CMN . Do đó: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 cos 0 4 . 4 16 16 a a a a a a a a a 90 . Cách 2: Tacó: c.c.c AMN CMN nên kẻ CH MN tại H thì AH MN . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Mà AMN CMN MN nên góc giữa hai mặt phẳng AMN và CMN là góc giữa hai đường thẳng , HA HC . Ta có: 2 2 17 4 a MC BC MB , 2 2 5 NC CD ND a , 2 2 2 2 49 9 2 16 4 a a MN ME EN a . 2 2 2 2 cos . 85 MC NC MN MCN MC NC 9 sin 85 MCN . 2 1 9 . .sin 2 8 MCN a S MC NC MCN . Từ đó: 2 MCN S CH a AH MN . Do 2 2 2 AH CH AC nên tam giác AHC vuông tại H . Vậy góc giữa hai đường thẳng , HA HC bằng 90 . Câu 57. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều, có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 3 2 a . Số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng A. 90 . B. 30 . C. 45 . D. 60 . Lời giải Chọn D Xét hình chóp tứ giác đều . S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a và I là tâm hình vuông ABCD. Khi đó SI ABCD nên chiều cao của hình chóp là 3 2 a SI . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Vì IM là đường trung bình của tam giác ABD suy ra // IM AD . Mặt khác AB AD (do ABCD là hình vuông). Do đó IM AB . . S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên tam giác SAB cân tại S SM AB . Ta có: SAB ABCD AB ; SM SAB ; SM AB ; IM ABCD ; IM AB nên , , SAB ABCD SM IM SMI . Xét tam giác SMI vuông tại I , ta có: 3 2 tan . 3 2 SI a SMI MI a . Suy ra 60 SMI . Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 . M I C A D B S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Câu 58. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a . SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABCD và SCD . Tính tan . A. 3 tan 2 . B. 3 tan 3 . C. 2 3 tan 3 . D. 3 tan 4 . Lời giải Chọn A Kẻ trung tuyến SH AB SH ABCD Gọi K là trung điểm CD HK CD Ta có , CD HK CD SH CD SK Vậy góc giữa hai mặt phẳng ABCD và SCD là SKH Xét tam giác SHK vuông tại H có 3 3 tan 2 2 SH a HK a ( 3, 2 SH a HK AD a ). Câu 59. (VD) Khối lăng trụ đứng ABC.A B C có diện tích tam giác ABC bằng 2 3 . Gọi , , M N P lần lượt thuộc các cạnh A A , B B , C C , diện tích tam giác MNP bằng 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và MNP A. 30 . B. 120 . C. 90 . D. 45 . Lời giải Chọn A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Từ giả thiết suy ra tam giác ABC là hình chiếu của tam giác MNP lên mặt phẳng ABC . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ABC và MNP . Theo công thức diện tích hình chiếu ta có 3 c 2 os 3 3 2 4 0 α α ABC MNP S S . Câu 60. (VD) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. tan 2 . B. tan 3 . C. tan 2 . D. 2 tan 2 . Lời giải Chọn A Gọi M là trung điểm CD . Ta có: SCD ABCD CD SM CD,SM SCD SMO OM CD,OM ABCD . Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh 2a nên 2 2 2 BD a OD a . OM a , 2 2 2 2 2 2 2 SO SD OD a a a . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông 2 tan 2 SO a OM a . Câu 61. (VD) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; 2 AB a , AD DC a và SA ABCD . Tang của góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng A. 1 2 . B. 1 3 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn A SBC ABCD BC . Dễ chứng minh được: AC BC BC SAC BC SC , SBC ABCD SCA 1 tan 2 2 SA a SCA AC a . Câu 62. (VD) Cho hình chóp đều . S ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 6 a . Gọi là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp. Tính tan . A. tan 6 2 . B. tan 2 2 . C. tan 3 2 . D. tan 2 3 . Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm BC và O là tâm đáy. ( ) SO ABC , , ABC SBC AI SI SIA (vì SOI vuông tại O ). B C A D S ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Vì đáy là tam giác đều cạnh a nên 1 1 3 3 . 3 3 2 6 a a OI AI . Do đó: 6 tan 6 2 3 6 SO a OI a . Câu 63. (VD) Cho hình chóp . S ABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có 2 AB a , AD DC a , SA a và SA ABCD . Tan của góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là A. 2 . B. 1 2 . C. 1 3 . D. 3 . Lời giải Chọn B Cách 1: Gọi I là trung điểm của AB suy ra 1 2 AI AB a . Mặt khác ABCD là hình thang vuông và AD DC a , nên ADCI là hình vuông suy ra CI a . Vậy trong tam giác ACB có đường trung tuyến 1 2 CI AB và CI AB , nên ACB vuông cân tại C , hay AC CB (1). Mà theo giả thiết SA ABCD SA CB (2). Từ (1) và (2) suy ra CB SC . Do đó góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là góc giữa hai đường thẳng trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến, tức là góc SCA . Ta có 2 AC a . Vậy 1 tan 2 2 a a . Cách 2: Gọi I là trung điểm của AB suy ra 1 2 AI AB a . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Suy ra AC CB (1). Mà SA ABCD SA CB (2) Từ (1) và (2) suy ra SC CB Vậy góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là góc giữa hai đường thẳng trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến, tức là góc SCA . Do đó 1 tan 2 2 a a . Câu 64. (VD) Cho hình chóp SABC có đường cao SA bằng 2a , tam giác ABC vuông ở C có 2 AB a , 30 CAB . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAB , SBC . A. 7 9 . B. 7 14 . C. 3 7 14 . D. 7 7 . Lời giải Chọn D SA ABC SAB ABC SA SAB Trong mp ABC , kẻ 1 CE AB SAB ABC CE SAB CE SB ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Trong mp SAB , kẻ 2 EK SB Từ 1 và 2 , SB CK SAB SBC EKC 2 2 .cos 2 .cos 60 , .cos30 3, 7 BC AB B a a AC AB a SC SA AC a 2 2 2 2 . 14 4 SC CB CK SC CB , 3 .sin .sin 60 2 a CE BC B a , 2 2 2 4 a EK CK CE 7 cos 7 EK EKC CK Câu 65. (VD) Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC AD BC BD a , 2 CD x . Tính giá trị của x sao cho hai mặt phẳng ABC và ABD vuông góc với nhau. A. 2 a . B. 3 a . C. 3 3 a . D. 2 3 a . Lời giải Chọn C Gọi M , N lần lượt là trung điểm CD , AB . Ta có: AC AD BC BD a nên ACD cân tại A, BCD cân tại B , CAB cân tại C , DAB cân tại D . Suy ra AM BM , CN DN . Góc giữa ACD và BCD là góc 90 AMB . Tính: 2 2 2 2 BM AM AD MD a x . Xét ABM vuông cân tại M có: 2 2 2 2 AM a x MN 1 . Góc giữa ABC và ABD là góc giữa CN và DN . Khi đó ABC ABD 90 CN DN CND . Xét CDN vuông cân tại N có: 2 CD MN x 2 . Từ 1 và 2 suy ra: 2 2 3 3 2 a x a x x . N M C B D A ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 66. (VDC) Cho hình hộp chữ nhật . ABCD A B C D có 2 AB a , 3 AD a , 4 AA a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng AB D và A C D . Giá trị của cos bằng A. 29 61 . B. 27 34 . C. 2 2 . D. 137 169 . Lời giải Chọn A Gọi E , ' E lần lượt là tâm của hình chữ nhật ADD A , A B C D . Khi đó: EE DA C AB D . Dựng A H , D F lần lượt là đường cao của hai tam giác DA C , AB D . Dễ thấy: A H , D F , EE đồng qui tại K và A K EE D K EE . Hình chữ nhật DD C C có: 2 2 2 5 DC DD D C a . Hình chữ nhật ADD A có: 2 2 5 A D AD AA a . Hình chữ nhật A B C D có: 2 2 13 A C A B B C a . Suy rA. 2 61 DA C S a 2 DA C S A H DC 305 5 a 305 10 A K a . Hoàn toàn tương tự ta có: 305 10 D K a . Trong tam giác A D K có: 2 2 2 29 cos 2. . 61 A K D K A D x A K D K . 29 cos cos 61 x . Câu 67. (VDC) Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , 2 AC a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và K là hình chiếu của điểm A trên ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông cạnh SC . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABC và AGK . Tính cos , biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng KBC bằng 2 a . A. 1 cos 2 . B. 2 cos 2 . C. 3 cos 2 . D. 3 cos 3 . Lời giải Chọn D Tam giác ABC vuông cân tại B mà 2 AC a suy ra AB BC a . Do BC BA , BC SA (vì SA ABC ) nên BC SAB . Gọi H là hình chiếu của điểm A lên SB , thì AH SB , AH BC (vì BC SAB ) nên AH SAB hay , 2 a AH d A SBC . Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SAB với đường cao AH , ta được: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 AH SA AB SA AH AB a SA a nên tam giác SAB vuông cân tại A do đó trọng tâm G thuộc AH . Từ AH SBC AH SC và AK SC nên SC AHK hay SC AGK . Vì SC AGK và SA ABC nên góc giữa hai mặt phẳng AGK và ABC chính là góc giữa hai đường thẳng SC và SA hay CSA . Theo trên ta có 2 2 3 SC SA AC a suy ra 3 cos 3 3 SA a AC a . Câu 68. (VDC) Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C có 2 3 AB và 2 AA . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh A B , A C và BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C và MNP bằng ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 6 13 65 . B. 13 65 . C. 17 13 65 . D. 18 13 65 . Lời giải Chọn B Gọi I , Q lần lượt là trung điểm của MN , B C . Gọi O PI AQ . Khi đó / / , O AB C MNP B C MN B C AB C MN MNP nên giao tuyến của AB C và MNP là đường thẳng d qua O và song song MN , B C . Tam giác AB C cân tại A nên AQ B C AQ d . Tam giác PMN cân tại P nên PI MN PI d . Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng AB C và MNP là góc giữa AQ và PI . Ta có 3 AP , 13 AQ , 5 2 IP . Vì OAP OQI ∽ và 2 AP IQ nên 2 2 13 3 3 OA AQ ; 2 5 3 3 OP IP . cos , AB C MNP cos , AQ PI cos AOP 2 2 2 2 . OA OP AP OAOP 13 65 . Câu 69. (VDC) Cho hình chóp . S ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA BC a và o 60 BAC . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của Alên SB và SC . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng AHK và ABC . C B A C B A M N P Q O A B C B A P M N C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 21 3 . B. 21 7 . C. 3 2 . D. 3 7 . Lời giải Chọn B Ta có SA ABC 1 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , kẻ đường kính AD ta có BD SAB và CD SAC . Từ đó suy ra AH SBD và AK SCD . Do đó SD AHK 2 . Từ 1 và 2 suy ra ; ; ABC AHK SA SD DSA . Trong ABC có 2 sin BC R A hay o 2 sin 60 a AD R 2 3 a AD . Trong ASD có 2 2 21 3 a SD SA AD . Vậy cos ; ABC AHK cos DSA SA SD 21 7 . Câu 70. (VDC) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác vuông tại A với AB a , 2 AC a . Mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC . Hai mặt phẳng SAB , SAC cùng tạo với mặt phẳng ABC một góc bằng 60 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC . Giá trị của tan là A. 51 17 . B. 51 3 . C. 17 3 . D. 3 17 17 . Lời giải Chọn B 60 o a a I S A B C K H D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Xác định chân đường cao H kẻ từ S của hình chóp . S ABC : Trong SBC , kẻ SH BC tại H . Vì SBC ABC nên SH ABC . Trong ABC , kẻ HD AB tại D và HE AC tại E . Vì SH ABC nên SD AB và SE AC . , SAB ABC SDH , , SAC ABC SEH . Khi đó, theo giả thiết thì 60 SDH SEH . SHD SHE HD HE . H là chân đường phân giác trong kẻ từ A của ABC . Tính SH : Ta có: 1 1 1 . . .sin 45 . .sin 45 2 2 2 ABC AHB AHC S S S AB AC AB AH AC AH 2 3 2 2 2 2 . 2 3 a a a AH AH . Mặt khác, ADHE là hình vuông nên 2 2 2 3 AH a HD HE . 2 3 .tan 60 3 a SH HD . CÁCH 1: Xác định góc : ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Trong ABC , kẻ AK BC tại K . Vì ABC SBC nên AK SBC . Trong SAB , kẻ AI SB tại I . Vì AK SBC nên KI SB . AIK . Tính tan : ABC vuông tại A có 2 2 . 2 5 5 AB AC a BC AB AC a AK BC . Vì AH là phân giác của BAC nên 1 1 2 1 2 HB AB HB HC AC HB HC 1 5 3 3 3 HB BC a HB BC . SHB vuông tại H có 2 2 17 3 a SB SH HB . Mặt khác, 4 . 4 17 cos60 3 17 HD a SD AB a SD AI SB . AIK vuông tại K có 2 2 2 255 51 tan 85 3 a AK IK AI AK AIK IK . Vậy 51 tan 3 . CÁCH 2: Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình trên, với: 0;0;0 A , ;0;0 B a , 0;2 ;0 C a , 2 2 2 3 ; ; 3 3 3 a a a S . Khi đó, 2 2 2 3 ; ; 3 3 3 a a a AS , ;0;0 AB a , 2 2 3 ; ; 3 3 3 a a a BS , ;2 ;0 BC a a . Đặt 1 SAB n n , 2 SBC n n . Ta có: 2 2 1 3 , 0;2 3; 2 n AS AB a a , 2 2 2 3 , 4 3; 2 3;0 n BS BC a a . 4 1 2 . 12 n n a , 2 1 4 n a , 2 2 2 15 n a ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Khi đó, 4 1 2 2 2 1 2 . 12 15 cos 10 4 .2 15 . n n a a a n n . Mà 2 2 2 1 17 51 tan 1 tan tan cos 3 3 . Vậy 51 tan 3 . Câu 71. (VDC) Cho . S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính 2 AB a ; 3 SA a và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC bằng: A. 2 2 . B. 2 4 . C. 2 3 . D. 2 5 . Lời giải Chọn B Gọi E AD BC , dễ thấy D là trung điểm của AE ; 2 AE a ; 2 2 7 SE SA AE a . SAD SBC SE . Ta có BD AD ( tính chất lục giác đều) ; mà BD SA nên BD SE (1). Gọi F là hình chiếu vuông góc của D lên SE , DF SE (2). Từ (1); (2) BF SE Vậy ; ; SAD SBC DF BF 2 2 3 DB AB AD a . SAE đồng dạng với DFE 3 . 7 DF DE DE a DF SA SA SE SE . . 2 7 DE AE a EF SE ; 2 2 2 6 7 a BF BE EF . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông 2 2 2 2 2 2 3 2 6 3 7 7 2 cos 2 . 4 3 2 6 2. . 7 7 a a a BF DF BD BFD BF DF a a . 2 cos ; cos ; cos 4 SAD SBC DF BF BFD . Cách 2 Có ABCD là nửa lục giác đều cạnh là a, nên 3 AC BD SA a . Có BD AB , BD SA BD SAB Có CD AC , CD SA CD SAC . SAC cân tại A, gọi H là trung điểm SC . AH SC , mà AH CD (do CD SAC ). AH SCD , mà BD SAB . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng SAB và SCD là góc tạo bởi hai đường thẳng BD và AH . cos , cos , AH BD AH BD . . AH BD AH BD , 6 2 2 SC a AH . Có 1 . 2 AH BD AS AC BD 1 . 2 AC BD 2 1 3 . .cos120 2 4 a AC BD . 2 2 4 2 cos , 4 6 3 2 a AH BD a . Vậy 2 cos 4 . Cách 3 Có ABCD là nửa lục giác đều cạnh là a, nên 3 AC BD SA a . Có BD AB , BD SA BD SAB Có CD AC , CD SA CD SAC . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông SAC cân tại A, gọi H là trung điểm SC . AH SC , mà AH CD (do CD SAC ). AH SCD , mà BD SAB . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng SAB và SCD là góc tạo bởi hai đường thẳng BD và AH . Gọi I AC BD , vẽ // IK AH , K SC , có AH SCD . IK SCD . Có , , BD AH IK BD . DIK vuông tại K có Cos IK DIK ID . Có 2 ID AD IB BC 2 2 3 3 3 a ID BD Có 1 3 IK IC AH AC 6 3 6 AH a IK Suy ra Cos IK DIK ID 6 3 2 . 6 4 2 3 a a . Vậy 2 cos 4 . ------------HẾT------------- Câu 72. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B . Biết rằng 2 , , 2 AD a AB BC a SA a và SA vuông góc với đáy, gọi I là trung điểm của AD , M là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2 SM MD . Điểm N thuộc cạnh CD sao cho tam giác MNI có diện tích bằng 2 3 a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ) MNI và ( ) SAC . A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 70 . Lời giải Chọn B ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có 2, 2, 2 AC a CD a AD a ACD vuông tại C CD AC . Mặt khác ( ) CD SA CD SAC Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( ) MNI và ( ) SAC , ta có os sin( ,( )) c CD MNI Ta có . . . . 1 1 1 . . . . . . 3 2 6 D MNI D MNI D SAC D SAC V DM DI DN DN DN V V V DS DA NC NC NC Mặt khác có 3 . 2 . 1 1 1 2 . . . . .2 . 2. 2 3 2 6 3 1 1 . ( ,( )). . ( ,( )). 3 3 3 S ACD D MNI MNI a V SA AC CD a a a a V d D MNI S d D MNI ( ,( )) . DN d D MNI a DC Ta có 0 . ( ,( )) 2 sin( ,( )) 45 2 2 DN a d D MNI a a DC CD MNI DN DN DC a . Câu 73. (VDC) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BC a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, 3 SA a . Gọi M là trung điểm của AC . Tính côtang góc giữa hai mặt phẳng SBM và SAB . A. 3 2 . B. 1. C. 21 7 . D. 2 7 7 . Lời giải Chọn A Kẻ AH SB và AK SM . Vì tam giác ABC vuông cân tại B và BC a cùng với SA ABC nên suy ra BM SAC và 2 2 2 AC a BM AM . Do đó BM AK . M S A B C H K ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Từ BM AK và AK SM suy ra AK SBM AK SB . Từ AH SB và AK SB ta có AHK SB . Do đó, góc giữa hai mặt phẳng SBM và SAB bằng hoặc bù với góc AHK . Ta có: 2 2 . SA AB AH SA AB 2 2 . 3 3 a a a a 3 2 a . 2 2 . SA AM AK SA AM 2 2 2 . 3 2 2 3 2 a a a a 21 7 a . Từ AHK SB ta có HK SB nên SHK SMB , do đó HK SK MB SB . Mặt khác 2 . SK SM SA 2 SA SK SM 2 2 2 3 2 3 2 a a a 3 14 7 a ; 2 2 2 SB SA AB a ; Nên 3 14 14 HK SK MB SB 3 14 . 14 HK MB 3 14 2 3 7 . 14 2 14 a a . Trong tam giác AHK ta có: 2 2 2 cos 2. . AH HK AK AHK AH HK 2 2 2 3 3 7 21 2 14 7 3 3 7 2. . 2 14 a a a a a 21 7 . Như vậy, góc giữa hai mặt phẳng SBM và SAB là với 21 cos 7 2 7 sin 7 . Bởi vậy: cos 3 cot sin 2 . Câu 74. (VDC) Cho lăng trụ đều . ABC A B C có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 3 . Gọi M là trung điểm của CC . Tính sin góc giữa hai mặt phẳng ACB và BMA . A. 2 5 . B. 21 5 . C. 1 5 . D. 2 5 . Lời giải Chọn A Gọi P là trung điểm AC , N AB A B , I là trung điểm của BN , K AI BB , H là hình chiếu của K trên B P . Do 3 AA và 1 AB nên ABN đều AI A B từ đó dễ dàng chứng minh được AK BMA , hơn nữa KH ACB nên suy ra góc giữa hai mặt phẳng ACB và BMA là AKH . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Dễ thấy: +) 1 3 3 3 BK BB 2 3 AK +) 3 2 BP , 2 3 B K 15 2 B P Ta có B BP B HK 2 3 . . 2 2 3 15 15 2 B K HK B K BP HK B P BP B P . Trong tam giác AHK : 2 2 4 15 AH AK HK , 4 2 15 sin 2 5 3 AH AKH AK . Câu 75. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và tại B với SA ABCD ; 5 AB ; 8 BC ; 3 AD . Góc hợp bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45 . Gọi là góc tạo bởi mặt phẳng SCB và mặt phẳng SCD . Tính tan . A. 89 2 74 . B. 89 2 37 . C. 74 2 89 . D. 37 2 89 . Lời giải Chọn A Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên SBC . 45° K S E A D B C F ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Kẻ DF SC tại F EF SC tại F . ; EF DF DFE . 2 2 89 SA AC AB BC ; 2 178 SC SA . 2 2 7 2 SD SA AD ; 2 2 5 2 CD DK KC . + Ta có / / AD SBC nên , , 2 2 . 5 89 114 D SBC A SBC SA AB d d DE SA AB . + 2 2 2 3 187 cos sin 2 . 14 14 SD DC SC SDC SDC SD DC . + . .sin 5 187 . . .sin 178 SD DC SDC DF SC SD DC SDC DF SC . + 2 2 5.37 5073 EF DF DE . + 5 89 5037 89 89 2 tan . 5.37 74 114 37 2 DE EF . Câu 76. (VDC) Cho hình chóp . S ABC có SA vuông góc với đáy, 2 SA BC và o 120 BAC . Hình chiếu của A trên các đoạn , SB SC lần lượt là , M N . Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC và AMN . A. o 45 . B. o 60 . C. o 15 . D. o 30 . Lời giải Chọn D Kẻ đường kính AD của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có o 90 ABD ACD . Khi đó BD AB BD SAB BD SA hay BD AM và AM SB , từ đó ta có AM SBD AM SD . Chứng minh tương tự ta có AN SD . Từ đó suy ra SD AMN , mà SA ABC . Suy ra , , ABC AMN SA SD DSA . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Ta có 3 2 sin . 2 3 2 BC R A AD SA BC AD . Vậy o 1 tan 30 3 AD ASD ASD SA . Câu 77. (VDC) Cho hình lập phương . ABCD A B C D có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông ABCD và M là điểm thuộc OI sao cho 1 2 MO MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó, côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ) MC D và ( ) MAB bằng A. 7 85 85 . B. 6 13 65 . C. 6 85 85 . D. 17 13 65 . Lời giải Chọn D Cách 1: Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ' ') MC D và ( ) MAB . Giả sử hình lập phương cạnh bằng 1 Gọi , P Q lần lượt là trung điểm AB và ' ' C D . Ta có ( ) : ( ' ') : ' ' ( ),( ' ') ( , ) || ' ' MP MAB MP AB MQ MC D MQ C D MAB MC D MP MQ AB C D Tam giác MIP vuông tại I có: 2 2 1 2 1 13 , 2 3 3 6 IP MI OI MP MI IP ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi ' I là tâm hình vuông ' ' ' ' A B C D . Tam giác ' MQI vuông tại ' I 2 2 2 2 2 1 5 ' ' ( ) ( ) 3 2 6 MQ MI QI Xét tam giác MPQ có 5 13 2, , 6 6 QP MQ MP nên áp dụng định lý Côsin ta được: 2 2 2 17 13 cos 2 . 65 MQ MP QP PMQ MQ MP Suy ra 17 13 cos cos 65 PMQ . Cách 2 (Gắn hệ trục tọa độ) Giả sử hình lập phương có cạnh bằng 1 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với 2 2 1 (0;0;0), : ( ;0;0), : (0; ;0), O Iz : O(0;0; ) 2 2 2 I A Ix A B Iy B Khi đó 1 2 2 (0;0; ), C'( ;0;1), '(0; ;1) 3 2 2 M D +) Xét mp( ) MAB có 2 2 2 1 ( ; ;0), ( ;0; ) 2 2 2 3 AB MA Chọn 1 ( 1 ;1 ;0) u cùng phương với AB ; 1 (3 2;0; 2) u cùng phương với MA 1 2 1 , ( 2; 2; 3 2) (2;2;3 2) u u n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng( ) MAB . +) Xét mp( ' ') MC D có 2 2 ' ' , ' ( ;0; ) 2 3 D C AB MC Chọn 3 ( 3 2;0;4) u cùng phương với ' MC 2 1 3 , (4;4;3 2) n u u là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng( ' ') MC D +) Ta có 1 2 1 2 . 17 3 cos 65 n n n n . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Vậy côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ' ') MC D và ( ) MAB bằng 17 13 65 . Câu 78. (VDC) Cho hình chóp . S ABC có ABC vuông tại B , 1, 3 AB BC , SAC đều, mặt phẳng SAC vuông với đáy. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC . Giá trị của cos bằng A. 2 65 65 . B. 65 20 . C. 65 10 . D. 65 65 . Lời giải Chọn D Gọi , , H M N lần lượt là trung điểm của , , AC AB BC . SAC ABC SH ABC , SH HM SH HN ABC vuông tại B HM HN ABC vuông tại B 2 AC 3 SH 1 3 2 2 HM BC ; 1 1 2 2 HN AB Chọn hệ trục tọa độ như sau: 0;0;0 H ; 0;0; 3 S ; 3 0; ;0 2 M ; 1 ;0;0 2 N , 1 3 ; ;0 2 2 B 1 ;0;0 2 1 3 ; ; 3 2 2 BM BS ; 3 0; ;0 2 1 3 ; ; 3 2 2 BN BS 1 3 3 , 0; ; 2 4 n BM BS ; 2 3 3 , ;0; 2 4 n BN BS 1 2 cos cos ; n n 3 65 16 65 3 3 9 3 . 4 16 4 16 Câu 79. (VDC) Cho hình lăng trụ . ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên 2 AA a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của đoạn BG (với G là trọng tâm tam giác ABC ). Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ABC và ABB A . ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông A. 1 cos 95 . B. 1 cos 165 . C. 1 cos 134 . D. 1 cos 126 . Lời giải Chọn B Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AC AB . Gọi I là trung điểm của BG . Qua I kẻ đường thẳng song song với CN cắt AB tại K thì IK AB (do CN AB ) (1). Vì A I ABC nên A I AB (2). Từ (1) và (2) suy ra AB A KI . Do đó A KI . Vì I là trung điểm BG nên suy ra 1 2 IK GN 1 1 . 2 3 CN 1 1 3 . . 2 3 2 a 4 3 a . Trong tam giác vuông AIM ta có 2 2 2 AI AM MI 2 2 2 3 . 2 3 2 a a 2 7 12 a . Trong tam giác vuông A AI ta có 2 2 2 A I A A AI 2 2 7 2 12 a a 2 41 12 a . Trong tam giác vuông A KI ta có 2 2 2 A K A I KI 2 2 41 12 4 3 a a 2 165 48 a . Suy ra 165 4 3 a A K . Từ đó ta có cos KI A K 4 3 165 4 3 a a 1 165 . Câu 80. (VDC) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 2 SA a . Biết 2 2 2 AB AD DC a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC . Tính tan A. 2 . B. 2 2 . C. 2 4 . D. 2 2 . Lời giải Chọn A N M K I G C B A B' C' A' ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chủ đề: Góc Trong Không Gian File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Yuotube: Thầy Đặng Việt Đông Gọi M là trung điểm của AB , K là hình chiếu vuông góc của A lên SC Ta có AMCD là hình vuông nên 1 2 CM a AB nên tam giác ABC vuông tại C Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) BC AC BC SAC SAC SBC AK SBC BC SA Ta có SKB là hình chiếu của tam giác SAB lên SBC Theo công thức diện tích hình chiếu ta có 2 1 1 cos , .AB 2a , . 2 2 SKB SAB SKB SAB S S SA S SK BC S 2 2 2 2 4 2 6 SC SA AC a a a 2 2 4 4 . 6 6 a a SK SC SA SK a 1 1 4 2 . . . 2 2 2 6 3 SKB a a S SK BC a 2 2 1 3 cos 2a 3 SKB SAB a S S , 2 2 1 1 tan 3 tan 2 cos 2a a a 2a S B C D A K M