Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Đáp án chi tiết đề thi chọn HSG cấp huyện môn Toán lớp 9". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.
1
HSG –TOAN 9 - 02 ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN 9
Thời gian :150 phút, (không kể thời gian giao đề)
ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN
Lời giải – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
Câu 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a/ A 6 2 2 3 4 12
b/ B 4 10 2 5 4 10 2 5 5 .
Giải
2
2 2
a / A 6 2 2 3 4 12 6 2 2 3 3 2 3 1 6 2 2 3 3 1
A 6 2 2(2 3) 6 2 4 2 3 6 2 3 1 4 2 3 3 1
A 3 1
Câu 2: Cho biểu thức P =
2x 2 x x 1 x x 1
x x x x x
a/ Rút gọn biểu thức P
b/ So sánh P với 5
c/ Tìm giá trị của x để
8
Q
P
nhận giá trị nguyên.
Giải
a/ Rút gọn biểu thức P
Ñkxñ: x > 0; x 1.
x 1 x x 1 x 1 x x 1
2x 2 x x 1 x x 1 2x 2
P = -
x x x x x x x( x 1) x( x 1)
2 x x 1
2x 2 x x 1 x x 1
P =
x x
b/ So sánh P với 5
2 x x 1
1
P 2 x 1
x x
- Theo BĐT Cô Si ta có:
1 1
x 2 x. 2
x x
2
1
P 2 x 1 2.2 + 2 = 6 > 5
x
P > 5
c/ Tìm giá trị của x để
8
Q
P
nhận giá trị nguyên.
(4)
8 8 4
Q
P
x x 1
2 x x 1
x
x
x x 1
Ö 1;2;4 vì x > 0
x
x x 1
* Xeùt 1 x 1 (loaïi)
x
x x 1
* Xeùt 2 x x 1 0
x
= 1 - 4 = - 3 < 0 (loaïi)
1 1
1 2
x x 1
* Xeùt 4 x 3 x 1 0
x
9 4 5; 5
3 5 7 5
x x (tm)
2 2
3 5 7 5
x x 0 (tm)
2 2
Vậy khi
7 5
x
2
hoặc
7 5
x
2
thì P nhận giá trị nguyên.
Câu 3
Cho đường thẳng (d) y mx m 2
a/ Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định;
b/ Tìm m đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác diện tích bằng 3.
Giải
a/ Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi
Ta có: y mx m 2 mx m y 2 0 m x 1 y 2 0
3
x 1 0 x 1
y 2 0 y 2
Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định (x
0
;y
0
) = (-1;-2) với mọi giá
trị của m.
b/ Tìm m để đường thẳng (d) cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích
bằng 3.
Với đk: m 0.
- Khi x = 0 thì y = m – 2 A(0; m - 2)
- Khi y = 0 thì
2 m 2 m
x B( ;0)
m m
2 m
OA | m 2 |; OB=| |
m
- Diện tích tam giác OAB là:
2
OAB
m 2
1 1 2 m 1 2 m
S .OA.OB . | m 2 | . | | 3 . | m 2 | . | | 3 6
2 2 m 2 m | m |
+ Xét m > 0 thì – m < 0 |- m| = - (- m) = m.
2
2
2
1
2
m 2
6 m 2 6m m 10m 4 0
| m |
m 5 21 (tm)
' 25 4 21; ' 21
m 5 21 0 (tm)
+ Xét m < 0 thì – m > 0 |- m| = - m.
2
2 2
2
m 2
6 m 2 6m m 2m 4 0 m 1 3 0 (VN)
| m |
Vậy khi m = 5 21 hoặc m = 5 21 thì đường thẳng (d) cắt 2 trục tọa độ tạo
thành tam giác OAB có diện tích bằng 3.
Câu 4
a/ Giải phương trình sau:
x 9 5 2x 4
b/ Giải hệ phương trình sau:
2
2 2
6x 3xy x 1 y
x y 1
Giải
a/ Giải phương trình sau:
21
ÑKXÑ: - 2 x 10,5
2
Ta có:
2 2
x 9 5 2x 4 ( x 9) (5 2x 4)
x 10 2x 4 20 0 2x 20 2x 4 40 0
4
2
2
2x 4 20 2x 4 36 0 2x 4 2.10 2x 4 100 64 0
2x 4 10 64
2x 4 10 8 x 160 (loaïi)
x 0 (tm)
2x 4 10 8
Vậy tập nghiệm của pt là
S 0
Câu 5
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định, EF là đường kính di động. Kẻ
đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Nối AE, AF cắt đường thẳng d lần
lượt tại M và N.
a/ Chứng minh rằng AE.AM = AF.AN.
b/ Kẻ AD vuông góc với EF cắt MN tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của
MN.
c/ Gọi H là trực tâm của tam giác MFN. Chứng minh rằng khi đường kính EF di
động thì H luôn thuộc một đường tròn cố định.
Giải
a/ Chứng minh AE.AM = AF.AN
(1)
AFE ABE (Chaén AE)
0
(2)
0
ABE EBM 90
ABE EMB
EMB EBM 90
Từ (1) và (2) suy ra:
AFE EMB AMN
- Xét AFE và AMN có.
AFE AMN (cmt)
AFE AMN (gg)
A Goùc chung
AE AF
AN AM
AE.AM AF.AN (ñpcm)
b/ Chứng minh I là trung điểm của MN.
Ta có:
(1)
sñ AB sñ BF sñ AF
ANI
2 2
0
(2)
0
NAI AFE 90 1
NAI AEF ( sñAF)
2
AEF AFE 90
Từ (1) và (2) suy ra:
1
ANI NAI ( sñAF)
2
IAN cân tại I
IA = IN
(3)
H
I
N
M
F
E
B
A
O
O'
D
K
J 5
0
0
IAM AEF 90
IAM AFE (=AMI)
AFE AEF 90
IAM AMI
IAM cân tại I
IA = IM
(4)
Từ (3) và (4) suy ra:
MN
IM IN
2
và 3 điểm M, I, N thẳng hàng .
Vậy I là trung điểm của MN.
c/ Chứng minh khi đường kính EF di động thì H thuộc một đường tròn cố
định.
Xét MFN ta có:
MA NF
FK MN 3 ñöôøng cao MA, FK, NJ cuûa MFN caét nhau taïi tröïc taâm H.
NJ MF
- Lấy điểm O’ đối xứng với điểm O qua điểm A
O’A = AO = R
Ta có:
AB/ /HF ( MN)
Tö ù giaùc ABFH laø hình bình haønh.
AH / /BF ( AF)
AH = BF (vì 2 cạnh đối hình bình hành)
Vì AH // BF
O'AH OBF (ñvò)
- Xét O’AH và OBF có.
O'A OB = R
O'AH OBF(ñvò) O'AH OBF (cgc)
AH = BF (cmt)
O’H = OF = R (không đổi)
Vì A coá ñònh
O' coá ñònh.
vaø O coá ñònh
Vậy khi đường kính EF di động quay quanh O thì trực tâm H chạy trên đường
tròn (O’; O’H = R) cố định
Câu 6
Cho
3 3 2 2
x y 3(x y ) 4(x y) 4 0 với xy > 0. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
1 1
M
x y
Giải
3 3 2 2
2 2
x y 3(x y ) 4(x y) 4 0
x y 2 x 1 y 1 x 1 y 1 1 0
x y 2 6
2
1 1 x y 2 2
M 2
x y xy xy
x y
4
Dấu “=” xảy ra khii x = y = 1.