LOREM IPSUM DOLOR SIT AMET TÀI LIỆU TOÁN 11 Năm học: 2020 – 2021. Lưu hành nội bộ. www.facebook.com/Nhóm- Toán-Thầy-Lê-Văn-Đoàn- 112798047209867/ 0933.755.607 thầy Đoàn 0983.047.188 thầy Nam Nhomtoanlevandoan @gmail.com Sở GD & ĐT Tp. Hồ Chí Minh §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 1 - Chương 1. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG NỘI DỤNG Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm và phép quay. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau. Phép vị tự, tâm vị tự của hai đường tròn. Khái niệm về phép đồng dạng và hai hình đồng dạng. § 1. MỞ ĐẦU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH Định nghĩa Phép biến hình là một quy tắc để ứng với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, ta xác định được một điểm duy nhất M thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó. Kí hiệu và thuật ngữ: Cho phép biến hình . F Nếu M là ảnh của điểm M qua F thì ta viết ( ). M F M Ta nói phép biến hình F biến điểm M thành . M Nếu H là một hình nào đó thì { ( ), } H M M F M M H được gọi là ảnh của H qua . F Kí hiệu là ( ). H F H Phép dời hình: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Phép dời hình: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Biến đường thẳng thành đường thẳng. Biến tia thành tia. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho. Biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với đường tròn ban đầu. Biến góc thành góc bằng góc ban đầu. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 2 - § 2. PHÉP TỊNH TIẾN Định nghĩa Trong mặt phẳng cho véctơ . v Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho M M v được gọi là phép tịnh tiến theo véctơ . v Phép tịnh tiến theo véctơ v được kí hiệu . v T Như vậy: ( ) . v M T M MM v Tính chất: Phép tịnh tiến là phép biến hình: Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó. Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho. Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho. Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Trong mặt phẳng tọa độ , O xy gọi ( ; ) M M M x y là ảnh của ( ; ) M M M x y qua phép tịnh tiến theo ( ; ). v a b Khi đó: ( ) M M v M M x a x M T M y b y BÀI TẬP TỰ LUẬN CƠ BẢN 1. Trong mặt phẳng , O xy cho (2;1), v điểm (3;2). M Tìm tọa độ điểm A sao cho a) ( ). v A T M Vì A là ảnh của M qua phép tịnh tiến : v 2 3 5 ( ) (5;3). 1 2 3 A v A x A T M A y b) ( ). v M T A Vì M là ảnh của A qua phép tịnh tiến : v ........................................................................................ ........................................................................................ 2. Trong mặt phẳng , O xy cho ( 1;3), v điểm ( 1;4). M Tìm tọa độ A sao cho a) ( ). v A T M ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... b) ( ). v M T A ........................................................ ................................................................................... ................................................................................... ................................................................................... c) 2 ( ). v A T M ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ d) ( ). v M T A ........................................................... ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ v M M'§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 3 - 3. Trong mặt phẳng , O xy cho đường thẳng : 2 3 12 0. d x y Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến (4; 3). v Học sinh nghe giảng và bổ sung lời giải 1 Gọi ( ) v d T d d d nên d có dạng 2 3 0. x y m Cho 3 2 ( 3;2) : 2 3 12 0. x y M d x y Ta có: ........................... ( ) (.........;.........). ........................... M v M x M T M M y Do (1; 1) : 2 3 0 M d x y m ........................................................................................................... Suy ra : 2 3 5 0. d x y Học sinh nghe giảng và bổ sung lời giải 2 Gọi ( ; ) : 2 3 12 0 M x y d x y và ( ; ) ( ). M M v M x y T M Do .............. .............. ( ) (.............; ..............). .............. .............. M v M x x M T M M y y Vì ( 4; 3) : 2 3 12 0 2( 4) 3( 3) 12 0 M M M M M x y d x y x y 2 3 5 0 : 2 3 5 0. M M M M x y M d x y Do đó ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến (4; 3) v là : 2 3 5 0. d x y Học sinh nghe giảng và bổ sung lời giải 3 Chọn ( 3;2) M d và (0;4) . N d Vì ............................ ( ; ) ( ) (........;........). ............................ M M M v M x M x y T M M y Vì ............................... ( ; ) ( ) (........;........). ............................... N N N v N x N x y T N N y Nếu gọi ( ) v d T d thì , M N d nên d có véctơ chỉ phương là (3;2). d u M N Suy ra véctơ pháp tuyến của d là (2; 3) d n và đi qua đi qua (4;1) N nên có dạng: : 2( 4) 3( 1) 0 2 3 5 0. d x y x y Lưu ý. Học sinh sẽ làm cách của giáo viên trên lớp. 4. Trong mặt phẳng , O xy cho đường thẳng : 2 3 5 0. d x y Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến (3;2). v Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 4 - 5. Trong mặt phẳng , O xy cho đường thẳng : 3 2 0. d x y Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến ( 4;2). v Lời giải. ............................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 6. Trong mặt phẳng , O xy cho đường thẳng : 2 4 0. d x y Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến v A B với (3;1), ( 1;8). A B Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 7. Trong mặt phẳng , O xy cho đường thẳng : 3 4 5 0. d x y Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến v A B với (0;2), (2;3). A B Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 8. Trong mặt phẳng , O xy cho đường thẳng : 3 2 0. d x y Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến 2 v A B với ( 2;3), (0;2). A B Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 5 - 9. Trong mặt phẳng , O xy cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 4) ( 3) 6. C x y Hãy tìm ảnh của đường tròn ( ) C qua phép tịnh tiến (3;2). v Lời giải tham khảo Đường tròn ( ) C có tâm (4; 3), I bán kính 6. R Gọi 3 4 7 ( ; ) ( ) (7; 1). 2 3 1 I I I v I x I x y T I I y Gọi ( ) ( ) ( ) v C T C C có tâm (7; 1) I và bán kính 6 R R có dạng: 2 2 ( ) : ( 7) ( 1) 6 C x y là ảnh của đường tròn ( ) C đã cho. 10. Trong mặt phẳng , O xy cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 2) ( 4) 16. C x y Hãy tìm ảnh của đường tròn ( ) C qua phép tịnh tiến (2; 3). v Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 11. Trong mặt phẳng , O xy cho đường tròn 2 ( ) : ( 1) ( 3) 25. C x y Hãy tìm ảnh của đường tròn ( ) C qua phép tịnh tiến v A B với ( 1;1), (1; 2). A B Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 12. Trong mặt phẳng , O xy cho đường tròn 2 2 ( ) : 4 6 8 0. C x y x y Hãy tìm ảnh của đường tròn ( ) C qua phép tịnh tiến (5; 2). v Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 6 - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho véctơ (3; 1). u Phép tịnh tiến theo véctơ u biến điểm (1; 4) M thành điểm A. (4; 5). M B. ( 2; 3). M C. (3; 4). M D. (4;5). M .............................................................................................................. .............................................................................................................. 2. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy nếu phép tịnh tiến biến điểm (3;2) A thành điểm (2;3) A thì nó biến điểm (2;5) B thành điểm A. (5;2). B B. (1;6). B C. (5;5). B D. (5;5). B .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 3. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho véctơ ( 1;3). v Phép tịnh tiến theo véctơ u biến điểm (3; 3) A thành điểm A. (2; 6). A B. (2;0). A C. (4;0). A D. ( 2;0). A .............................................................................................................. .............................................................................................................. 4. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho điểm ( 4;2), M biết M là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véctơ (1; 5). v Tìm tọa độ điểm . M A. ( 3;5). M B. (3;7). M C. ( 5;7). M D. ( 5; 3). M .............................................................................................................. .............................................................................................................. 5. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho điểm ( 5;2) M và điểm ( 3;2) M là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véctơ . v Tìm tọa độ véctơ . v A. ( 2;0). v B. (0;2). v C. ( 1;0). v D. (2;0). v .............................................................................................................. .............................................................................................................. 6. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho hai điểm (0;2), ( 2;1) M N và véctơ (1;2). v Phép tịnh tiến theo véctơ v biến , M N thành hai điểm , M N tương ứng. Tính độ dài . M N A. 5. M N B. 7. M N C. 1. M N D. 3. M N .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 7. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho hình bình hành AB C D với (1; 4), (8;2) A B và giao điểm của hai đường chéo A C và B D là (3; 2). I Nếu T là phép tịnh tiến theo véctơ u biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng C D thì vectơ u có tọa độ là A. (3;12). B. (5;3). C. ( 3; 2). D. (7; 5). .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 7 - 8. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho AB C biết (2;4), (5;1), ( 1; 2). A B C Phép tịnh tiến theo véctơ B C biến AB C thành A B C tương ứng các điểm. Tọa độ trọng tâm G của A B C là A. ( 4; 2). G B. (4;2). G C. (4; 2). G D. ( 4;4). G .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 9. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy tìm phương trình đườn thẳng là ảnh của đường thẳng : 2 1 0 x y qua phép tịnh tiến theo véctơ (1; 1). v A. : 2 0. x y B. : 2 3 0. x y C. : 2 1 0. x y D. : 2 2 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 10. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường thẳng : 5 1 0 x y và vectơ (4;2). v Khi đó ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo vectơ v là A. 5 15 0. x y B. 5 15 0. x y C. 5 6 0. x y D. 5 7 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 11. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho ( 4;2) v và đường thẳng : 2 5 0. x y Hỏi là ảnh của đường thẳng nào sau đây qua . v T A. : 2 5 0. x y B. : 2 9 0. x y C. : 2 15 0. x y D. : 2 11 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 12. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường thẳng 1 2 : 1 x t y t và đường thẳng : 2 1 0. x y Tìm tọa độ vectơ v biết ( ) . v T A. (0; 1). v B. (0;2). v C. (0;1). v D. ( 1;1). v .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 13. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy phép tịnh tiến theo vectơ (4;6) u biến đường thẳng a có phương trình 1 0 x y thành §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 8 - A. 9 0. x y B. 9 0. x y C. 9 0. x y D. 9 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 14. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy nếu phép tịnh tiến biến điểm (2; 1) A thành điểm (3;0) A thì nó biến đường thẳng nào sau đây thành chính nó ? A. 1 0. x y B. 100 0. x y C. 2 4 0. x y D. 2 1 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 15. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường thẳng . : 3 2 5 0 x y a Phép tịnh tiến theo vectơ (1; 2) u biến đường thẳng đó thành đường thẳng a có phương trình là A. 3 2 4 0. x y B. 3 2 0. x y C. 3 2 10 0. x y D. 3 2 7 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 16. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường thẳng có phương trình 4 3 0. x y Ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến T theo vectơ (2; 1) u có phương trình là A. 4 5 0. x y B. 4 10 0. x y C. 4 6 0. x y D. 4 6 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 17. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường thẳng có phương trình 3 4 1 0. x y Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên phải một đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng có phương trình là A. 3 4 5 0. x y B. 3 4 2 0. x y C. 3 4 3 0. x y D. 3 4 10 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 18. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường thẳng có phương trình 2 3 0. x y Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên trái hai đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng có phương trình là A. 2 7 0. x y B. 2 2 0. x y C. 2 8 0. x y D. 2 6 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 9 - 19. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 8 0. T x y x Phép tịnh tiến theo vectơ (3; 1), u biến đường tròn ( ) T thành đường tròn ( ) T có phương trình là A. 2 2 8 2 8 0. x y x y B. 2 2 4 5 0. x y x y C. 2 2 4 4 3 0. x y x y D. 2 2 6 4 2 0. x y x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 20. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy tìm phương trình đường tròn ( ) C là ảnh của đường tròn 2 2 ( ) : 4 2 1 0 C x y x y qua phép tịnh tiến theo (1;3). v A. 2 2 ( ) : ( 3) ( 4) 2. C x y B. 2 2 ( ) : ( 3) ( 4) 4. C x y C. 2 2 ( ) : ( 3) ( 4) 4. C x y D. 2 2 ( ) : ( 3) ( 4) 4. C x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 21. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho (3; 1) v và đường tròn 2 2 ( ) : ( 4) 16. C x y Ảnh của ( ) C qua phép tịnh tiến v T là A. 2 2 ( 1) ( 1) 16. x y B. 2 2 ( 1) ( 1) 16. x y C. 2 2 ( 7) ( 1) 16. x y D. 2 2 ( 7) ( 1) 16. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 22. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 3 0. T x y x y Phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên phải 4 đơn vị, biến đường tròn ( ) T thành đường tròn ( ) T có phương trình là A. 2 2 9 2 17 0. x y x y B. 2 2 4 2 4 0. x y x y C. 2 2 5 4 5 0. x y x y D. 2 2 7 2 1 0. x y x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 23. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 3 0. T x y x y Phép tịnh tiến theo phương của trục tung về dưới 2 đơn vị, biến đường tròn ( ) T thành đường tròn ( ) T có phương trình là A. 2 2 2 9 0. x y y B. 2 2 2 6 2 0. x y x y C. 2 2 4 5 0. x y x y D. 2 2 2 7 0. x y x .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.A 11.D 12.C 13.A 14.B 15.A 16.C 17.B 18.A 19.A 20.B 21.C 22.A 23.D §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 10 - BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỰ LUẬN BT 1. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho (3;5), ( 1;1), ( 1;2), A B v đường thẳng d và đường tròn ( ) C có phương trình: 2 2 : 2 3 0, ( ) : ( 2) ( 3) 25. d x y C x y a) Tìm ảnh của các điểm , A B theo thứ tự là ảnh của , A B qua phép tịnh tiến . v b) Tìm tọa độ điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến . v c) Tìm phương trình đường thẳng , d đường tròn ( ) C lần lượt là ảnh của , ( ) d C qua phép tịnh tiến . v BT 2. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho tam giác A B C có ảnh qua phép tịnh tiến theo (2;5) v là tam giác A B C và tam giác A B C có trọng tâm là ( 3;4), G biết rằng ( 1;6), (3;4). A B Tìm , , . A B C BT 3. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho một phép tịnh tiến biến đường tròn ( ) C thành đường tròn ( ). C Hãy xác định phép tịnh tiến đó trong các trường hợp sau: a) 2 2 ( ) : ( 1) ( 2) 16, C x y 2 2 ( ) : ( 10) ( 5) 16. C x y b) 2 2 ( ) : 2 6 1 0, C x y x y 2 2 ( ) : 4 2 4 0. C x y x y c) 2 2 ( ) : ( ) ( 2) 5, C x m y 2 2 2 ( ) : 2( 2) 6 12 0. C x y m y x m BT 4. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho véctơ ( 2;1) v và hai đường thẳng : 2 3 3 0 d x y và 1 : 2 3 5 0. d x y a) Viết phương trình của đường thẳng d là ảnh của d qua . v T b) Tìm tọa độ của u có giá vuông góc với đường thẳng d để 1 d là ảnh của d qua . u T BT 5. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường thẳng : 3 9 0. d x y a) Tìm phép tịnh tiến theo véctơ v có phương song song với trục , O x biến d thành đường thẳng d đi qua gốc tọa độ. Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng . d b) Tìm phép tịnh tiến theo véctơ u có giá song song với trục , O y biến d thành d đi qua điểm (1;1). A BT 6. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy hãy xác định phép tịnh tiến theo v cùng phương với trục hoành biến đường thẳng : 4 4 0 d x y thành đường thẳng d qua (1; 3). A BT 7. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình là : 3 5 3 0 d x y và : 3 5 24 0. d x y Tìm , v biết 13 v và ( ) . v T d d BT 8. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy phép tịnh tiến theo v biến điểm (3; 1) M thành một điểm trên đường thẳng : 9 0. d x y Tìm tọa độ , v biết rằng 5. v BT 9. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy hãy xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho phép tịnh tiến theo ( 2;3) v biến điểm M thành điểm M nằm trên trục tung. BT 10. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho hai đường thẳng , d d lần lượt có phương trình là : 3 7 0, : 3 13 0 d x y d x y và véctơ (1; 1). u Tìm tọa độ của véctơ v trong phép tịnh tiến v T biến d thành , d biết rằng hai véctơ v và u cùng phương. BT 11. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho hai parabol 2 ( ) : 4 7 P y x x và 2 ( ) : . P y x Tìm phép tịnh tiến biến ( ) P thành ( ). P §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 11 - § 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC (giảm tải) Định nghĩa Điểm M được gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng . M M Khi điểm M nằm trên d thì ta xem M đối xứng với chính nó qua đường thẳng . d Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng , d hay gọi là tắt là phép đối xứng trục. Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng. Kí hiệu: . d § Như vậy: ( ) M M M M M M d o o § với o M là hình chiếu vuông góc M lên . d Biểu thức tọa độ Trong mặt phẳng tọa độ , O xy với mỗi điểm ( ; ), M M M x y gọi ( ; ) ( ). M M d M x y M § Nếu chọn d là trục , O x thì ta có: M M M M x x y y Nếu chọn d là trục , O y thì ta có: M M M M x x y y Tính chất Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên có đầy đủ tính chất của phép dời hình: Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Biến một đường thẳng thành đường thẳng. Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho. Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho. Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính. Trục đối xứng của một hình Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục d § biến H thành chính nó, tức là ( ). d H H § BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy phép đối xứng trục biến điểm (2;1) A thành (2;5) A có trục đối xứng là A. Đường thẳng 3. y B. Đường thẳng 3. x .............................................................................................................. .............................................................................................................. d M o M M '§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 12 - C. Đường thẳng 6. y D. Đường thẳng 3 0. x y .............................................................................................................. 2. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho AB C với (2;6), ( 1;2), (6;1). A B C Gọi G là trọng tâm của . A B C Phép đối xứng trục O x § biến điểm G thành điểm G có tọa độ là A. (2;4). B. (3; 3). C. 7 ; 3 . 3 D. 4 ; 4 . 3 .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 3. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy nếu phép đối xứng trục biến điểm (3;1) M thành điểm ( 1; 3) M thì nó biến điểm ( 3; 4) N thành điểm A. (3;4). N B. (3; 4). N C. (4; 3). N D. (4;3). N .............................................................................................................. .............................................................................................................. 4. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy nếu phép đối xứng trục biến điểm (0;1) A thành điểm ( 1;0) A thì nó biến điểm ( 5;5) B thành điểm A. ( 5;5). B B. (5;5). B C. (5; 5). B D. ( 1;1). B .............................................................................................................. .............................................................................................................. 5. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường thẳng : 2 0. d x y Ảnh của d qua phép đối xứng trục tung có phương trình A. 2 0. x y B. 2 0. x y C. 2 0. x y D. 2 2 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 6. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường tròn 2 2 ( ) : 4 5 1 0. C x y x y Tìm ảnh đường tròn ( ) C của ( ) C qua phép đối xứng trục . O y A. 2 2 4 5 1 0. x y x y B. 2 2 4 5 1 0. x y x y C. 2 2 2 2 8 10 2 0. x y x y D. 2 2 4 5 1 0. x y x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 7. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 3 1 0. C x y x y Phép đối xứng qua trục O x biến đường tròn đó thành đường tròn ( ) C có phương trình A. 2 2 2 3 1 0. x y x y B. 2 2 2 3 1 0. x y x y C. 2 2 2 3 1 0. x y x y D. 2 2 2 3 1 0. x y x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 8. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 3 1 0. C x y x y Phép đối xứng qua trục O y biến đường tròn đó thành đường tròn ( ) C có phương trình là §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 13 - A. 2 2 2 3 1 0. x y x y B. 2 2 2 3 1 0. x y x y C. 2 2 2 3 1 0. x y x y D. 2 2 2 3 1 0. x y x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 9. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 5 0. T x y x y Phép đối xứng trục O x § biến đường tròn ( ) T thành đường tròn ( ) T có phương trình là A. 2 2 2 5 0. x y x y B. 2 2 2 5 0. x y x y C. 2 2 2 5 0. x y x y D. 2 2 2 5 0. x y x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 10. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho parabol ( ) P có phương trình 2 2 5. y x x Phép đối xứng trục O y § biến parabol ( ) P thành parabol ( ) P có phương trình là A. 2 2 5. y x x B. 2 2 5. y x x C. 2 2 5. y x x D. 2 2 5. y x x .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 11. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho parabol ( ) P có phương trình 2 2 3. y x x Phép đối xứng trục O x § biến parabol ( ) P thành parabol ( ) P có phương trình là A. 2 2 3. y x x B. 2 2 3. y x x C. 2 2 3. y x x D. 2 4 3. y x x .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 12. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường thẳng : 2 1 0 x y và điểm (3;2). A Trong các điểm dưới đây, điểm nào là điểm đối xứng của A qua đường thẳng ? A. ( 1;4). M B. ( 2;5). N C. (6; 3). P D. (1;6). Q .............................................................................................................. .............................................................................................................. 13. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy gọi a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Phép đối xứng trục a Đ biến điểm (4;3) A thành điểm A có tọa độ là A. ( 4; 3). B. (4; 3). C. ( 4;3). D. (3;4). .............................................................................................................. .............................................................................................................. 14. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy gọi b là đường phân giác của góc phần tư thứ hai. Phép đối xứng trục b Đ biến điểm (5; 2) P thành điểm P có tọa độ là A. (5;2). B. ( 5;2). C. (2; 5). D. ( 2;5). .............................................................................................................. .............................................................................................................. 15. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy phép đối xứng qua đường thẳng 0 x y biến đường thẳng 4 5 1 0 x y thành đường thẳng có phương trình là §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 14 - A. 4 5 1 0. x y B. 5 4 1 0. x y C. 5 4 1 0. x y D. 4 5 1 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 16. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho đường thẳng có phương trình 2 3 6 0. x y Đường thẳng đối xứng của qua trục hoành có phương trình là A. 2 3 6 0. x y B. 2 3 6 0. x y C. 4 6 0. x y D. 3 2 6 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 17. Gọi a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Ta xét đường thẳng : 3 4 5 0. x y Phép đối xứng trục a Đ biến đường thẳng thành đường thẳng có phương trình là A. 4 3 5 0. x y B. 3 4 5 0. x y C. 4 3 5 0. x y D. 3 4 5 0. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 18. Gọi b là đường phân giác của góc phần tư thứ hai. Ta xét đường thẳng : 5 3. y x Phép đối xứng trục b Đ biến đường thẳng thành đường thẳng có phương trình là A. 5 3 0. x y B. 5 3 0. x y C. 5 3. y x D. 5 3. y x .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 19. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy phép đối xứng qua đường thẳng 0 x y biến đường tròn có phương trình 2 2 2 1 0 x y x thành đường tròn có phương trình A. 2 2 2 1 0. x y y B. 2 2 2 1 0. x y x C. 2 2 2 1 0. x y y D. 2 2 2 1 0. x y x .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 20. Trong mặt phẳng tọa độ , O xy gọi a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Ta xét đường tròn 2 2 ( ) : ( 2) ( 3) 9. T x y Phép đối xứng trục a Đ biến đường tròn ( ) T thành đường tròn ( ) T có phương trình là A. 2 2 ( 3) ( 2) 9. x y B. 2 2 ( 2) ( 3) 9. x y C. 2 2 ( 3) ( 2) 9. x y D. 2 2 ( 3) ( 2) 9. x y .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7.B 8.C 9.A 10.B 11.C 12.A 13.D 14.C 15.B 16.A 17.A 18.A 19.A 20.A §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 15 - § 4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM (giảm tải) Định nghĩa Cho điểm . I Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành điểm M sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng M M được gọi là phép đối xứng tâm , I nghĩa là 0. I M I M Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là . I § Biểu thức tọa độ Trong mặt phẳng tọa độ , O xy cho ( ; ), ( ; ) I I M M I x y M x y và ( ; ) M M M x y là ảnh của M qua phép đối xứng tâm . I Khi đó: 2 . 2 M I M M I M x x x y y y Tính chất: Phép đối xứng tâm Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho. Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho. Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho. Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính. Tâm đối xứng của một hình Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi đó H được gọi là hình có tâm đối xứng. 1. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y nếu phép đối xứng tâm biến điểm (5;2) A thành điểm ( 3;4) A thì nó biến điểm (1; 1) B thành điểm A. (1;7). B B. (1;6). B C. (2;5). B D. (1; 5). B ................................................................................................................. ................................................................................................................. 2. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho điểm (2; 1) I và AB C với (1;4), ( 2;3), (7;2). A B C Phép đối xứng tâm § I biến trọng tâm G của AB C thành điểm G có tọa độ là A. ( 2;5). G B. (2; 5). G C. ( 1; 4). G D. (0; 5). G ................................................................................................................. ................................................................................................................. 3. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho phép đối xứng tâm có tâm là điểm gốc tọa độ. Khi đó nó biến đường thẳng 3 4 13 0 x y thành đường thẳng A. 3 4 13 0. x y B. 3 4 13 0. x y C. 3 4 13 0. x y D. 3 4 13 0. x y ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 4. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho phép đối xứng tâm với tâm là điểm (1; 1). I Khi đó nó biến đường thẳng 2 3 5 0 x y thành đường thẳng §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 16 - A. 2 3 7 0. x y B. 2 3 7 0. x y C. 2 3 7 0. x y D. 2 3 4 0. x y ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 5. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho điểm (2; 1) I và đường thẳng có phương trình 2 2 0. x y Ảnh của qua phép đối xứng tâm § I là đường thẳng có phương trình A. 2 2 0. x y B. 2 3 0. x y C. 2 6 0. x y D. 2 4 0. x y ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 6. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho hai đường thẳng song song a và b lần lượt có phương trình 3 4 1 0 x y và 3 4 5 0. x y Nếu phép đối xứng tâm biến a thành b thì tâm đối xứng phải là điểm nào trong các điểm sau đây ? A. (2; 2). I B. (2;2). I C. ( 2;2). I D. (2;0). I ................................................................................................................. ................................................................................................................. 7. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho điểm (2; 1) I và đường tròn 2 2 ( ) : 9. T x y Phép đối xứng tâm § I biến đường tròn ( ) T thành đường tròn ( ) T có phương trình là A. 2 2 8 4 11 0. x y x y B. 2 2 4 6 5 0. x y x y C. 2 2 2 4 0. x y x y D. 2 2 6 2 2 0. x y x y ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 8. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường tròn 2 2 ( ) : 8 10 32 0. C x y x y Phương trình của đường tròn ( ) C đối xứng của ( ) C qua gốc tọa độ O có phương trình là A. 2 2 ( 4) ( 5) 9. x y B. 2 2 ( 4) ( 5) 16. x y C. 2 2 ( 4) ( 5) 4. x y D. Một phương trình khác. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 9. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho parabol 2 ( ) : . P y x x Phương trình của parabol ( ) Q đối xứng với ( ) P qua gốc tọa độ O là A. 2 . y x x B. 2 . y x x C. 2 . y x x D. 2 2 . y x x ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.D 3.D 4.B 5.A 6.A 7.A 8.A 9.A §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 17 - § 5. PHÉP QUAY 1. Ñònh nghóa Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M sao cho O M O M và góc lượng giác ( ; ) O M O M bằng được gọi là phép quay tâm O góc quay . Điểm O gọi là tâm quay, gọi là góc quay. Phép quay tâm O góc , kí hiệu là ( ; ) . O Q Câu hỏi: Phép quay nào biến lá cờ ( ) C thành lá cờ ( ) : C ................................................................................... Phép quay nào biến lá cờ ( ) C thành lá cờ ( ) : C .................................................................................. 2. Tính chaát Phép quay là phép biến hình Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng. Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho. Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho. Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Giả sử phép quay tâm O góc quay biến đường thẳng d thành đường thẳng . d Khi đó: Nếu 0 2 thì góc giữa d và d bằng . Nếu 2 thì góc giữa d và d bằng . 3. Phöông phaùp xaùc ñònh moät aûnh qua pheùp quay Phương pháp 1. Sử dụng định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y gọi ( ; ) M M M x y là ảnh của ( ; ) M M M x y qua phép quay tâm ( ; ), I a b góc quay . Khi đó: ( ; ) (1) ( ; ) ( ) (2) M M I I M I M M x y Q M MI M Từ (1), sử dụng công thức tính độ dài, sẽ tìm được phương trình thứ nhất theo 2 ẩn. Từ (2), sử dụng định lý hàm số cos, sẽ tìm được phương trình thứ hai theo 2 ẩn. Giải hệ phươngtrình này tìm được , , M M x y từ đó suy ra tọa độ điểm ( ; ). M M M x y Phương pháp 2. Sử dụng công thức tọa độ. ( ; ) ( )cos ( )sin ( ; ) ( ) ( )sin ( )cos M M M M M I M M M x x a y b a M x y Q M y x a y b b d' d α α I O§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 18 - BÀI TẬP TỰ LUẬN 1. Trong mặt phẳng , O xy cho điểm (2;3), A đường thẳng : 2 3 2 0 d x y và đường tròn có phương trình: 2 2 ( ) : 4 4 1 0. C x y x y a) Tìm ảnh của điểm (2;3) A qua phép ( ; 90 ) . O Q Học sinh nghe giảng và bổ sung cách giải 1 Gọi ( ; 90 ) ( ), O A Q A với ( ; ). A a b Suy ra: (1) 90 (2) O A O A A O A Giải (1) : O A O A ............................................................................................................................... (3) Giải (2) : , 90 . 0 O A OA OA OA OA OA ................................................................ (4) Từ (3), (4) 2 2 13 2 3 0 a b a b ......................................................................................................................... Vì quay theo chiều dương nên chọn ( 3;2). A Lời giải tham khảo 2 Vận dụng ( ; ) ( )cos ( )sin ( ; ) ( ) ( )sin ( )cos M M M M M I M M M x x a y b a M x y Q M y x a y b b Khi đó: ( ; 90 ) cos90 sin90 2.0 3.1 3 ( ) ( 3;2). sin90 cos90 2.1 3.0 2 A A A O A A A x x y A Q A A y x y Nhận xét. Học sinh giải theo cách giải của giáo viên trên lớp. Về trắc nghiệm nên giải theo cách 2. b) Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép ( ; 90 ) . O Q Lời giải tham khảo Vì ( ; 90 ) ( ) O d Q d d d phương trình : 3 2 0. d x y m Chọn ( 1;0) : 2 3 2 0. M d x y Khi đó ( ; 90 ) 1.cos90 0.sin90 0 ( ) (0; 1). 1.sin90 0.cos90 1 M O M x M Q M M y Do (0; 1) 3.0 2.( 1) 0 2. M d M d m m Vậy : 3 2 2 0. d x y Nhận xét. Đối với góc quay bất kỳ, để tìm ảnh ta cần chọn ra 2 điểm trên d và tìm ảnh của 2 điểm này. Khi đó đường thẳng d đi qua hai điểm ảnh vừa tìm. c) Viết phương trình đường tròn ( ) C là ảnh của ( ) C qua phép ( ; 90 ) . O Q Lời giải tham khảo Đường tròn ( ) C có tâm (2;2) I và bán kính 2 2 2 2 ( 1) 3. R Gọi ( ; 90 ) ( ) ( ) 3. O C Q C R R Khi đó ( ; 90 ) 2cos90 2sin90 2 ( ; ) ( ) ( 2;2). 2sin90 2cos90 2 I I I O I x I x y Q I I y Do đó: 2 2 ( ) : ( 2) ( 2) 9. C x y §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 19 - 2. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y cho hai điểm (1;0), (0; 2). A B Tìm , A B lần lượt là ảnh của , A B qua phép quay tâm , O góc quay 90 . Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y hãy tìm ảnh của đường tròn ( ) C qua phép quay tâm , O góc quay trong các trường hợp sau đây: a) 2 2 ( ) : ( 2) ( 1) 1, C x y 90 . Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. b) 2 2 ( ) : 2 4 1 0, C x y x y 90 . Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. c) 2 2 ( ) : ( 1) 1, C x y 60 . Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. d) 2 2 ( ) : 4 2 0, C x y x y 30 . Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 20 - 4. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y hãy tìm ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm , O góc quay trong các trường hợp sau đây: a) : 2 0, 90 . d x y Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. b) : 3 11 0, 90 . d x y Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. c) : 3 5 0, 60 . d x y Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. d) : 2 6 0, 45 . d x y Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 21 - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. Cho hai đường thẳng bất kì d và . d Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng ? d A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất. C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép. 2. Cho hai đường thẳng song song a và , a một đường thẳng c không song song với chúng. Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng a thành đường thẳng a và biến đường thẳng c thành chính nó ? A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất. C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép. 3. Cho bốn đường thẳng , , , a b a b trong đó , a a b b và a cắt . b Có bao nhiêu phép quay biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a và ? b A. Không có phép nào B. Có một phép duy nhất. C. Chỉ có hai phép. D. Có vô số phép. 4. Cho hình vuông AB C D có tâm . O Phép quay tâm O với góc quay nào dưới đây biến hình vuông AB C D thành chính nó ? A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 120 . 5. Cho tam giác A B C đều tâm O ( O là tâm của đường tròn ngoại tiếp). Ta thực hiện phép quay tâm O biến tam giác A B C thành chính nó. Một số đo của góc quay là A. 45 . B. 60 . C. 90 . D. 120 . 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , Ox y ta xét phép quay ( ; ). Q O Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? A. Nếu 90 thì Q biến trục hoành x O x thành trục tung . y O y B. Nếu 270 thì Q biến trục tung y Oy thành trục hoành . x O x C. Nếu 90 thì Q biến trục tung y Oy thành trục hoành . x O x D. Nếu 180 thì Q biến trục hoành x O x thành chính nó. 7. Trong câu này ta chỉ xét các phép quay với góc quay thỏa điều kiện 0 180 . Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm . O Phát biểu nào sau đây là đúng ? A. Không tồn tại phép quay nào biến đường thẳng a thành đường thẳng . b B. Có duy nhất một phép quay biến đường thẳng a thành đường thằng . b C. Có đúng hai phép quay biến đường thẳng a thành đường thẳng . b D. Có vô số phép quay biến đường thẳng a thành đường thẳng . b 8. Cho hình vuông AB C D tâm . O Ta xét các mệnh đề sau: Phép quay ( ;45 ) Q O biến hình vuông AB C D thành chính nó. Phép quay ( ;60 ) Q O biến hình vuông AB C D thành chính nó. Phép quay ( ;90 ) Q O biến hình vuông AB C D thành chính nó. Phép quay ( ;180 ) Q O biến hình vuông AB C D thành chính nó. Trong các mệnh đề trên: §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 22 - A. Có duy nhất một mệnh đề đúng. B. Có hai mệnh đề đúng. C. Có ba mệnh đề đúng. D. Tất cả bốn mệnh đề đều đúng. 9. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Ta xét các mệnh đề sau: Phép quay ( ;72 ) Q O biến ngũ giác đều AB C D E thành chính nó. Phép quay ( ;90 ) Q O biến ngũ giác đều AB C D E thành chính nó. Phép quay ( ;144 ) Q O biến ngũ giác đều AB C D E thành chính nó. Phép quay ( ;216 ) Q O biến ngũ giác đều AB C D E thành chính nó. Trong các mệnh đề trên: A. Có duy nhất một mệnh đề đúng. B. Có hai mệnh đề đúng. C. Có ba mệnh đề đúng. D. Tất cả bốn mệnh đề đều đúng. 10. Chọn 12 giờ làm mốc, khi kim giờ chỉ một giờ đúng thì kim phút đã quay được một góc bao nhiêu độ ? A. 360 . B. 360 . C. 180 . D. 720 . 11. Cho hình vuông AB C D tâm O (các đỉnh ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của cạnh AB qua phép quay ( ;270 ) Q O là A. . A B B. . B C C. . C D D. . D A 12. Cho hình thoi AB C D có góc 60 A B C (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của cạnh CD qua qua phép quay ( ;60 ) Q A là A. . A B B. . B C C. . C D D. . D A 13. Cho tam giác đều A B C có tâm O và các đường cao , , A A B B C C (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của đường cao A A qua phép quay ( ;240 ) Q O là A. . A A B. . B B C. . C C D. d qua , O . d B C 14. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y cho điểm ( ; ). A x y Biểu thức tọa độ của ( ,90 ) ( ) O A Q A là A. x y y x B. x y y x C. x y y x D. x y y x 15. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y cho điểm ( ; ). A x y Biểu thức tọa độ của ( , 90 ) ( ) O A Q A là A. x y y x B. x y y x C. x y y x D. x y y x 16. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y cho điểm (4;1). M Phép quay ( ;90 ) Q O biến điểm M thành điểm M có tọa độ là §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 23 - A. (1;4). B. ( 1;4). C. (1; 4). D. ( 1; 4). ................................................................................................................. ................................................................................................................. 17. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y cho phép quay tâm O biến điểm (1;0) A thành điểm (0;1). A Khi đó nó biến điểm (1; 1) M thành điểm A. ( 1; 1). M B. (1;1). M C. ( 1;1). M D. (1;0). M ................................................................................................................. ................................................................................................................. 18. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y cho AB C với (1;4), ( 2;2), (7; 9). A B C Phép quay ( ;90 ) Q O biến trọng tâm G của AB C thành điểm G có tọa độ là A. (1; 2). B. (1;2). C. (3; 1). D. ( 3;1). ................................................................................................................. ................................................................................................................. 19. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y qua phép quay tâm , O góc quay 90 biến điểm ( 3;5) M thành điểm nào ? A. (3;4). B. ( 5; 3). C. (5; 3). D. ( 3; 5). ................................................................................................................. ................................................................................................................. 20. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y cho điểm (4;1). A Biểu thức tọa độ của điểm ( , 90 ) ( ) O A Q A là ? A. ( 1;4). A B. (1; 4). A C. (4; 1). A D. ( 4; 1). A ................................................................................................................. ................................................................................................................. 21. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y cho điểm (0;3). A Tìm tọa độ điểm A là ảnh của A qua phép quay ( , 45 ) O Q ? A. 1 3 ; 2 2 B. 3 1 ; 4 4 C. 3 1 ; 2 2 D. 3 3 ; 2 2 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 22. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y cho điểm . (1;1) M Hỏi điểm nào sau đây là ảnh của điểm M qua phép quay tâm , (0;0) O góc quay 45 ? A. . ) (0; 2 M B. . ) ( 2;0 M C. . ) (0;1 M D. 1; 1). ( M ................................................................................................................. ................................................................................................................. 23. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y tìm phép quay Q biến điểm ( 1;5) A thành điểm (5;1) A ? A. ( , 90 ) ( ) . O Q A A B. ( ,90 ) ( ) . O Q A A C. ( ,180 ) ( ) . O Q A A D. ( , 270 ) ( ) . O Q A A ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 24 - 24. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y cho đường thẳng d có phương trình 5 3 15 0. x y Tìm ảnh d của d qua phép quay ( ,90 ) O Q với O là gốc tọa độ ? A. 5 3 6 0. x y B. 3 5 15 0. x y C. 5 7 0. x y D. 3 5 7 0. x y ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 25. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y cho (2;1) I và đường thẳng : 2 3 4 0. d x y Tìm ảnh của d qua ( ,45 ) I Q ? A. 5 2 3 2 0. x y B. 5 3 10 2 0. x y C. 5 3 2 0. x y D. 5 3 11 2 0. x y ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 26. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y có hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 4 3 5 0 x y và 7 4 0. x y Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay là A. 45 . B. 60 . C. 90 . D. 120 . ................................................................................................................. ................................................................................................................. 27. Trong mặt phẳng tọa độ , Ox y hãy viết phương trình đường tròn ( ) C là ảnh của 2 2 ( ) : 2 4 4 0 C x y x y qua phép quay ( ; 90 ) . O Q A. 2 2 ( 2) ( 1) 9. x y B. 2 2 ( 2) ( 1) 9. x y C. 2 2 ( 2) ( 1) 9. x y D. 2 2 ( 1) ( 2) 9. x y ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 28. Trong mặt phẳng tọa độ O xy , cho đường tròn 2 2 ( ) : 6 5 0. C x y x Tìm ảnh đường tròn ( ) C của ( ) C qua ( ,90 ) . O Q A. 2 2 ( 3) 4. x y B. 2 2 6 6 0. x y y C. 2 2 ( 3) 4. x y D. 2 2 6 5 0. x y x ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1.D 2.B 3.B 4.B 5.D 6.D 7.D 8.B 9.C 10.B 11.B 12.B 13.B 14.B 15.A 16.B 17.B 18.B 19.B 20.B 21.D 22.A 23.A 24.B 25.D 26.A 27.A 28.C §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 25 - R R' O O' I § 6. PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG 1. Ñònh nghóa Cho điểm O cố định và một số thực k không đổi, 0. k Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm , M sao cho . O M k O M được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k và kí hiệu là ( ; ) O k V ( O được gọi là tâm vị tự) (hiểu khác, đây là phép zoom). 2. Tính chaát Định lí 1. Nếu phép vị tự tâm I tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M và N thì . M N k M N và . . M N k M N Định lí 2. Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó. Hệ quả: Biến đường thẳng không qua tâm vị tự thành đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Biến đường thẳng qua tâm vị tự thành chính nó. Biến tia thành tia. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với . k Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là . k Biến góc bằng góc ban đầu. Lưu ý. Qua phép ( ; ) O k V đường thẳng d biến thành chính nó khi đường thẳng d qua tâm vị tự . O Nếu ( ; ) ;1/ ( ) ( ). I k I k M V M M V M 3. AÛnh cuûa ñöôøng troøn qua pheùp vò tröï Định lí 3. Phép vị tự tỉ số k biến một đường tròn ( ; ) I R thành đường tròn có bán kính . . R k R Chú ý. Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường tròn ( ; ) I R thành đường tròn ( ; ) I R thì R R k k R R và . . O I k O I 4. Taâm vò töï cuûa hai ñöôøng troøn Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn. Nếu tỉ số vị tự 0 k thì tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự ngoài, nếu tỉ số vị tự 0 k thì tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự trong. Cách xác định tâm vị tự: Nếu I là tâm vị tự ngoài, ta có: . R I O I O R Nếu I là tâm vị tự trong, ta có: . R I O I O R 6 4 2 3 O B' A B A ' P M O M' N' P' N§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 26 - 1. Trong mặt phẳng , O x y cho đường thẳng : 3 2 6 0. d x y Viết phương trình của đường thẳng d là ảnh của d qua phép vị tự tâm (1;2) I tỉ số vị tự 2 k ? Học sinh nghe giảng và bổ sung lời giải Gọi ( ; ) : 3 2 6 0 M x y d x y (1) Gọi ( ; ) M x y là ảnh của M qua phép vị tự tâm I tỉ số 2 : k 1 2( 1) ......................... 2 ; . 2 2( 2) .......................... x x x I M I M M y y y 3 6 (1) 3 2 6 0 3 2 9 0 2 2 x y x y : 3 2 9 0. M d x y Vậy : 3 2 9 0 d x y là ảnh của d thỏa bài toán. 2. Trong mặt phẳng , O x y cho đường thẳng : 2 3 0. d x y Viết phương trình của đường thẳng d là ảnh của d qua phép vị tự tâm (0;0) O tỉ số vị tự 2 k ? Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3. Trong mặt phẳng , O x y cho đường thẳng : 2 0. d x y Viết phương trình của đường thẳng d là ảnh của d qua phép vị tự tâm (0;0) O tỉ số vị tự 3 k ? Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 4. Trong mặt phẳng , O x y cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 3) ( 1) 9. C x y Viết phương trình của đường tròn ( ) C là ảnh của ( ) C qua phép vị tự tâm (1;2) I tỉ số vị tự 2 k ? Học sinh nghe giảng và bổ sung lời giải Đường tròn ( ) C có tâm (3; 1) I và bán kính 3. R Gọi ( ; ) K x y là tâm và R là bán kính của ( ) C là ảnh của ( ). C Khi đó: 1 2( 1) ................................ ............ 2 2 2( 2) ................................ .. 2 ' 2 ................................ x x x I K I K y y y R R R R .......... ........... R Vậy 2 2 ( ) : ( 3) ( 6) 36. C x y §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 27 - 5. Trong mặt phẳng , O x y cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 1) ( 3) 2. C x y Viết phương trình của đường tròn ( ) C là ảnh của ( ) C qua phép vị tự tâm (0;0) O tỉ số vị tự 3 k ? Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 6. Trong mặt phẳng , O x y cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 1) ( 2) 5. C x y Viết phương trình của đường tròn ( ) C là ảnh của ( ) C qua phép vị tự tâm (1;2) I tỉ số vị tự 2 k ? Lời giải. ............................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. Cho hình thang A B C D có hai cạnh đáy là A B và C D mà 3 . A B C D Phép vị tự biến điểm A thành điểm C và biến điểm B thành điểm D có tỉ số là A. 1 3 k B. 1 3 k C. 3. k D. 3. k ....................................................................................................... ...................................................................................................... ` 2. Cho tam giác A B C có trọng tâm , G gọi , , A B C lần lượt là trung điểm các cạnh , , . B C C A A B Với giá trị nào của k thì phép vị tự ( ; ) V G k biến tam giác A B C thành tam giác . A B C A. 2. k B. 2. k C. 1 2 k D. 1 2 k ....................................................................................................... ....................................................................................................... 3. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho phép vị tự tâm (3; 1) I có tỉ số 2. k Khi đó nó biến điểm (5;4) M thành điểm A. ( 1; 11). M B. ( 7;11). M C. (1;9). M D. (1; 9). M ....................................................................................................... ....................................................................................................... 4. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho phép vị tự tỉ số 2 k và biến điểm (1; 2) A thành điểm ( 5;1). A Khi đó nó biến điểm (0;1) B thành điểm A. (0;2). B B. (12; 5). B C. ( 7;7). B D. (11;6). B ....................................................................................................... ....................................................................................................... §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 28 - 5. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho điểm (3;2). A Ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số 1 k là A. (3;2). B. (2;3). C. ( 2; 3). D. ( 3; 2). ...................................................................................................... ...................................................................................................... 6. Trong mặt phẳng , O x y tìm ảnh A của điểm (1; 3) A qua phép vị tự tâm O tỉ số 2. A. (2;6). A B. (1;3). A C. ( 2;6). A D. ( 2; 6). A ...................................................................................................... ...................................................................................................... 7. Tìm ảnh A của (1;2) A qua phép vị tự tâm (3; 1). I tỉ số 2. k A. (3;4). A B. (1;5). A C. ( 5; 1). A D. ( 1;5). A ...................................................................................................... ...................................................................................................... 8. Cho ( 3;2), (1;1), (2; 4). P Q R Gọi , , P Q R lần lượt là ảnh của , , P Q R qua phép vị tự tâm O tỉ số 1 3 k Khi đó tọa độ trọng tâm của tam giác P Q R là A. 1 1 ; 9 3 B. 1 0; 9 C. 2 1 ; 3 3 D. 2 ;0 9 ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 9. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho ba điểm (0;3), (2; 1), ( 1;5). A B C Phép vị tự tâm A tỉ số k biến B thành . C Khi đó giá trị k là A. 1 2 k B. 1. k C. 1 2 k D. 2. k ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 10. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường thẳng : 2 4 0, ( 1;2). d x y I Tìm ảnh d của d qua phép vị tự tâm I tỉ số 2. k A. 2 4 0. x y B. 2 8 0. x y C. 2 8 0. x y D. 2 4 0. x y ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 11. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường thẳng : 3 5 0. d x y Tìm ảnh d của d qua phép vị tự tâm O tỉ số 2 3 k A. 3 9 0. x y B. 3 10 0. x y C. 9 3 15 0. x y D. 9 3 10 0. x y ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 29 - 12. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho phép vị tự tâm (1;1) I tỉ số 1 3 k Khi đó nó biến đường thẳng 5 1 0 x y thành đường thẳng có phương trình là A. 15 3 10 0. x y B. 15 3 23 0. x y C. 15 3 23 0. x y D. 5 3 8 0. x y ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 13. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường thẳng : 5 2 7 0. d x y Tìm ảnh d của d qua phép vị tự tâm O tỉ số 2. k A. 5 2 14 0. x y B. 5 4 28 0. x y C. 5 2 7 0. x y D. 5 2 14 0. x y ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 14. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho hai đường thẳng : 1 2 4 x y d và : 2 6 0. d x y Phép vị tự ( , ) ( ) . O k V d d Tìm . k A. 3 2 k B. 2 3 k C. 1 3 k D. 1 3 k ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 15. Tìm ảnh đường tròn ( ) C của đường tròn 2 2 ( ) : ( 1) ( 2) 5 C x y qua phép vị tự tâm O tỉ số 2. k A. 2 2 ( ) : ( 2) ( 4) 10. C x y B. 2 2 ( ) : ( 2) ( 4) 10. C x y C. 2 2 ( ) : ( 2) ( 4) 20. C x y D. 2 2 ( ) : ( 2) ( 4) 20. C x y ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 16. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 3) ( 1) 5. C x y Tìm ảnh đường tròn ( ) C của đường tròn ( ) C qua phép vị tự tâm (1;2) I và tỉ số 2. k A. 2 2 6 16 4 0. x y x y B. 2 2 6 16 4 0. x y x y C. 2 2 ( 3) ( 8) 20. x y D. 2 2 ( 3) ( 8) 20. x y ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 17. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 1) ( 1) 4 C x y . Tìm ảnh ( ) C của ( ) C qua phép vị tự tâm ( 1;2) I tỉ số 3. k A. 2 2 14 4 1 0. x y x y ....................................................................................................... §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 30 - B. 2 2 4 7 5 0. x y x y C. 2 2 ( 5) ( 1) 36. x y D. 2 2 ( 7) ( 2) 9. x y ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 18. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho hai điểm (1; 1), (2;3) A B và đường thẳng a có phương trình 4 1. y x Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm § A và § B (theo thứ tự), đường thẳng a biến thành đường thẳng a có phương trình là A. 4 5. y x B. 4 17. y x C. 4 12. y x D. 4 4. y x ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 19. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho hai điểm ( 1;0), (1;1) A B và đường tròn ( ) T có phương trình 2 2 4 0. x y x Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm § A và § B (theo thứ tự), đường tròn ( ) T biến thành đường tròn ( ) T có phương trình là A. 2 2 4 2 4 0. x y x y B. 2 2 4 4 4 0. x y x y C. 2 2 6 2 1 0. x y x y D. 2 2 4 8 0. x y y ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 20. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường thẳng có phương trình 5 1 0. x y Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về phía trái 2 đơn vị, sau đó tiếp tục thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị, đường thẳng biến thành đường thẳng có phương trình là A. 5 14 0. x y B. 5 7 0. x y C. 5 5 0. x y D. 5 12 0. x y ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 21. Trong mặt phẳng tọa độ O , x y cho đường thẳng có phương trình 3 2. y x Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ ( 1;2) u và (3;1), v đường thẳng biến thành đường thẳng d có phương trình là A. 3 1. y x B. 3 5. y x C. 3 9. y x D. 3 15. y x ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 22. Trong mặt phẳng , O x y cho điểm (2;4). M Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 1 2 k và phép quay tâm O góc quay 90 sẽ biến điểm M thành điểm nào sau đây ? §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 31 - A. (2; 1). B. (2;1). C. ( 1;2). D. (1;2). ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 23. Trong mặt phẳng , O x y cho đường thẳng : 2 0 d x y thỏa mãn phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 2 k và phép đối xứng trục O y sẽ biến đường thẳng d thành đường thẳng nào sau đây ? A. 2 0. x y B. 2 0. x y C. 4 0. x y D. 2 2 0. x y ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 24. Trong mặt phẳng , O x y cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 2) ( 2) 4. C x y Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 1 2 k và phép quay tâm O góc quay 90 sẽ biến ( ) C thành đường tròn nào sau đây ? A. 2 2 ( 2) ( 2) 1. x y B. 2 2 ( 1) ( 1) 1. x y C. 2 2 ( 2) ( 1) 1. x y D. 2 2 ( 1) ( 1) 1. x y ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 25. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường thẳng : 2 0. d x y Phép đồng dạng là phép thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm (1; 2) I tỉ số 3 k và phép quay tâm O góc quay 90 sẽ biến đường thẳng d thành đường thẳng nào sau đây ? A. 2 6 0. x y B. 2 6 0. x y C. 2 6 0. x y D. 2 3 0. x y ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 26. Phép đồng dạng là phép thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm (4;2) I tỉ số 3 k và phép đối xứng qua trục : 2 4 0 d x y sẽ biến (0;1) M thành điểm nào sau đây ? A. (16;5). B. (14;9). C. (12;13). D. (18;1). ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 27. Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 1) ( 2) 4. C x y Phép đồng dạng là phép thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm O tỉ số 2 k và phép quay tâm O góc quay 0 180 sẽ biến đường tròn ( ) C thành đường tròn nào sau đây ? §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 32 - A. 2 2 4 8 2 0. x y x y B. 2 2 4 8 2 0. x y x y C. 2 2 ( 2) ( 4) 16. x y D. 2 2 ( 2) ( 4) 16. x y ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 28. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 1) ( 2) 9. C x y Phép đồng dạng là phép thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm (1; 1) I tỉ số 1 3 k và phép tịnh tiến theo (3;4) v sẽ biến đường tròn ( ) C thành đường tròn có phương trình là A. 2 2 ( 4) ( 4) 9. x y B. 2 2 ( 4) ( 4) 1. x y C. 2 2 ( 4) ( 4) 1. x y D. 2 2 ( 1) 1. x y ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 29. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho điểm (3; 1). P Thực hiện liên tiếp hai phép vị tự ( ;4) V O và 1 ; 2 V O điểm P biến thành điểm P có tọa độ là A. (4; 6). P B. (6; 2). P C. ( 6;2). P D. (12; 4). P ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... 30. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường thẳng : 2 0 d x y thỏa mãn phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 2 k và phép đối xứng trục O y sẽ biến đường thẳng d thành đường thẳng nào sau đây ? A. 2 0. x y B. 4 0. x y C. 2 0. x y D. 2 2 0. x y ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.D 12.B 13.A 14.A 15.C 16.C 17.C 18.B 19.B 20.A 21.C 22.A 23.A 24.D 25.C 26.C 27.D 28.B 29.C 30.C §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 33 - ÔN TẬP CHƯƠNG 1 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , O x y cho hai đường thẳng 1 ( ) : 2 3 1 0 d x y và 2 ( ) : 2 0. d x y Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến 1 d thành 2 . d A. Vô số. B. 4. C. 1. D. 0. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 2. Cho ( 1;5) v và điểm (4;2). M Biết M là ảnh của M qua phép tịnh tiến . v T Tìm . M A. ( 4;10). M B. ( 3;5). M C. (3;7). M D. (5; 3). M .................................................................................................................. .................................................................................................................. 3. Cho điểm (1;4) A và ( 2;3), u biết A là ảnh của A qua phép tịnh tiến . u Tìm tọa độ điểm . A A. (1;4). A B. ( 3; 1). A C. ( 1; 4). A D. (3;1). A .................................................................................................................. .................................................................................................................. 4. Cho hai đường thẳng song song d và . d Tìm khẳng định nào đúng ? A. Có đúng một phép tịnh tiến biến d thành . d B. Có vô số phép tịnh tiến biến d thành . d C. Phép tịnh tiến theo véc tơ v có giá vuông góc với đường thẳng d biến d thành . d D. Cả ba khẳng định trên đều đúng. 5. Điểm ( 2;4) M là ảnh của điểm nào sau đây qua phép tịnh tiến theo véctơ ( 1;7). v A. ( 1; 3). F B. ( 3;11). P C. (3;1). E D. (1;3). Q .................................................................................................................. .................................................................................................................. 6. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho ( 2;3). v Tìm ảnh của điểm (1; 1) A qua phép tịnh tiến theo véctơ . v A. ( 2;1). A B. ( 1;2). A C. (2; 1). A D. ( 1; 2). A .................................................................................................................. .................................................................................................................. 7. Phép biến hình nào sau đây không là phép dời hình ? A. Phép tịnh tiến. B. Phép đối xứng tâm. C. Phép đối xứng trục. D. Phép vị tự. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 8. Cho hình bình hành . AB C D Ảnh của điểm D qua phép tịnh tiến theo véctơ A B là A. . B B. . C C. . D D. . A .................................................................................................................. .................................................................................................................. 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , O x y cho điểm (2;5). M Phép tịnh tiến theo (1;2) v biến điểm M thành điểm . M Tọa độ điểm M là §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 34 - A. (3;7). M B. (1;3). M C. (3;1). M D. (4;7). M .................................................................................................................. .................................................................................................................. 10. Hình nào dưới nào dưới đây không có trục đối xứng ? A. Tam giác cân. B. Hình thang cân. C. Hình elip. D. Hình bình hành. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 11. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho véctơ ( 3;5). v Tìm ảnh của điểm (1;2) A qua phép tịnh tiến theo véctơ . v A. (4; 3). A B. ( 2;3). A C. ( 4;3). A D. ( 2;7). A .................................................................................................................. .................................................................................................................. 12. Cho 4 5 . IA I B Tỉ số vị tự k của phép vị tự tâm , I biến A thành B là A. 4 5 k B. 3 5 k C. 5 4 k D. 1 5 k .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 13. Trong mặt phẳng , O x y cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 1) ( 1) 4. C x y Phép vị tự tâm O (với O là gốc tọa độ) tỉ số 2 k biến ( ) C thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau ? A. 2 2 ( 1) ( 1) 8. x y B. 2 2 ( 2) ( 2) 8. x y C. 2 2 ( 2) ( 2) 16. x y D. 2 2 ( 2) ( 2) 16. x y .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , O x y cho véctơ (2; 1) v và điểm ( 3;2). M Tìm tọa độ ảnh M của điểm M qua phép tịnh tiến theo véctơ . v A. (5;3). M B. (1; 1). M C. ( 1;1). M D. (1;1). M .................................................................................................................. .................................................................................................................. 15. Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc , 0 2 biến hình chữ nhật trên thành chính nó ? A. Không có. B. 4. C. 2. D. 3. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 16. Phép tịnh tiến biến gốc tọa độ O thành điểm (1;2) A sẽ biến điểm A thành điểm A có tọa độ là A. (2;4). A B. ( 1; 2). A C. (4;2). A D. (3;3). A .................................................................................................................. .................................................................................................................. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 35 - 17. Trong mặt phẳng , O x y cho (2; 3), (1;0). A B Phép tịnh tiến theo (4; 3) u biến điểm , A B tương ứng thành , A B khi đó, độ dài đoạn thẳng A B bằng A. 10. B. 10. C. 13. D. 5. .................................................................................................................. .................................................................................................................. 18. Trong mặt phẳng tọa độ O x y cho vectơ (3; 1). u Phép tịnh tiến theo vectơ u biến điểm (1; 4) M thành A. (4; 5). M B. (3; 4). M C. (2; 3). M D. (4;5). M .................................................................................................................. .................................................................................................................. 19. Cho hình chữ nhật . M N PQ Phép tịnh tiến theo véctơ M N biến điểm Q thành điểm A. Điểm . Q B. Điểm . N C. Điểm . M D. Điểm . P .................................................................................................................. .................................................................................................................. 20. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho điểm (3; 1). A Tìm tọa độ điểm B sao cho điểm A là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo véctơ (2; 1). u A. ( 1;0). B B. (5; 2). B C. (1; 2). B D. (1;0). B .................................................................................................................. .................................................................................................................. 21. Cho hình hộp . AB C D A B C D (như hình vẽ). Chọn mệnh đề đúng? A. Phép tịnh tiến theo DC biến điểm A thành điểm . B B. Phép tịnh tiến theo A B biến điểm A thành điểm . C C. Phép tịnh tiến theo A C biến điểm A thành điểm . D D. Phép tịnh tiến theo A A biến điểm A thành điểm . B 22. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y phép tịnh tiến theo vectơ (1;2) v biến điểm (4;5) M thành điểm nào sau đây ? A. (1;6). P B. (3;1). Q C. (5;7). N D. (4;7). R .................................................................................................................. .................................................................................................................. 23. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho hai điểm (1;1) A và (2;3). I Phép vị tự tâm I tỉ số 2 k biến điểm A thành điểm . A Tọa độ điểm A là A. (0;7). A B. (7;0). A C. (7;4). A D. (4;7). A .................................................................................................................. .................................................................................................................. 24. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y phép tính tiến theo véctơ v biến điểm ( ; ) M x y thành điểm ( ; ) M x y sao cho 2 x x và 4. y y Tọa độ của v là A. ( 2;4). B. (4; 2). C. ( 2; 4). D. (2;4). .................................................................................................................. .................................................................................................................. 25. Trong mặt phẳng , O x y cho điểm (2;1) A và vectơ (1;3). a Phép tịnh tiến theo véctơ a biến điểm A thành điểm . A Tọa độ điểm A là C' D' B' A D C B A'§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 36 - A. ( 1; 2). A B. (1;2). A C. (4;3). A D. (3;4). A .................................................................................................................. .................................................................................................................. 26. Cho hình thoi AB C D tâm . I Phép tịnh tiến theo véc tơ IA biến điểm C thành A. Điểm . B B. Điểm . C C. Điểm . D D. Điểm . I .................................................................................................................. .................................................................................................................. 27. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y phép tịnh tiến theo véc tơ (1;3) v biến điểm (1;2) A thành điểm nào trong các điểm sau ? A. (2;5). M B. (1;3). P C. ( 3; 4). Q D. (3;4). N .................................................................................................................. .................................................................................................................. 28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , O x y cho điểm ( 3;2). M Tọa độ của điểm M là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo véctơ (2; 1) v là A. ( 1;1). B. (3; 2). C. (5; 3). D. ( 5;3). .................................................................................................................. .................................................................................................................. 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , O x y phép quay tâm (4; 3) I góc quay 180 biến đường thẳng : 5 0 d x y thành đường thẳng d có phương trình A. 3 0. x y B. 3 0. x y C. 5 0. x y D. 3 0. x y ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 30. Cho đường thẳng : 2 0. d x y Phép hợp thành của phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo (3;2) v biến d thành đường thẳng nào sau đây ? A. 4 0. x y B. 3 3 2 0. x y C. 2 2 0. x y D. 3 0. x y ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 31. Trong mặt phẳng , O x y tìm phương trình đường tròn ( ) C là ảnh của đường tròn 2 2 ( ) : 1 C x y qua phép đối xứng tâm (1;0). I A. 2 2 ( 2) 1. x y B. 2 2 ( 2) 1. x y C. 2 2 ( 2) 1. x y D. 2 2 ( 2) 1. x y ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 32. Trong mặt phẳng , O x y qua phép quay ( , 90 ), (3; 2) Q O M là ảnh của điểm A. ( 3; 2). M B. ( 3;2). M C. (2;3). M D. (2; 3). M ................................................................................................................... ................................................................................................................... §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 37 - 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , O x y cho đường thẳng : 2 6 0. x y Viết phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng qua phép quay tâm O góc 90 . A. 2 6 0. x y B. 2 6 0. x y C. 2 6 0. x y D. 2 6 0. x y ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 34. Trong mặt phẳng , O x y cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 1) ( 3) 4. C x y Phép tịnh tiến theo vectơ (3;2) v biến đường tròn ( ) C thành đường tròn có phương trình nào sau đây ? A. 2 2 ( 2) ( 5) 4. x y B. 2 2 ( 4) ( 1) 4. x y C. 2 2 ( 1) ( 3) 4. x y D. 2 2 ( 2) ( 5) 4. x y ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 35. Trong mặt phẳng , O x y cho điểm ( 3;6). B Tìm tọa độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O góc quay 90 . A. ( 6; 3). E B. ( 3; 6). E C. (6;3). E D. (6; 3). E ................................................................................................................... ................................................................................................................... 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , O x y tìm tọa độ điểm M là ảnh của điểm (2;1) M qua phép đối xứng tâm (3; 2). I A. (1; 3). M B. ( 5;4). M C. (4; 5). M D. (1;5). M ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O , x y cho tam giác AB C có (2;4), (5;1), ( 1; 2). A B C Phép tịnh tiến B C T biến tam giác AB C tành tam giác . A B C Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác . A B C A. ( 4;2). B. (4;2). C. (4; 2). D. ( 4; 2). ................................................................................................................... ................................................................................................................... 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O , x y cho véctơ ( 1;2), v điểm (3;5). A Tìm tọa độ của các điểm A là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo . v A. (2;7). A B. ( 2;7). A C. (7;2). A D. ( 2;7). A ................................................................................................................... ................................................................................................................... 39. Trong mặt phẳng , O x y ảnh của điểm ( 2;3) M qua phép đối xứng trục : 0 x y là A. (3;2). M B. ( 3; 2). M C. (3; 2). M D. ( 3;2). M ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 38 - O F E D C B A 40. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho các điểm (3;1), ( 1; 1). I J Ảnh của J qua phép quay ( ; 90 ) I Q là A. (1;5). J B. (5; 3). J C. ( 3;3). J D. (1; 5). J ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 41. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 1) ( 2) 4. C x y Tìm ảnh của đường tròn ( ) C qua phép vị tự tâm O tỉ số 2. A. 2 2 ( 2) ( 4) 16. x y B. 2 2 ( 2) ( 4) 16. x y C. 2 2 ( 2) ( 4) 16. x y D. 2 2 ( 2) ( 4) 16. x y ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 42. Cho lục giác đều AB C D E F tâm O như hình bên. Tam giác E O D là ảnh của tam giác AO F qua phép quay tâm O góc quay . Tìm . A. 60 . B. 60 . C. 120 . D. 120 . ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 43. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho véctơ (1;2). v Tìm ảnh của điểm ( 2;3) A qua phép tịnh tiến theo vectơ . v A. (5; 1). A B. ( 1;5). A C. (3; 1). A D. ( 3;1). A ................................................................................................................... ................................................................................................................... 44. Trong mặt phẳng , O x y cho đường thẳng d có phương trình 2 1 0. x y Để phép tịnh tiến theo v biến đường thẳng d thành chính nó thì v phải là véctơ nào trong các véctơ sau đây ? A. ( 1;2). v B. (2;1). v C. (2; 4). v D. (2;4). v ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 45. Trong mặt phẳng , O x y cho véctơ ( 3;2) v và đường thẳng : 3 6 0. x y Viết phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến theo . v A. : 3 15 0. x y B. : 3 5 0. x y C. : 3 15 0. x y D. : 3 15 0. x y ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 39 - 46. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho điểm (1;2). M Phép tịnh tiến theo véctơ ( 3;4) u biến điểm M thành điểm M có tọa độ là A. ( 2;6). M B. (2;5). M C. (2; 6). M D. (4; 2). M ................................................................................................................... ...................................................................................................... 47. Trong mặt phẳng , O x y cho đường thẳng : 2 0. x y Hãy viết phương trình đường thẳng d là ảnh của đường thẳng qua phép quay tâm , O góc quay 90 . A. : 2 0. d x y B. : 2 0. d x y C. : 2 0. d x y D. : 4 0. d x y ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 48. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y tìm phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng : 2 1 0 x y qua phép tịnh tiến theo véctơ (1; 1). v A. : 2 3 0. x y B. : 2 0. x y C. : 2 1 0. x y D. : 2 2 0. x y ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 49. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường tròn 2 2 ( ) : ( 2) ( 1) 9. C x y Gọi ( ) C là ảnh của đường tròn ( ) C qua việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm , O tỉ số 1 3 k và phép tịnh tiến theo vectơ (1; 3). v Tính bán kính R của đường tròn ( ). C A. 9. R B. 3. R C. 27. R D. 1. R ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 50. Trong mặt phẳng , O x y cho điểm (2; 1). I Gọi ( ) C là đồ thị hàm số sin 3 . y x Phép vị tự tâm (2; 1), I tỉ số 1 2 k biến ( ) C thành ( ). C Viết phương trình đường cong ( ). C A. 3 1 sin(6 18). 2 2 y x B. 3 1 sin(6 18). 2 2 y x C. 3 1 sin(6 18). 2 2 y x D. 3 1 sin(6 18). 2 2 y x ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 51. Cho tam giác AB C có diện tích bằng 2 6cm . Phép vị tự tỷ số 2 k biến tam giác AB C thành tam giác . A B C Tính diện tích tam giác A B C ? §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. PhÐp biÕn h×nh Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 40 - A. 2 12cm . B. 2 24cm . C. 2 6cm . D. 2 3cm . ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 52. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho điểm (3;4). A Gọi A là ảnh của điểm A qua phép quay tâm (0;0), O góc quay 90 . Điểm A có tọa độ là A. ( 3;4). A B. (4; 3). A C. (3; 4). A D. ( 4;3). A ................................................................................................................... ................................................................................................................... 53. Trong mặt phẳng , O x y cho (3;3) v và đường tròn 2 2 ( ) : 2 4 4 0. C x y x y Ảnh của ( ) C qua phép tịnh tiến vectơ v là đường tròn nào ? A. 2 2 ( 4) ( 1) 4. x y B. 2 2 ( 4) ( 1) 9. x y C. 2 2 ( 4) ( 1) 9. x y D. 2 2 8 2 4. x y x y ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 54. Trong mặt phẳng tọa độ , O x y cho đường thẳng : . d y x Tìm ảnh của d qua phép quay tâm , O góc quay 90 . A. : 2 . d y x B. : . d y x C. : 2 . d y x D. : . d y x ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 55. Trong mặt phẳng , O x y tìm phương trình đường tròn ( ) C là ảnh của đường tròn 2 2 ( ) : 1 C x y qua phép đối xứng tâm (1;0). I A. 2 2 ( 2) 1. x y B. 2 2 ( 2) 1. x y C. 2 2 ( 2) 1. x y D. 2 2 ( 2) 1. x y ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ĐÁP ÁN BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG 1.D 2.D 3.D 4.B 5.B 6.B 7.D 8.B 9.A 10.D 11.D 12.A 13.D 14.C 15.C 16.A 17.A 18.A 19.D 20.D 21.A 22.C 23.D 24.A 25.D 26.D 27.A 28.A 29.B 30.D 31.C 32.C 33.A 34.A 35.A 36.C 37.D 38.A 39.D 40.A 41.B 42.B 43.B 44.A 45.D 46.A 47.A 48.B 49.D 50.D 51.B 52.D 53.B 54.B 55.C §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 41 - § 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Môû ñaàu veà hình hoïc khoâng gian Đối tượng cơ bản: Điểm: kí hiệu , , , ... A B C Đường thẳng: kí hiệu 1 2 , , , , , , ... a b c d d d Mặt phẳng: kí hiệu ( ), ( ), ( ), ( ), ... P Q Quan hệ cơ bản: Thuộc: kí hiệu . Ví dụ: , ( ). A d M P Chứa, nằm trong: kí hiệu . Ví dụ: ( ), ( ). d P b Hình biểu diễn của một hình trong không gian: Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng biểu diễn bởi đoạn thẳng. Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau). Hai đoạn thẳng song song hoặc bằng nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng song song và bằng nhau. Dùng nét vẽ liền ( __ ) để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (----) để biểu diễn cho những đường bị che khuất. 2. Caùc tính chaát thöøa nhaän trong hình hoïc khoâng gian Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng cho trước. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Nếu 1 đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Từ tính chất này suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng chung là duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. 3. Ñieàu kieän xaùc ñònh maët phaúng Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó. Mặt phẳng hoàn toàn có thể mở rộng ra đến vô cực. Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN II Chöông §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 42 - A 3 A 2 A 1 S 4. Hình choùp vaø hình töù dieän Cho đa giác 1 2 3 ....... n A A A A nằm trong mặt phẳng ( ) và điểm ( ). S Lần lượt nối điểm S với các đỉnh 1 2 3 , , , ..., n A A A A ta được n tam giác 1 2 2 3 1 , , ..., . n S A A S A A S A A Hình gồm đa giác 1 2 3 ... n A A A A và n tam giác 1 2 2 3 1 , , ..., n S A A S A A S A A được gọi là hình chóp, kí hiệu hình chóp này là 1 2 3 . ... . n S A A A A Khi đó ta gọi: S là đỉnh của hình chóp. 1 2 3 ... n A A A A là mặt đáy của hình chóp. Các tam giác 1 2 2 3 1 , , ..., n S A A S A A S A A gọi là mặt bên. 1 2 3 , , , ..., n S A S A S A S A được gọi là các cạnh bên. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,..., lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, .... Cho bốn điểm , , , A B C D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác , , A B C A C D A B D và BC D gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn gọi là tứ diện) và kí hiệu là . A B C D Các điểm , , , A B C D là bốn đỉnh của tứ diện. Các đoạn thẳng , , , , , A B B C C D D A C A B D gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện của tứ diện. Các tam giác , , , A B C A C D A B D B C D gọi là các mặt của tứ diện. Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 43 - Daïng toaùn 1: Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng Phương pháp giải Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Đường thẳng nối hai điểm chung đó là giao tuyến của chúng. BÀI TẬP VẬN DỤNG 1. Cho tứ diện . S A B C Gọi , M N lần lượt là hai điểm trên cạnh AB và B C sao cho M N không song song với . AC Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) ( ) SM N và ( ). S A C Ta có: ( ) ( ) S S M N S AC (1) Trong ( ), AB C gọi . E M N A C Ta có: , ( ) ( ) , ( ) ( ) E M N M N SM N E S M N E A C A C SA C E SA C ( ) ( ) E SM N S AC (2) Từ (1), (2) ( ) ( ) . S M N SA C S E b) ( ) S AN và ( ). S CM Ta có: ( ) ( ) S S AN S CM (3) Trong ( ), AB C gọi . F A N C M Ta có: , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) F A N A N S A N F SA N F SA N SCM F C M C M SCM F SCM (4) Từ (3), (4) ( ) ( ) . S AN S CM S F c) ( ) S M C và ( ), AD N với D là trung điểm của . S B ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ Cần nhớ: Điểm thuộc đường thẳng, đường thẳng nằm trong mặt phẳng, điểm thuộc mặt phẳng. Nghĩa là , ( ) ( ). M d d P M P Với việc giải hình trong không gian là tập hợp nhiều mặt phẳng, điều kiện đầu tiên để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng trước hết phải đồng phẳng (cùng nằm trong một mặt phẳng). Khi gọi giao điểm của hai đường thẳng cần kiểm tra hai đường thẳng đó đồng phẳng ở mặt phẳng nào, kiểm tra được điều đó là đã trả lời được câu hỏi “có cắt nhau không ?”, “làm đúng không ?” §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 44 - 2. Cho tứ diện . S A B C Gọi , K M lần lượt là hai điểm trên cạnh S A và SC sao cho K M không song song . AC Gọi N là trung điểm của cạnh . B C Tìm giao tuyến của a) ( ) S AN và ( ). AB M ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. b) ( ) S AN và ( ). B CK ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 3. Cho hình chóp . . S AB C Trên cạnh , S A S C lấy , M N sao cho M N không song song . AC Gọi K là trung điểm . BC Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a) ( ) M NK và ( ). AB C ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. b) ( ) M NK và ( ). SAB ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 4. Cho hình chóp . S AB C D có đáy AB C D là tứ giác lồi. Tìm giao tuyến của: a) ( ) S AC và ( ). S B D ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. A C B S A D B C S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 45 - b) ( ) SA B và ( ). S C D .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. c) ( ) SA D và ( ). S B C ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. 5. Cho hình chóp . , S AB CD trong đó mặt đáy AB C D có các cặp cạnh đối không song song. Gọi điểm M thuộc cạnh . S A Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a) ( ) S AC và ( ). S B D ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. b) ( ) S A B và ( ). S C D .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. .............................................................................. c) ( ) M B C và ( ). S A D ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. 6. Cho hình chóp . S AB C D có đáy AB C D là tứ giác lồi. Trên cạnh S A lấy điểm . M Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây: a) ( ) S AC và ( ). S B D ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. A D B C S M§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 46 - b) ( ) SA B và ( ). SCD ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) ( ) B C M và ( ). S A D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) ( ) C D M và ( ). S A B ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ e) ( ) BD M và ( ). S A C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 7. Cho hình chóp . S AB C D có đáy là hình thang với A B C D và . A B C D Lấy điểm M nằm trên đoạn . B C Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây: a) ( ) S AC và ( ). S B D ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. b) ( ) SA B và ( ). SCD ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ A D B S C M§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 47 - c) ( ) S A M và ( ). S B D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) ( ) S D M và ( ). S A B ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 8. Cho hình chóp . S AB C D có đáy AB C D là hình bình hành tâm . O Lấy điểm M trên cạnh , SA trung điểm C D là . N Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) ( ) S AC và ( ). S B D ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. b) ( ) B M N và ( ). S A D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) ( ) B M N và ( ). S A C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) ( ) M C D và ( ). S BD ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ e) ( ) M C D và ( ). S A B ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ N O C A D B S M§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 48 - 9. Cho hình chóp . S AB C D có đáy AB C D là hình bình hành. Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , . B C C D S A Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) ( ) S AC và ( ). S B D ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. b) ( ) M N P và ( ). SAB ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) ( ) M N P và ( ). S A D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) ( ) M N P và ( ). S B C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ e) ( ) M N P và ( ). SCD ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 10. Cho hình chóp . . S AB C Trên cạnh , S A S C lấy , M N sao cho M N không song song . AC Gọi O là điểm nằm miền trong của tam giác . AB C Tìm giao tuyến của: a) ( ) M N O và ( ). AB C ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. D B A C S A B C S O§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 49 - b) ( ) M N O và ( ). SAB ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) ( ) S M O và ( ). S B C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) ( ) O NC và ( ). SAB ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 11. Cho tứ diện A B C D có M nằm trên cạnh , AB N nằm trên cạnh AD thỏa 2 , M B M A 2 . A N N D Gọi P là điểm thuộc miền trong của tam giác . B CD Tìm giao tuyến giữa: a) ( ) C M N và ( ). B CD ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. b) ( ) M N P và ( ). S A D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) ( ) M N P và ( ). AB C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ B D C A P§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 50 - 12. Cho tứ diện . S A B C Lấy điểm , E F lần lượt trên đoạn , S A S B sao cho E F không song song với . AB Gọi G là trọng tâm của tam giác . AB C Hãy tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng: a) ( ) E FG và ( ). AB C ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. b) ( ) E FG và ( ). S B C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) ( ) E FG và ( ). S G C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 13. Cho hình chóp . S AB C D có đáy là tứ giác lồi. Hai điểm , G H lần lượt là trọng tâm của S AB và . S C D Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a) ( ) S G H và ( ). AB CD ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 51 - b) ( ) S AC và ( ). S G H ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) ( ) S AC và ( ). BG H ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) ( ) SCD và ( ). BG H ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 14. Cho tứ diện . S A B C Gọi , , D E F lần lượt là trung điểm của , , . AB B C S A a) Tìm giao tuyến S H của ( ) SCD và ( ). SAE ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. ............................................................................................. b) Tìm giao tuyến CI của hai mặt phẳng ( ) SCD và ( ). B F C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Hỏi S H và CI có cắt nhau không ? Giải thích ? Nếu có, gọi giao điểm đó là , O chứng minh . IH SC Tính tỉ số OH OS ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ F E D A C S B§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 52 - u d β α Daïng toaùn 2: Tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng ( ) Phương pháp giải Nếu đường thẳng d cắt đường thẳng d ( , d d đồng phẳng) và ( ) d thì giao điểm của d và ( ) chính là giao điểm I của d và . d Nếu không có giao điểm như thế thì ta sẽ làm theo các bước sau: Bước 1. Tìm mặt phẳng phụ ( ) thỏa 3 điều kiện: Chứa đường thẳng . d Có 1 điểm chung với ( ). Càng lớn càng tốt. Bước 2. Tìm giao tuyến u của ( ) và ( ). Bước 3. Trong ( ), gọi . I d u Khi đó: , ( ) ( ). I u u I d I d Lưu ý. Trong một số bài toán tìm giao tuyến nâng cao, ta có thể dễ dàng tìm được một điểm chung, nhưng khó xác định điểm chung còn lại. Khi đó ta nghĩ đến việc tìm giao điểm của đường thẳng nằm trong mặt phẳng này với mặt phẳng kia. Đó chính là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng. BÀI TẬP VẬN DỤNG 1. Cho tứ diện SAB C có M là điểm nằm trên tia đối của tia , S A O là điểm thuộc miền của trong tam giác . A B C Hãy tìm: a) Giao điểm của đường thẳng BC và ( ). SO A Trong ( ), AB C gọi . E OA B C Ta có: , ( ) ( ) . E OA O A S O A E SOA E BC Suy ra: ( ). E B C SO A Cần nhớ: Trước khi làm, ta cần kiểm tra xem đường B C có đồng phẳng và cắt đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng ( ) SOA hay không ? Nếu có thì sẽ làm như trên, nếu không thì sử dụng phương pháp mặt phụ. b) Giao điểm của đường thẳng M O và ( ). SB C Chọn mặt phẳng phụ ( ) M A E chứa . M O Xét hai mặt phẳng ( ) M A E và ( ) : S BC Ta có: , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S A M A M M A E S M A E S MA E SBC S SB C (1) Mặt khác: , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) E A O BC M A E E M A E E M A E SB C E BC BC SB C E S BC (2) Từ (1), (2) ( ) ( ) . M AE S B C S E Trong ( ), M AE gọi . F M O S E Khi đó ( ). , ( ) F M O F M O S BC F SE SE SB C F A C B S M E O§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 53 - 2. Cho tứ diện S A B C có hai điểm , M N lần lượt thuộc hai cạnh , S A S B và O là điểm nằm trong tam giác . A B C Hãy tìm a) Giao điểm của đường thẳng A B và ( ). SO C .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... b) Giao điểm của đường thẳng M N và ( ). S O C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Giao điểm của đường thẳng SO và ( ). C M N ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 3. Cho hình chóp . . S A B C Trên cạnh S A lấy M sao cho 3 , S A S M trên cạnh SC lấy điểm N sao cho 2 . S C S N Điểm P thuộc cạnh . AB Hãy tìm a) Giao điểm của đường thẳng M N và ( ). A B C .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... b) Giao điểm của đường thẳng B C và ( ). M N P ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ A C B S O M N A C B S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 54 - 4. Cho tứ diện . A B C D Trên A C và A D lần lượt lấy các điểm , M N sao cho M N không song song với . C D Gọi P là điểm thuộc miền trong của tam giác . B C D Hãy tìm a) Giao điểm của đường thẳng M N và ( ). B C D .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... b) Giao điểm của đường thẳng A P và ( ). B M N ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 5. Cho hình chóp . S A B C D với A B C D là hình bình hành. Gọi M là điểm lấy trên cạnh , S B N là điểm thuộc miền trong của tam giác . S C D Hãy tìm của a) Đường thẳng M N và ( ). A B C D .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... b) Đường thẳng S C và ( ). M A N ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Đường thẳng S D và ( ). M A N ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ O C A D B S N M§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 55 - d) Đường thẳng S A và ( ). C M N ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 6. Cho hình chóp . S A B C D có đáy hình bình hành tâm O có G là trọng tâm tam giác . S A B Tìm: a) Giao tuyến của ( ) S G C và ( ). AB CD .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... b) Giao điểm của đường thẳng AD và ( ). S G C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Giao điểm của đường thẳng SO và ( ). G C D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) Giao điểm của đường thẳng SD và ( ). B CG ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ G O C A D B S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 56 - G E B A C F D ÔN TẬP HÌNH PHẲNG 1) Đường trung bình 2) Trọng tâm 3) Định lý Talét Đồng dạng (đồng hồ cát): 4) Định lý Menelaus Cho tam giác , AB C các điểm , , D E F lần lượt nằm trên các đường thẳng , , . BC CA AB Khi đó: , , D E F thẳng hàng 1. FA DB E C FB D C E A Chứng minh phần thuận: Giả sử , , D E F thẳng hàng. Từ , C dựng , ( ). CG AB G A C D B F có DB FB C G BF DC C G (1) EC C G C G A F E A FA (2) Lấy (1) (2), ta được: 1 DB E C F B C G F A DB E C DC E A C G FA F B DC E A (đpcm). Chứng minh phần đảo: (học sinh tự chứng minh). N M B C A G N M B C A N B C A M I A B C D M N là đường trung bình của tam giác A B C thì . M N BC 1 . 2 MN BC Trọng tâm là giao điểm của ba đường trung tuyến. Nếu G là trọng tâm tam giác A B C thì: 2 . 3 C G C M A M A N MN M N BC A B A C B C I A I B A B A B C D I D I C C D §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 57 - 7. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của S A và . C D a) Tìm giao điểm E của AD với ( ). B M N Trong ( ), AB CD gọi . E BN A D Ta có: , ( ) ( ) ( ). E B N BN BM N E BM N E A D BM N E A D Mà theo đề bài ( ) . E A D B M N E E b) Tìm giao điểm F của SD và ( ). B M N Chứng minh rằng: 2 . FS F D Cách giải 1. Sử dụng Menelaus: Xét S A E có , , M F E thẳng hàng 1 1.2. 1 2 . MS EA FD F D F S F D MA E D FS F S Cách giải 2. Sử dụng dựng hình. Dựng , ( ) DI S A I FE Ta có: , F S S M FM S F I D F D DI mà FS MA SM MA FD DI Mà D là trung điểm A E và 2 2 2 . MA F S DI MA F S FD DI F D Cách giải 3. Sử dụng trọng tâm. Trong tam giác , S AE ta có E M là đường trung tuyến (1) Vì trong tam giác AB E có N D AB và 1 2 N D A B nên ND là đường trung bình. Suy ra D là trung điểm của AE nên SD là đường trung tuyến của tam giác SA E (2) Mà F S D E M F là trọng tâm của tam giác 2 . S A E F S F D Bình luận. Tùy vào giáo viên trên lớp có hay không cho sử dụng định lý Menelaus mà ta chọn phương pháp giải cho phù hợp. Đối với cách giải dựng hình ở cách 2 bản chất là chứng minh lại định lý Menelaus. Nếu không cho sử dụng ta cũng nên học để biết cách dựng hình từ đâu và cách làm. I F E N M C A D B S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 58 - 8. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành, M là trung điểm của . S D a) Tìm ( ). I BM S AC Chứng minh: 2 . B I IM .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ b) Tìm ( ). E S A B C M Chứng minh: E là trung điểm của . S A ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 9. Cho tứ diện . A B C D Gọi I và J lần lượt là trung điểm của A C và . B C Trên cạnh B D lấy điểm K sao cho 2 . B K K D a) Tìm giao điểm E của đường thẳng C D và ( ). I J K Chứng minh: . D E D C .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... M D B A C S K J I B D C A§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 59 - b) Tìm giao điểm F của A D với ( ). I J K Chứng minh: 2 F A F D và . F K I J ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Gọi M và N là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnh A B và . C D Tìm giao điểm của M N với ( ). I J K ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 10. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình thang, đáy lớn A B và 2 . A B C D Gọi , , I J K lần lượt là trung điểm của các cạnh , , . S A A B B C a) Tìm giao điểm của I K và ( ). S B D .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... b) Tìm giao điểm F của S D và ( ). I J K Tính tỉ số FS FD ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ K J I C A B D S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 60 - c) Tìm giao điểm G của S C và ( ). I J K Tính tỉ số G S G C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 11. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình chữ nhật tâm . O Gọi M là trung điểm của , S B N là điểm thuộc đoạn S D sao cho 2 . S N N D a) Tìm giao tuyến của ( ) S B D và ( ). S A C .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... b) Tìm giao điểm E của đường thẳng M N và mặt phẳng ( ). AB CD Tính E N E M ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Tìm giao điểm K của đường thẳng S C và mặt phẳng ( ). A M N Gọi J giao điểm của A K và . S O Tính tỉ số: J K J A ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ N M O C A D B S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 61 - Daïng 3: Tìm thieát dieän cuûa hình (H) khi caét bôûi maët phaúng (P) Phương pháp giải Ta tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau của mặt phẳng ( ) với các mặt của hình chóp cho đến khi khép kín thành một đa giác phẳng. Đa giác đó là thiết diện cần tìm và các đoạn giao tuyến chính là các cạnh của thiết diện. 1. Cho tứ diện . A B C D Trên các đoạn , C A , C B B D cho lần lượt các điểm , , M N P sao cho M N không song song với . A B Gọi ( ) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm , , . M N P Dựng thiết diện tạo bởi ( ) và tứ diện . A B C D Lời giải tham khảo Ta có: , , ( ) ( ) ( ). M N P M N P Ta có: ( ) ( ) M NP BC D M P (1) Tương tự: ( ) ( ) M NP AB C M N (2) Xét ( ) M N P và ( ) : A CD Ta có: , ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) N A C A C A C D N A C D N A C D M N P N M N P Trong ( ), B CD gọi . E M P C D Ta có: , ( ) ( ) ( ) ( ). , ( ) ( ) E M P M P M N P E MN P E M N P A C D E C D C D A C D E A C D Suy ra ( ) ( ) M NP AC D NP (3) Trong ( ), AC D gọi . F N E A D Suy ra ( ) ( ) M NP AC D NF (4) Từ (1),(2),(3),(4) thiết diện tạo bởi ( ) và tứ diện A B C D là tứ giác . M NF P Bình luận. Bài toán thiết diện là bài toán tổng hợp của bài toán tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, bài toán tìm giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng. Để kiểm tra xem thiết diện ta tìm đã “đúng chưa ?”, có các cách như sau: 1. Mặt phẳng cắt đã “cắt rời” khối đa diện ban đầu thành hai khối đa diện mới chưa ? 2. Kiểm tra các đỉnh của đa giác thiết diện có nằm trên các cạnh của khối đa diện chưa ? 3. Kiểm tra các cạnh của đa giác thiết diện có nằm trên các mặt của khối đa diện chưa ? F P E B D C A M N§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 62 - 2. Cho hình chóp . . S A B C Trên cạnh , S A S B lần lượt lấy , M N sao cho M N không song song với . A B Gọi P là điểm thuộc miền trong tam giác . A B C Xác định thiết diện khi cắt hình chóp bởi mặt phẳng ( ). M N P .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 3. Cho tứ diện . S A B C Gọi , K N lần lượt là trung điểm , SA B C và M là điểm thuộc đoạn S C sao cho 3 2 . S M M C a) Tìm thiết diện của ( ) K M N với hình chóp. ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ..................................................................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ b) Mặt phẳng ( ) K M N cắt A B tại . I Đặt . . IA k IB Tìm . k ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ A C B S P M N M N K A C B S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 63 - 4. Cho tứ diện . A B C D Trên A B lấy điểm . M Điểm N trên B C thỏa 2 , B N N C P là trung điểm . C D Xác định thiết diện khi cắt bởi ( ). M N P .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 5. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình thang đáy lớn . AD Lấy M trên cạnh . S B Tìm thiết diện cắt bởi ( ). A M D .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ N P B D C A M A D B S C§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 64 - 6. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi , , M N P là các điểm lần lượt trên các cạnh , , . C B C D S A Tìm thiết diện của hình chóp với ( ). M NP .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 7. Cho hình chóp . S AB C D có đáy A B C D là hình thang đáy lớn . AD Gọi , H K là trung điểm của S B và , A B M là điểm lấy trong hình thang A B C D sao cho đường thẳng K M cắt hai đường thẳng , . A D C D Tìm thiết diện của hình chóp với ( ). H K M .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ C A D B S A D B S C§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 65 - Daïng toaùn 4: Chöùng minh ba ñieåm thaúng haøng Phương pháp giải Để chứng minh ba điểm , , A B C thẳng hàng, ta cần chứng minh ba điểm này lần lượt thuộc hai mặt phẳng phân biệt ( ) và ( ). Nghĩa là chúng cùng thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng ( ) và ( ) nên chúng thẳng hàng. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1. Cho tứ diện . S A B C Trên các cạnh , , S A S B S C lần lượt lấy các điểm , , M N P sao cho M N cắt A B tại , I N P cắt B C tại J và M P cắt A C tại . K Chứng minh ba điểm , , I J K thẳng hàng. Lời giải tham khảo Gọi đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) M N P và ( ). A B C Ta có: , ( ) ( ) , ( ) ( ) K M P M P M NP K M NP K M P AC K d K AC AC AB C K AB C (1) Tương tự: , ( ) ( ) , ( ) ( ) I M N M N M NP I M NP I M N AB I d I AB AB ABC I ABC (2) , ( ) ( ) , ( ) ( ) J NP NP M NP J M NP J NP B C J d J B C NP ABC J ABC (3) Từ (1),(2),(3), suy ra , , I J K cùng thuộc d ba điểm , , I J K thẳng hàng (đpcm). Bình luận. Cái khó của học sinh là tìm ra hai mặt phẳng ( ) MN P và ( ) A BC để tìm giao tuyến và ba điểm , , I J K đều thuộc giao tuyến. Để tìm ra nó, ta dựa vào kinh nghiệm sau: ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ K J I A C B S M N P§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 66 - 2. Cho tứ diện A B C D có G là trọng tâm tam giác . B C D Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh , , . A B B C C D a) Xác định giao tuyến của ( ) A DN và ( ). A B P .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... b) Gọi I A G M P và . J C M A N Chứng minh , , D I J thẳng hàng. ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 3. Cho hình chóp . S AB C D có đáy AB C D là hình bình hành tâm , O hai điểm , M N lần lượt là trung điểm của , , S B S D điểm P thuộc S C và không là trung điểm của . S C a) Tìm giao điểm của S O với ( ). M NP .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... G N M P B D C A O B C A S D§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 67 - b) Tìm giao điểm của SA với mặt phẳng ( ). M NP ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Gọi , , F G H lần lượt là giao điểm của Q M và , A B Q P và , A C Q N và . AD Chứng minh ba điểm , , F G H thẳng hàng. ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 4. Cho hình chóp . S AB C D có đáy AB C D là hình bình hành tâm , O hai điểm , M N lần lượt là trung điểm của , , S B S D điểm P thuộc S C và không là trung điểm của . S C a) Tìm giao điểm của S O với ( ). M NP .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... b) Tìm giao điểm của SA với mặt phẳng ( ). M NP ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ O B C A S D§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 68 - c) Gọi , , F G H lần lượt là giao điểm của Q M và , A B Q P và , A C Q N và . AD Chứng minh ba điểm , , F G H thẳng hàng. ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 5. Cho hình chóp . S AB C D có AD không song song với . B C Lấy M thuộc S B và O là giao điểm AC với . B D a) Tìm giao điểm N của S C với ( ). A D M .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... .................................................................................................... ................................................................................................................................................................................ b) Gọi . I A N D M Chứng minh , , S I O thẳng hàng. ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ O A B D C S M§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 69 - BÀI TẬP RÈN LUYỆN GIAO TUYẾN GIAO ĐIỂM THẲNG HÀNG TỈ SỐ BT 1. Cho tứ diện AB C D có G là trọng tâm tam giác . BC D Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của , , . AB B C C D a) Tìm giao tuyến của ( ) A D N và ( ). A B P b) Gọi I A G M P và . J C M A N Chứng minh , , D I J thẳng hàng. BT 2. Cho hình chóp . . S AB C D Gọi , , E F H lần lượt là các điểm thuộc cạnh , , . S A S B SC a) Tìm giao điểm ( ). K SD E F H b) Gọi O A C B D và . I E H F K Chứng minh: , , S I O thẳng hàng. c) Gọi M A D B C và . N EK F H Chứng minh: , , S M N thẳng hàng. d) Gọi P A B C D và . Q E F H K Chứng minh: , , A P Q thẳng hàng. BT 3. Cho tứ diện . AB C D Gọi , , M N P lần lượt là các điểm thuộc cạnh , , A B A C B D và , , . M N B C I M P A D J N J IP K Chứng minh: , , C D K thẳng hàng. BT 4. Cho hình chóp . . S AB C D Gọi I và J là hai điểm trên hai cạnh , . A D S B a) Tìm giao tuyến của ( ) S B I và ( ). SA C Tìm giao điểm K của I J và ( ). SA C b) Tìm giao tuyến của ( ) SB D và ( ). SA C Tìm giao điểm L của DJ và ( ). SA C c) Gọi , . O A D B C M O J S C Chứng minh rằng: , , , A K L M thẳng hàng. BT 5. Cho tứ giác AB C D có các cạnh đối đôi một không song song và điểm ( ). S A B C D Lấy điểm I thuộc cạnh , A D lấy điểm J thuộc cạnh . SB a) Tìm ( ). K I J SAC b) ( ). L D J SA C c) Gọi , . O A D B C M O J S C Chứng minh rằng: , , K L M thẳng hàng. BT 6. Cho hình chóp . S AB C D có đáy AB C D là hình bình hành tâm . O Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , . S A S C a) Tìm giao tuyến của ( ) B M N với các mặt phẳng ( ) SAB và ( ). SB C b) Tìm ( ) I S O B M N và ( ). K SD B M N c) Tìm ( ) E AD B M N và ( ). F C D B M N d) Chứng minh rằng ba điểm , , B E F thẳng hàng. BT 7. Cho hình chóp . . S AB C D Gọi , M N là 2 điểm lần lượt nằm trên 2 cạnh B C và . S D a) Tìm giao điểm I của B N và ( ). SA C b) Tìm giao điểm J của M N và ( ). SA C c) Chứng minh: , , I J C thẳng hàng. d) Xác định thiết diện của mặt phẳng ( ) B C N với hình chóp. BT 8. Cho tứ diện AB C D có K là trung điểm của . AB Lấy , I J lần lượt thuộc , A C B D sao cho 2 I A IC và 3 . JB JD a) Tìm giao điểm E của AD và ( ). IJK §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 70 - b) Tìm giao tuyến d của ( ) IJK và ( ). B C D c) Gọi O là giao điểm của d với . C D Chứng minh: , , I O E thẳng hàng. d) Tính các tỉ số OI OE và O C O D BT 9. Cho hình chóp . S AB C D có đáy AB C D là hình thang, AD là đáy lớn và 2 . AD B C Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , S B S C và . O A C B D a) Tìm giao tuyến của ( ) A B N và ( ). S C D b) Tìm giao điểm P của D N và ( ). S A B c) Gọi . K A N D M Chứng minh , , S K O thẳng hàng. Đặt . . K S k K O Tìm . k BT 10. Cho hình chóp . S AB C D có đáy AB C D là hình bình hành tâm . O Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , . S A S C Gọi ( ) P là mặt phẳng qua , M N và . B a) Tìm giao tuyến của ( ) P với các mặt phẳng ( ), ( ), ( ), ( ). S A B S B C S A D S D C b) Tìm ( ), ( ), ( ), ( ). I SO P K SD P E D A P F D C P c) Chứng tỏ rằng ba điểm: , , E B F thẳng hàng. BT 11. Cho hình chóp . S AB C D có đáy AB C D là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song nhau. Gọi , M E là trung điểm , S A A C và F C D sao cho 3 . C D C F a) Tìm giao tuyến của ( ) SAB và ( ). S C D b) Tìm giao điểm N của S D và ( ). M E F Đặt . . N S k N D Tìm . k c) Gọi H S E C M và . K M F N E Chứng minh , , D H K thẳng hàng. d) Tính các tỉ số sau: ; ; ; ; HM HS KM KN KH HC HE KF K E KD BT 12. Cho tứ diện . AB C D Trên các cạnh , , A B A C B D lần lượt lấy ba điểm , , E F G sao cho 3 , 2 , 4 . AB A E A C A F D B D G a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) E F G và ( ). B C D b) Tìm giao điểm H của đường thẳng CD với ( ). E F G Tính tỉ số HC HD c) Tìm giao điểm I của đường thẳng AD với ( ). E F G Tính tỉ số IA ID d) Chứng minh ba điểm , , F H I thẳng hàng. e) Gọi J là trung điểm của , B C AJ cắt E F tại . K Tính tỉ số A K A J §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 71 - Daïng toaùn 5: Chöùng minh ba ñöôøng thaúng ñoàng quy Phương pháp giải Để chứng minh ba đường thẳng , , a b c đồng quy, ta làm theo các bước sau: Chọn mặt phẳng ( ) P chứa đường thẳng a và . b Giả sử . I a b Tìm mặt phẳng ( ) Q chứa a và ( ) R chứa b sao cho ( ) ( ) . Q R c I c Suy ra: , , a b c đồng quy tại . I Nghĩa là: ( ), ( ), ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) a P b P I a b a P Q a b c I b P R c Q R BÀI TẬP VẬN DỤNG 1. Cho hình chóp . S A B C D có A B không song song . C D Gọi M là trung điểm S C và O là giao điểm A C với . B D a) Tìm giao điểm N của S D với ( ). M A B Chọn mặt phẳng phụ ( ) SC D chứa . S D Xét ( ) SC D và ( ) : M A B Trong ( ), A B C D gọi . E A B C D Ta có: , ( ) ( ) , ( ) ( ) E A B A B A BM E A B M E C D C D SCD E SCD ( ) ( ) E A B M S C D (1) Mà ( ) , ( ) ( ) M A BM M SC SC SCD M S C D ( ) ( ) M A B M S C D (2) Từ (1), (2) ( ) ( ) . A B M SC D E M Trong ( ) SC D gọi . N S D EM Khi đó: ( ). , ( ) N S D N S D A B M N E M E M A B M b) Chứng minh rằng ba đường thẳng , , S O A M B N đồng quy. Phân tích: Nhận thấy rằng ( ), ( ) AM S A C B N S B D nên ta quan tâm đến 2 mặt này. Xét ( ) S A C và ( ) SB D có: ( ) ( ) S S A C SB D (3) Ta có: , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) O A C A C SA C O S A C O SA C SBD O B D BD SBD O SBD (4) Từ (3), (4) ( ) ( ) . S A C S B D S O Mặt khác, trong ( ), A B M gọi . I A M B N ( ) ( ) ( ) . ( ) I A M SA C I SA C S BD I SO I B N SBD Do đó , , S O A M B N đồng quy. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 72 - 2. Cho hình chóp . S AB C D có đáy AB C D là tứ giác lồi. Lấy M trên cạnh . S C Gọi N là giao điểm của S B và ( ). A D M Gọi O là giao điểm A C và . B D Chứng minh rằng , , S O A M D N đồng qui. ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... 3. Cho hình chóp . , ( ). S A B C D A B C D Trên cạnh S C lấy E không trùng với S và . C a) Tìm giao điểm F của S D với ( ). A B E ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... ............................................................................................... b) Chứng minh ba đường thẳng , , A B C D E F đồng qui. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. A D B C S A D B C S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 73 - § 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1. Vò töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng phaân bieät Cho hai đường thẳng phân biệt a và . b Định nghĩa Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng. Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng. Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. 2. Tính chaát hai ñöôøng thaúng song song Tính chất 1. Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Tính chất 2. (Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng). Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Tính chất 3. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 74 - Daïng toaùn 1: Chöùng minh hai ñöôøng thaúng song song Phương pháp giải Cách 1. Chứng minh hai đường thẳng , a b đồng phẳng, rồi dùng các định lý trong hình học phẳng, chẳng hạn định lý đường trung bình, định lý đảo Thales,… để chỉ ra . a b Cách 2. Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba. Cụ thể, chứng minh: . c a a b c b Cách 3. Áp dụng định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng và hệ quả của nó. Chẳng hạn: chứng minh: ( ), ( ) ( ) ( ) b c a b c b c a b a a c 1. Cho tứ diện A B C D có , I J lần lượt là trọng tâm tam giác A B C và . A B D Chứng minh: . I J C D Gọi , E F lần lượt là trung điểm của , . B C B D E F là đường trung bình của tam giác . B C D E F C D (1) Vì I là trọng tâm A I A BC A E Vì J là trọng tâm A J A BD A F Suy ra: A I A J I J E F A E A F (2) Từ (1), (2), suy ra . I J C D 2. Cho tứ diện . A B C D Gọi , , , , , M N P Q R S lần lượt là trung điểm của , , A B C D , B C , A D , . A C B D Chứng minh M N PQ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng , , M N PQ R S cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đoạn. Ta có: , , , , , M N P Q R S lần lượt là trung điểm của các cạnh: , , A B C D , B C , A D , . A C B D , , , , , , , MP P N N Q QM MR R N N S S M lần lượt là đường trung bình của các tam giác , A B C , B CD , A C D , A B D , A B C , A C D , B CD . A B D M P A C N Q M P N Q M Q BD P N là hình bình hành. M R B C SN M RN S M S A D R N là hình bình hành. Gọi G MN R S và . G M N PQ G là trung điểm của R S và . M N G G nên ba đoạn thẳng , , MN P Q RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn (đpcm). I E F B D C A J G P N S Q R M B D C A§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 75 - 3. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , . S A S D Chứng minh: a) M N A D và . M N B C ...................................................................................................... ` ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... b) M O S C và . N O S B ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 4. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , . A B A D Gọi , , I J G lần lượt là trọng tâm của các tam giác: , SA B , . SA D A OD Chứng minh rằng: a) . I J M N ...................................................................................................... ` ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... b) I J B D và . GJ S O ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ N M O C A D B S G J I N M O C A D B S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 76 - 5. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình chữ nhật tâm . O Gọi G là trọng tâm tam giác S A D và E là điểm trên cạnh D C sao cho 3 , D C D E I là trung điểm . A D a) Tìm giao điểm P của I E và ( ). S B C ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... b) Chứng minh: . GE SP ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 6. Cho hình chóp . S A BC D có đáy A B C D là hình thang, cạnh đáy lớn A B với 2 , A B C D A C cắt B D tại . O Gọi G là trọng tâm của tam giác SB C và M là trung điểm của . SC a) Tìm giao điểm đường thẳng SB và ( ). A DM ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... b) Chứng minh: . GO MD ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ O E G I C A D B S C A B D S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 77 - Daïng toaùn 2: Giao tuyeán song song Phương pháp giải Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và ( ) có chứa hai đường thẳng song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng, ta làm như sau: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) A a b Ax a b với . A x a b BÀI TẬP VẬN DỤNG 1. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh . S A Điểm , E F lần lượt là trung điểm của A B và . B C Tìm giao tuyến giữa các cặp mặt phẳng sau: a) ( ) SA B và ( ). SC D Ta có: ( ) ( ) ( ), ( ) S SAB SCD A B C D A B SAB CD SCD ( ) ( ) SA B S C D Sx với . Sx A B CD Nhận xét. Có hai phương pháp tìm giao tuyến, một là tìm hai điểm chung và nối chúng lại. Hai là giao tuyến đi qua một điểm chung và song song với hai đường thẳng lần lượt song song nằm trong hai mặt. b) ( ) SB C và ( ). SA D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) ( ) MB C và ( ). SA D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) ( ) ME F và ( ). SA C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ x D B C A S M§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 78 - 2. Cho hình chóp . S A BC D có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác . SA D a) Tìm giao tuyến của ( ) SA B và ( ). SC D ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng ( ). GBC ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 3. Cho hình chóp . S A BC D có đáy là A B C D là hình thang, đáy lớn . A B Gọi M là trung điểm của . SC a) Tìm giao tuyến của ( ) SA C và ( ). SB D ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... b) Tìm giao điểm của đường thẳng SB và ( ). MA D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ D B C A S A B C D S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 79 - 4. Cho hình chóp . S A BC D có đáy là hình bình hành tâm , O M là trung điểm , SC I là trung điểm của , SM J là trung điểm của A O và N thuộc cạnh A D sao cho 3 . N D N A a) Tìm giao tuyến của ( ) SA C và ( ). SB D ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... b) Tìm giao tuyến của ( ) SA D và ( ). SB C ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... c) Chứng minh: . I J SA ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) Chứng minh: . N J A B ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 5. Cho hình chóp . S A BC D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SB C và E là một điểm nằm trên đoạn thẳng B D sao cho 3 . B E BD a) Tìm giao tuyến của ( ) SA B và ( ). SC D ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... b) Tìm giao tuyến của ( ) SA C và ( ). SB C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ C A B D S G B D C A S E§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 80 - c) Tìm giao điểm của đường thẳng SB và ( ). A DG ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) Chứng minh: . GE SA ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 6. Cho hình chóp . S A BC D có đáy A B C D là hình thang đáy lớn , A B 3 , A B a 2 . C D a Gọi O là giao điểm của A C và , B D M là điểm trên cạnh SA sao cho 5 3 . A M SA a) Tìm giao tuyến của ( ) SA D và ( ). SB C ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... b) Tìm giao điểm N của đường thẳng SB và ( ). MC D Chứng minh: . O N SD ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Gọi . I S O MC Tính tỉ số: O I SI ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ A B D C S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 81 - § 3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG 1. Vò töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vôùi maët phaúng Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( ). P Có ba trường hợp xảy ra: Đường thẳng d và ( ) P có 2 điểm chung phân biệt ( ) d P (hình 1) Đường thẳng d và ( ) P có 1 điểm chung duy nhất ( ) d P A (hình 2) Đường thẳng d và ( ) P không có điểm chung nào ( ) d P (hình 3) Hình 1 Hình 2 Hình 3 Định nghĩa. Đường thẳng d và mặt phẳng ( ) P gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 2. Caùc ñònh lí Định lí 1. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng ( ) và d song song với đường thẳng d nằm trong ( ) thì d song song với ( ). Định lí 2. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ). Nếu mặt phẳng ( ) chứa a và cắt ( ) theo giao tuyến b thì b song song với . a Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. Định lí 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Daïng toaùn 1: Chöùng minh ñöôøng thaúng d song song maët phaúng (P) Phương pháp giải Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ), P ta cần chứng minh đường thẳng d song song với một đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( ). P Hiển nhiên đường thẳng d này không nằm trong ( ). P Cụ thể, để chứng minh ( ), d P ta cần: ( ) ( ). ( ) d d d P d P d P BÀI TẬP ÁP DỤNG 1. Cho tứ diện . A B C D Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác A C D và . B C D Chứng minh rằng M N song song với các mặt phẳng ( ) A B C và ( ). A B D A d P P d d P§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 82 - O D B A C S Gọi E là trung điểm của . C D Vì M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác A C D và B C D 1 3 E M E N E A E B Áp dụng định lý Thales vào . A B E M N A B Ta có: ( ) ( ). ( ) M N AB AB A B C M N AB C M N ABC Tương tự: ( ) ( ) ( ) M N AB AB ABD M N ABD M N AB D (đpcm). 2. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh A B và . C D a) Chứng minh: ( ) M N S B C và ( ). M N S A D ....................................................................................................... ` ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ b) Gọi E là trung điểm của . S A Chứng minh: ( ) S B M N E và ( ). S C M N E ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 3. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi , M N lần lượt là trung điểm , . S A S D Chứng minh: a) ( ) B C S A D và ). ( A D S B C .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... N E B D C A M D B A C S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 83 - b) ( ) M N A B C D và ( ). M N S B C .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. .................................................................................. c) ) ( M O S C D và ( ). N O S B C .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... 4. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình chữ nhật tâm . O Gọi G là trọng tâm tam giác S A D và E là điểm trên cạnh D C sao cho 3 , D C D E I là trung điểm . A D a) Chứng minh: ( ) O I S A B và ( ). O I S C D ........................................................................................................ ` ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ b) Tìm giao điểm P của I E và ( ). S B C Chứng minh: ( ). GE S BC ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ O D B A C S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 84 - 5. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của , A B C D và . S A a) Chứng minh: ( ) M N S A D và ( ). S B M N P ....................................................................................................... ` ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ b) Gọi , G I là trọng tâm của tam giác A B C và . S B C Chứng minh: ( ). GI S A B ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 6. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình thang đáy lớn , A B với 2 . A B C D Gọi O là giao điểm của A C và , B D I là trung điểm của , S A G là trọng tâm của tam giác S B C và E là một điểm trên cạnh S D sao cho 3 2 . S E S D a) Chứng minh: ( ). DI S BC ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ b) Chứng minh: ( ). G O S C D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ D B A C S O C A B D S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 85 - c) Chứng minh: ( ). S B A C E ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 7. Cho hình chóp . S A B C D có đáy là hình thang ( ). A B C D Biết 2 . A B C D Gọi , G H lần lượt là trọng tâm tam giác SA D và , S B C gọi , E F lần lượt là trung điểm của , . A D B C a) Tìm giao tuyến của ( ) S A B và ( ). S C D ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. ................................................................................................. b) Chứng minh rằng: ( ). G H S C D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Gọi K là giao điểm của C G và , D H L là giao điểm của C E và . D F Chứng minh ba điểm , , S K L thẳng hàng và tính tỉ số S K S L ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ H G F E C A B D S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 86 - 8. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A BCD là hình bình hành tâm . O Gọi , M N lần lượt là trung điểm của S A và . C D a) Tìm giao điểm ( ). E A D B M N ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ b) Tìm giao điểm ( ). F S D B M N Chứng minh: 2 . S F F D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Gọi I là trung điểm , M E . G A N B D Chứng minh: ( ). F G S A B ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) Gọi . H M N S G Chứng minh: . O H G F ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ M N O D B A C S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 87 - Daïng toaùn 2: Tìm thieát dieän song song vôùi moät ñöôøng thaúng Phương pháp giải Để tìm thiết diện của mặt phẳng ( ) đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc ( ) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng,thường sử dụng tính chất sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) M d a d với a d ( ). M a 1. Cho hình chóp . , S A B C D đáy A B C D là hình thang, đáy lớn . A B Gọi O là giao điểm của A C và ; , B D E K lần lượt là trung điểm , . B C S C a) Chứng minh: ( ). E K S AB ....................................................................................................... ` ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ b) Gọi mặt phẳng ( ) P qua O và song song với B C và . S A Tìm thiết diện cắt của hình chóp . S A B C D với mặt phẳng ( ). P Lời giải tham khảo Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) O P A B CD B C ABCD ABCD P Ox B C P với . O x B C Trong ( ), A B C D gọi , ( ) M O x D C M N P M O x AB (1) Ta lại có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) N P SAB S A P SA B P Ny S A S AB với . N y S A Trong ( ), S A B gọi ( ) T N y S B T P (2) Tương tự ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) T P S B C B C P S B C P Tz B C SB C với . T z B C Trong ( ), S B C gọi ( ) R T z S C R P (3) Từ (1), (2), (3), suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác . M N T R z y x R T M N K E O A B D C S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 88 - 2. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành, O là giao điểm của A C và , B D M là trung điểm . S A a) Chứng minh: ( ). O M S C D ....................................................................................................... ` ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ b) Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua , M đồng thời song song với S C và . A D Tìm thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp . . S A B C D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 3. Cho tứ diện . A B C D Gọi , I J lần lượt là trung điểm của A B và , C D M là một điểm trên đoạn . I J Gọi ( ) P là mặt phẳng qua M song song với A B và . C D a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( ) P và ( ). I C D ....................................................................................................... ` ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ b) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng ( ). P Thiết diện là hình gì ? ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ O D B A C S J I B D C A M§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 89 - 4. Cho hình chóp . . S A B C D Gọi , M N thuộc cạnh , . A B C D Gọi ( ) là mặt phẳng qua M N và song song . S A .................................................................. .................................................................. .................................................................. a) Tìm thiết diện của ( ) và hình chóp. ....................................................................................................... ` ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ b) Tìm điều kiện của , M N để thiết diện là hình thang. ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 5. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi K và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác A B C và . S B C a) Chứng minh: ( ). K J S A B ....................................................................................................... ` ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ b) Gọi ( ) P là mặt phẳng chứa K J và song song với . A D Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( ). P ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ C A D B S M N§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 90 - 6. Cho tứ diện . A B C D Gọi M là điểm thuộc B C sao cho 2 . M C M B Gọi , N P lần lượt là trung điểm của B D và . A D a) Chứng minh: ( ). N P A B C ....................................................................................................... ` ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ b) Tìm giao điểm ( ) Q A C M N P và tính Q A Q C Suy ra thiết diện của hình chóp bị cắt bởi ( ). M N P ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Chứng minh: ( ), M G A B D với G là trọng tâm của tam giác . A C D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ P N M B D C A§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 91 - 7. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh , , . A B A D S B a) Chứng minh: ( ). B D M N P ....................................................................................................... ` ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ b) Tìm giao điểm của ( ) M N P với . B C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) M N P và ( ). S B D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) M N P và ( ). S B D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 8. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi G là trọng tâm ; S A B N là một điểm thuộc đoạn A C sao cho: 1 ; 3 A N I A C là trung điểm . A B a) Chứng minh: ( ). O I S A D ....................................................................................................... ` ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ P N M C A D B S N G I O C A D B S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 92 - b) Chứng minh: ( ). G N S D C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua O và song song với S A và . B C Mặt ( ) cắt , S B S C lần lượt tại L và . K Tìm hình tính thiết diện cắt bởi mặt phẳng ( ) với hình chóp . . S A B C D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 9. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh S A thỏa 3 2 . M A M S Hai điểm E và F lần lượt là trung điểm của A B và . B C a) Xác định giao tuyến của ( ) M EF và ( ). S A C ....................................................................................................... ` ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ ........................................................................................................ b) Xác định giao điểm K của mặt phẳng ( ) M EF với cạnh . S D Tính tỉ số: KS K D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ F E M C A D B S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 93 - ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ c) Tìm giao điểm I của M F với ( ). S B D Tính tỉ số: I M I F ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) M EF cắt các mặt của hình chóp . . S A B C D ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 10. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình thang đáy lớn . AB Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh A D và . S D a) Tìm giao tuyến của: ( ) S A D và ( ). S B C ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ ................................................................................................ b) Tìm giao điểm I của B N và mặt phẳng ( ). S A C ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ C N M A B D S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 94 - c) Tìm giao điểm J của S C và mặt phẳng ( ). B M N Suy ra: ( ). I J S A B ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ d) Gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng M N và song song với . C D Thiết diện của mặt phẳng ( ) và hình chóp . S A B C D là hình gì ? ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ BÀI TẬP ÔN TẬP: GIAO TUYẾN GIAO ĐIỂM SONG SONG THIẾT DIỆN BT 1. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi , M N lần lượt là trung điểm , . S A S D Chứng minh rằng: a) ( ). B C S AD b) ) ( . A D S B C c) ( ). M N A B C D d) ( ). M N S B C e) ) ( . M O S C D f) ( ). N O S B C BT 2. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình chữ nhật. Gọi G là trọng tâm tam giác S A D và E là điểm trên cạnh D C sao cho 3 , D C D E I là trung điểm . A D a) Chứng minh: ( ) O I S A B và ( ). O I S C D b) Tìm giao điểm P của I E và ( ). S B C Chứng minh: ( ). G E S B C BT 3. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của A B và . C D a) Chứng minh: ( ) M N S B C và ( ). M N S A D b) Gọi P là điểm trên cạnh . S A Chứng minh: ( ) S B M N P và ( ). S C M NP c) Gọi , G I là trọng tâm của tam giác A B C và . S B C Chứng minh: ( ). G I S A B BT 4. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình thang đáy lớn , A B với 2 . A B C D Gọi O là giao điểm của A C và , B D I là trung điểm của , S A G là trọng tâm của tam giác S B C và E là một điểm trên cạnh S D sao cho 3 2 . S E S D Chứng minh: a) ( ). D I S B C b) ( ). G O S C D c) ( ). S B A C E BT 5. Cho hình chóp . S A B C D có đáy là hình bình hành tâm . O Gọi , M N là trung điểm các cạnh . , A B A D Gọi , I J thuộc , S M S N sao cho 2 3 S I S J S M S N Chứng minh: a) ( ). M N S B D b) ( ). I J S B D c) ( ). S C I J O BT 6. Cho tứ diện A B C D có G là trọng tâm của tam giác A B D và I là điểm trên cạnh B C sao cho 2 . B I I C Chứng minh rằng: ( ). I G A C D §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 95 - BT 7. Cho tứ diện . A B C D Gọi , G P lần lượt là trọng tâm của các tam giác A C D và . A B C Chứng minh rằng: ( ) G P A B C và ( ). G P A B D BT 8. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành, O là giao điểm của A C và , B D M là trung điểm . S A a) Chứng minh: ( ). O M S C D b) Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua , M đồng thời song song với S C và . A D Tìm thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp . . S A B C D BT 9. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình thang đáy lớn . AB Gọi M là trung điểm , ( ) C D là mặt phẳng qua , M đồng thời song song với S A và . B C Tìm thiết diện của ( ) với hình chóp . . S A B C D Thiết diện là hình gì ? BT 10. Cho hình chóp . . S A B C D Gọi , M N thuộc cạnh , . A B C D Gọi ( ) là mặt phẳng qua M N và song song . S A a) Tìm thiết diện của ( ) và hình chóp. b) Tìm điều kiện của M N để thiết diện là hình thang. BT 11. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh S C và ( ) P là mặt phẳng qua A M và song song với . B D a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ). P b) Gọi , E F lần lượt là giao điểm của ( ) P với các cạnh S B và . S D Tìm tỉ số diện tích của S M E với S B C và tỉ số diện tích của S M F với . S C D c) Gọi K là giao điểm của M E và , C B J là giao điểm của M F và . C D Chứng minh , , K A J nằm trên đường thẳng song song với E F và tìm tỉ số E F K J BT 12. Cho tứ diện . A B C D Gọi , M N là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh B C và . AD Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng ( ) qua M N và song song với . C D Xác định vị trí của hai điểm , M N để thiết diện là hình bình hành. BT 13. Cho tứ diện . A B C D Gọi , I J lần lượt là trung điểm của A B và , C D M là một điểm trên đoạn . IJ Gọi ( ) P là mặt phẳng qua M song song với A B và . C D a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( ) P và ( ). I C D b) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng ( ). P Thiết diện là hình gì ? BT 14. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi K và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác A B C và . S B C a) Chứng minh KJ // (SAB) b) Gọi ( ) P là mặt phẳng chứa K J và song song với . AD Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( ). P BT 15. Cho tứ diện . A B C D Gọi 1 2 , G G lần lượt là trọng tâm của các tam giác A C D và . B C D Chứng minh rằng: 1 2 ( ) G G A B C và 1 2 ( ). G G A B D BT 16. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của , S A B I là trung điểm , A B lấy điểm M trong đoạn A D sao cho 3 . A D A M a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) S A D và ( ). S B C b) Đường thẳng qua M và song song A B cắt C I tại . N Chứng minh ( ). N G S C D c) Chứng minh: ( ). M G S CD §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 96 - BT 17. Cho hình chóp . , S A B C D đáy A B C D là hình thang với đáy lớn A D và 2 . A D B C Gọi O là giao điểm của A C và , B D G là trọng tâm của tam giác . S C D a) Chứng minh: ( ). O G S B C b) Cho M là trung điểm của . S D Chứng minh: ( ). C M S A B c) Gọi I là điểm trên cạnh S C sao cho 2 3 . S C S I Chứng minh: ( ). S A B D I BT 18. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh , , . A B A D S B a) Chứng minh: ( ). B D M N P b) Tìm giao điểm của ( ) M N P với . B C c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) M N P và ( ). S BD d) Tìm thiết diện của hình chóp với ( ). M N P BT 19. Cho tứ diện . A B C D Gọi M là điểm thuộc B C sao cho 2 . M C M B Gọi , N P lần lượt là trung điểm của B D và . AD a) Chứng minh: ( ). NP A B C b) Tìm giao điểm Q của A C với ( ) M N P và tính Q A Q C Suy ra thiết diện của hình chóp bị cắt bởi ( ). M N P c) Chứng minh: ( ), M G AB D với G là trọng tâm của tam giác . A C D BT 20. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của ( ) S A C và ( ); ( ) S B D S A B và ( ). S CD b) Một mặt phẳng qua B C và song song với A D cắt S A tại , ( , ), E E S E A cắt S D tại , ( , ). F F S F D Tứ giác B E F C là hình gì ? c) Gọi M thuộc đoạn A D sao cho 3 A D A M và G là trọng tâm tam giác , S A B I là trung điểm . AB Đường thẳng qua M và song song A B cắt C I tại . N Chứng minh: ( ) N G S C D và ( ). M G S CD BT 21. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành, tâm . O Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của , , . S A B C C D a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) S A C và ), ( ) ( S B D S A B và ( ). S CD b) Tìm giao điểm E của S B và ( ). M N P c) Chứng minh: ( ). NE S A P BT 22. Cho tứ diện . A B C D Lấy điểm M trên cạnh A B sao cho 2 . A M M B Gọi G là trọng tâm B C D và I trung điểm của , C D H là điểm đối xứng của G qua . I a) Chứng minh: ( ). G D M C H b) Tìm giao điểm K của M G với ( ). A C D Tính tỉ số GK GM BT 23. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi , I K lần lượt là trung điểm của , . B C C D a) Tìm giao tuyến của ( ) S I K và ( ), ( ) S A C S I K và ( ). S BD b) Gọi M là trung điểm của . S B Chứng minh: ( ). S D AC M c) Tìm giao điểm F của D M và ( ). S I K Tính tỉ số M F M D §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 97 - BT 24. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi G là trọng tâm , S A B trên A D lấy điểm E sao cho 3 . A D A E Gọi M là trung điểm . AB a) Chứng minh: ( ). E G S C D b) Đường thẳng qua E song song A B cắt M C tại . F Chứng minh: ( ). G F S C D c) Gọi I là điểm thuộc cạnh C D sao cho 2 . C I I D Chứng minh: ( ). G O S AI BT 25. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của S C và N là trọng tâm tam giác . A B C a) Chứng minh: ( ). S B A M N b) Tìm giao tuyến của ( ) A M N với ( ). S A B c) Tìm giao điểm I của S D với ( ). A M N Tính tỉ số: I S I D d) Gọi Q là trung điểm của . I D Chứng minh: ( ). Q C A M N BT 26. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , . B C C D a) Tìm giao tuyến của ( ) S M D và ( ). S A B b) Tìm giao tuyến của ( ) S M N và ( ). S BD c) Gọi H là điểm trên cạnh S A sao cho 2 . H A H S Tìm giao điểm K của M H và ( ). S BD Tính tỉ số: K H K M d) Gọi G là giao điểm của B N và . D M Chứng minh: ( ). H G S B C BT 27. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình thang với A D là đáy lớn và 2 . A D B C Gọi O là giao điểm của A C và , B D G trọng tâm của tam giác . S C D a) Chứng minh: ( ). O G S B C b) Gọi M là trung điểm của cạnh . S D Chứng minh: ( ). C M S A B c) Giả sử điểm I trên đoạn S C sao cho 2 3 . S C S I Chứng minh: ( ). S A B I D d) Xác định giao điểm K của B G và mặt phẳng ( ). S A C Tính tỉ số: K B K G BT 28. Cho hình chóp . . S A B C Gọi , , M P I lần lượt là trung điểm của , , . A B S C S B Một mặt phẳng ( ) qua M P và song song với A C và cắt các cạnh , S A B C tại , . N Q a) Chứng minh: ( ). B C I M P b) Xác định thiết diện của ( ) với hình chóp. Thiết diện này là hình gì ? c) Tìm giao điểm của đường thẳng C N và mặt phẳng ( ). S M Q BT 29. Cho hình chóp . S A B C D có đáy là một hình tứ giác lồi. Gọi , M N là trung điểm của S C và . C D Gọi ( ) là mặt phẳng qua , M N và song song với đường thẳng . A C a) Tìm giao tuyến của ( ) với ( ). A B C D b) Tìm giao điểm của đường thẳng S B với ( ). c) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ). BT 30. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình thang với . A B C D Gọi , , M N I lần lượt là trung điểm của , , . A D B C S A a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) I M N và ( ); ( ) S A C I M N và ( ). S A B b) Tìm giao điểm của S B và ( ). I M N §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 98 - c) Tìm thiết diện của mặt phẳng ( ) I D N với hình chóp . . S A B C D BT 31. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi G là trọng tâm ; S A B N là một điểm thuộc đoạn A C sao cho: 1 ; 3 A N I A C là trung điểm . AB a) Chứng minh: ( ) O I S A D và . G N S D b) Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua O và song song với S A và . B C Mặt phẳng ( ) cắt , S B S C lần lượt tại L và . K Tìm hình tính thiết diện cắt bởi mặt phẳng ( ) với hình chóp . . S A B C D BT 32. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi , H K lần lượt là trung điểm các cạnh , S A S B và M là điểm thuộc cạnh , C D ( M khác C và ). D a) Tìm giao tuyến của: ( ) K A M và ( ), ( ) S B C S B C và ( ). S A D b) Tìm thiết diện tạo bởi ( ) H K O với hình chóp . . S A B C D Thiết diện là hình gì ? c) Gọi L là trung điểm đoạn . H K Tìm ( ). I O L S B C Chứng minh: . S I B C BT 33. Cho tứ diện , A B C D có , M N là trung điểm của cạnh , A B B C và gọi G là trọng tâm tam giác . A C D a) Tìm giao điểm E của M G và ( ). B C D b) Tìm ( ) ( ). d M N G B C D Giả sử . d C D P Chứng minh: ( ). G P A B C c) Gọi ( ) là mặt phẳng chứa M N và . A D Tìm thiết diện của ( ) với tứ diện. BT 34. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh S A thỏa 3 2 . M A M S Hai điểm E và F lần lượt là trung điểm của A B và . B C a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) M E F và ( ). S A C b) Xác định giao điểm K của mặt phẳng ( ) M E F với cạnh . S D Tính tỉ số: K S K D c) Tìm giao điểm I của M F với ( ). S BD Tính tỉ số: I M I F d) Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) M E F cắt các mặt của hình chóp . . S A B C D BT 35. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi , M N là trung điểm , . S A S D a) Xác định giao điểm của N C và ( ). O M D b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( ) P qua M O và song song với . S C BT 36. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của , ( ) S C P là mặt phẳng qua A M và song song với . B D a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ). P b) Gọi , E F lần lượt là giao điểm của ( ) P với các cạnh S B và . S D Hãy tìm tỉ số diện tích của tam giác S M E với tam giác S B C và tỉ số diện tích của tam giác S M F và tam giác . S C D c) Gọi K là giao điểm của M E và , C B J là giao điểm của M F và . C D Chứng ba điểm , , K A J nằm trên một đường thẳng song song với E F và tìm tỉ số E F K J BT 37. Cho hình chóp . S A B C D có G là trọng tâm . A B C Gọi , , , , , M N P Q R H lần lượt là trung điểm của , , , , , . S A S C C B B A Q N A G a) Chứng minh rằng: , , S R G thẳng hàng và 2 4 . S G M H RG b) Gọi G là trọng tâm . S B C Chứng minh: ( ) G G SA B và ( ). G G S A C §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 99 - § 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Vò töông ñoái cuûa hai maët phaúng phaân bieät Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ) P và ( ). Q Có hai trường hợp xảy ra: Có 1 điểm chung ( ) ( ) . P Q a Không có điểm chung ( ) ( ). P Q Định nghĩa. Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. 2. Caùc ñònh lí Định lí 1. Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau , a b và , a b cùng song song với mặt phẳng ( ) thì ( ) song song với ( ). Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta phải chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này lần lượt song song với mặt phẳng kia. Muốn chứng minh đường thẳng ( ), a Q ta chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng ( ) ( ). P Q Định lí 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) thì trong ( ) có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với ( ). Dó đó để chứng minh đường thẳng d song song với ( ) ta phải chứng minh d thuộc mặt phẳng ( ) và có ( ) ( ) ( ). d Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng ( ). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với ( ) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với ( ). Định lí 3. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau. Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Q P a Q P§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 100 - Chöùng minh hai maët phaúng song song Phương pháp giải Chứng minh hai mặt phẳng song song ( ) ( ). P Q Ta chứng minh mặt phẳng ( ) P có hai đường thẳng CẮT NHAU và lần lượt song song với mặt phẳng ( ). Q Cụ thể, để chứng minh ( ) ( ), P Q ta cần chỉ ra: ( ) (1) ( ) (2) ( ) ( ). , ( ) a Q b Q P Q a b P a b A Trước hết ta cần chứng minh (1) và chứng minh (2), sau đó gộp lại như trên. 1. Cho hình chóp . S A B C D với đáy A B C D là hình thang mà A D B C và 2 . A D B C Gọi , M N lần lượt là trung điểm của S A và . A D Chứng minh: ( ) ( ). B M N S C D Ta có: , M N lần lượt là trung điểm của S A và . A D M N là đường trung bình . S A D M N S D Ta có: ( ) ( ). ( ) MN SD SD SCD M N SC D MN S C D Mà có 2 N D A D BC và N D B C nên suy ra B N DC là hình bình hành . B N C D Ta có: ( ) ( ). ( ) NB C D C D SC D N B SC D NB SC D Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ). ( ), ( ) M N S CD NB S CD B MN S CD M N B MN NB B M N M N NB N Bình luận: Bản chất bài toán là tập hợp của hai bài toán chứng minh đường song song mặt. Học sinh cần xem lại những phần suy luận ngược, cụ thể luôn đặt câu hỏi: ( ) d d d Dù ®o¸n d song song víi ®êng nµo n»m trong ( ) d vµ d n»m trong tam gi¸c hay ®ång hå c¸t nµo ? Thales. 2. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm , , S A S B S D và , K I là trung điểm của , . B C O M .................................................................... a) Chứng minh: . ( ( ) ) O M N S C D ...................................................................................................... ` ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... M B N A D C S I K P N M O C A D B S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 101 - b) Chứng minh: . ( ( ) ) P M N AB C D ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. c) Chứng minh: ( ). K I S C D ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 3. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , . S A S D .................................................................... .................................................................... a) Chứng minh: ( ) ( ). O M N S B C ...................................................................................................... ` ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... b) Gọi , , P Q R lần lượt là trung điểm của , , . A B O N S B Chứng minh: ( ). P Q S B C ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. N M K O C A D B S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 102 - c) Chứng minh: ( ) ( ). M O R S C D ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 4. Cho hai hình bình hành A B C D và A B E F có chung cạnh A B và không đồng phẳng. Gọi , , I J K lần lượt là trung điểm các cạnh , , . A B C D E F Chứng minh: a) Chứng minh: . ( ( ) ) A D F B C E ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... b) Chứng minh: ( ( ) ). D I K J B E ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 5. Cho các hình bình hành , A B C D A B E F nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo , A C B F lấy các điểm , M N sao cho 2 , 2 . M C A M N F B N Qua , M N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với cạnh , A B cắt các cạnh , A D A F theo thứ tự tại 1 1 , . M N a) Chứng minh: . M N D E ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... K J I C E A B D F§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 103 - ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... b) Chứng minh: 1 1 ( ). M N D E F ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ c) Chứng minh: 1 1 ( ) ( ). M N M N D E F ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... 6. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi , , , M N P E lần lượt là trung điểm , , , S A B C C D S C và I trên cạnh S A thỏa 3 . A I I S a) Tìm giao tuyến của ( ) S A D và ( ). M O P ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... b) Tìm ( ), K I E A B C ( ) H B C E I M và k với . . C H k CB ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ ................................................................................ c) Gọi G là trọng tâm . S B C Tìm thiết diện hình chóp . S A B C bị cắt bởi ( ). I M G ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... ........................................................................................... N M C E A B D F P N M O C A D B S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 104 - 7. Cho hình chóp . S A B C có G là trọng tâm của tam giác . A B C Trên đoạn S A lấy hai điểm , M N sao cho . S M M N N A a) Chứng minh: ( ). G M S B C ....................................................................................................... ` ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua . G Chứng minh: ( ) ( ). M C D N B G ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. c) Gọi ( ). H D M S B C Chứng minh H là trọng tâm . S B C ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. 8. Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi M là trung điểm của , S C N là điểm trên đường chéo B D sao cho 3 . B D B N a) Xác định giao tuyến của ( ) S DC và ( ). S A B ....................................................................................................... ` ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... ....................................................................................................... N M G A C B S N M O C A D B S§iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 105 - b) Tìm giao điểm T của đường thẳng DM và ( ). S A B Tính tỉ số: TM TD ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. c) Gọi . K A N B C Chứng minh rằng: ( ). M K S B D ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. d) Gọi , . I A N D C L I M S D Tính tỉ số L S L D và IK M IAL S S ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 106 - § 5. BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 2 BT 1. (THPT Bình Hưng Hòa – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Điểm M nằm trên cạnh S B sao cho 2 . S M M B Gọi G là trọng tâm của tam giác . S C D a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) S A D và ( ). S B C b) Chứng minh đường thẳng M G song song với mặt phẳng ( ). A B C D c) Xác định thiết diện của hình chóp . S A B C D cắt bởi mặt phẳng ( ), biết rằng ( ) chứa đường thẳng M G và song song với đường thẳng . S A BT 2. (THPT Bình Tân – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành, gọi G là trọng tâm của tam giác ; S A B I là trung điểm của . A B a) Tìm giao tuyến của ( ) S A B và ) ( ( ); S C D S I D và ( . ) S A C b) Tìm giao điểm ( ). M S A C DG c) Xác định thiết diện với hình chóp . S A B C D với ( ). C D G d) Giả sử ( ). N S B C D G Tính tỉ số S N SB BT 3. (THPT Lê Quý Đôn – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B C D có A B C D là hình bình hành. Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm , , ; S A B C C D G là trọng tâm tam giác S C D và . E A P B D a) Tìm giao điểm F của M P và mặt phẳng ( ). S BD b) Chứng minh: ( ) M N S C D và ( ). G E S A C c) Lấy điểm H thuộc cạnh A D sao cho (0 1), AH n n AD mặt phẳng ( ) P qua H song song , S A C D cắt , , S D S C B C lần lượt tại , , . K L R Tìm hình tính của thiết diện được tạo bởi ( ) P với hình chóp . . S A B C D d) Cho S A k CD , Q H R A C . Tính n theo k để thiết diện H K LQ là hình thoi. BT 4. (THPT Nguyễn Chí Thanh – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B C D đáy là hình thang, A D B C và 2 . A D B C Gọi , E F lần lượt là trung điểm của S A và . A D a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) B C E và ( ). S A D Suy ra giao điểm I của ( ) B C E với . S D b) Chứng minh ( ). C I B E F c) Tìm giao diểm K của F I với ( ). S B C Chứng minh: ( ) ( ). S B F K C D d) Gọi O là giao điểm của A C và ; ( ) B F là một mặt phẳng đi qua O và song song , . S A B C Xác định thiết diện của ( ) với hình chóp . . S A B C D BT 5. (THPT Nguyễn Hiền – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là một hình thang , A D BC biết 2 . A D B C Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác S A D và . S B C a) Tìm giao tuyến của ( ) A DJ và ( ); ( ) S B C B I C và ( ). S A D §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 107 - b) Tìm giao điểm , M N của ( ) A DJ và , , S B S C giao điểm , P Q của ( ) B C I và , . S A S D c) Chứng minh , P M N Q cùng song song ( ). A B C D d) Cho AM cắt B P tại ; E C Q cắt D N tại F và P C cắt E F tại . K Tính tỷ số E K E F BT 6. (THPT Nguyễn Hữu Cảnh – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành. Gọi , E F lần lượt là trung điểm của cạnh A B và . S C a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) S D E với ( ), ( ) S B C S A B với ( ). S C D b) Gọi G là trọng tâm tam giác , S A B K là điểm trên cạnh S D sao cho 2 . S K K D Chứng minh G K song song với mặt phẳng ( ). A B C D c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng E F và ( ). S BD Tính tỉ số EI EF BT 7. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai v– Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B C D có mặt đáy A B C D là hình thang, cạnh đáy lớn 2 . A D B C Gọi , I K lần lượt là trung điểm A D và . S I Trên cạnh A B lấy điểm M sao cho 2 . A M M B a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) S A D và ( . ) K B C b) Tìm giao điểm J của đường thẳng B C và mặt phẳng ( . ) S K M c) Gọi G là trọng tâm . S A D Chứng minh rằng ( ). J K G M C d) Chứng minh thiết diện tạo bởi ( ) K B C với hình chóp . S A B C D là 1 hình bình hành. BT 8. (THPT Nguyễn Thượng Hiền – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi , , E I N lần lượt là trung điểm của , , . S A B C C D a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) E C D và ( ). S A B Suy ra giao điểm F của đường thẳng S B và mặt phẳng ( ). E C D b) Chứng minh: ( ) ( ). O E I S C D Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) E I N và ( ). S C D c) Lấy điểm H thuộc cạnh S B sao cho 2 , B H S H gọi M là trung điểm của , A B G là trọng tâm của tam giác . S B C Chứng minh rằng: ( ). A H M N G BT 9. (THPT Bình Hưng Hòa – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B CD có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi , , M N P lần lượt là trung điểm của , , . S B B C C D a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) M N P và ( ). S B D b) Chứng minh mặt phẳng ( ) OM N song song với mặt phẳng ( ). S C D c) Xác định thiết diện của hình chóp . S A B CD cắt bởi mặt phẳng ( ) P đi qua điểm , O song song với A B và . S C Thiết diện là hình gì ? BT 10. (THPT Lê Trọng Tấn – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B CD có đáy là hình bình hành. Gọi , I G lần lượt là trọng tâm của tam giác , . S A D A C D a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) S A B và ( ). S C D b) Chứng minh rằng I G song song với mặt phẳng ( ). S BC c) Tìm giao điểm của S D và mặt phẳng ( ). IB C d) Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng ( ) I B C là hình gì ? Giải thích. §iÖn tho¹i ghi danh: 0933.755.607 (ThÇy §oµn) – 0983.047.188 (ThÇy Nam) Ch¬ng 1. §êng & mÆt trong kh«ng gian Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn Trang - 108 - BT 11. (THPT Trần Phú – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A BC D có đáy A B C D là hình thang có đáy là A B và . C D Biết đáy lớn 3 . A B C D Gọi , E F và I lần lượt là các điểm trên các cạnh , A B SB và A D sao cho: 2 , 2 E B E A F B F S và 2 . I A I D a) Chứng minh ( ) E F S A D và ) ( ). ( C E F S A D b) Chứng minh ( ). F I S C D c) Tìm giao điểm G của E F và mặt phẳng ( ). S C D Chứng minh . G C S D BT 12. (THPT Tân Bình – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B C có G là trọng tâm S A B và M trên S C thỏa 2 . 3 SM S C a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( ) A B C và mặt phẳng ( ). B M G b) Gọi ( ) là mặt phẳng chứa M G và mp ( ) . S A Nêu cách vẽ thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( ) và hình chóp . . S A BC Thiết diện là hình gì ? BT 13. (THPT Tây Thạnh – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B CD có đáy A B C D là hình thang (đáy lớn A B ), 2 . A B A D Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng A D và ; B C , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , . S A A B a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) S A D và ( ). S BC b) Tìm giao điểm P của đường thẳng S D với mặt phẳng ( ). M B C c) Gọi . O A C D N Chứng minh rằng: , N C A D ( ). S C O M N BT 14. (THPT Nguyễn Thượng Hiền – Tp. Hồ Chí Minh) Cho hình chóp . S A B C D có đáy A B C D là hình bình hành tâm . O Gọi , I J lần lượt là trung điểm của , S A S B và G là trọng tâm tam giác . S C D a) Tìm giao tuyến của ( ) I O J và ( ), A B C D suy ra giao điểm N của B C và ( ). I O J b) Gọi H là trung điểm của . C D Chứng minh rằng ( ) ( ). I O H S B C c) Gọi M là điểm thuộc cạnh . B C Mặt phẳng ( ) qua M G và song song C D cắt , , A D S D S C lần lượt tại , , . P Q R Xác định thiết diện tạo thành bởi mặt phẳng ( ) và hình chóp. Thiết diện là hình gì ? §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn MỤC LỤC Trang Chương 1. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG ...................................................... 1 § 1. MỞ ĐẦU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH .......................................................................................... 1 § 2. PHÉP TỊNH TIẾN .................................................................................................................... 2 § 3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ..................................................................................................... 11 § 4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ....................................................................................................... 15 § 5. PHÉP QUAY ........................................................................................................................... 17 § 6. PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG ............................................................................. 25 ÔN TẬP CHƯƠNG 1 ............................................................................................................ 33 Chương 2. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ........... 41 § 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ............................................... 41 Dạng toán 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ............................................................... 43 Dạng toán 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ......................................... 52 Dạng toán 3. Tìm thiết diện .................................................................................................. 61 Dạng toán 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng ................................................................ 65 Dạng toán 5. Chứng minh ba điểm đồng quy ................................................................... 71 § 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG .............................................................................. 73 Dạng toán 1. Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng ...................................... 74 Dạng toán 2. Giao tuyến song song ..................................................................................... 77 § 3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG ............................................................ 81 Dạng toán 1. Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng ....................................... 81 Dạng toán 2. Tìm thiết diện song song ................................................................................ 87 § 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ..................................................................................... 99 § 5. ÔN TẬP CHƯƠNG 2 .......................................................................................................... 106 ĐỊA CHỈ GHI DANH TRUNG TÂM THẾ VINH – 45A LÊ THÚC HOẠCH – Q. TÂN PHÚ (ĐỐI DIỆN TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ). TRUNG TÂM HOÀNG GIA – 56 PHỐ CHỢ – P. TÂN THÀNH – Q. TÂN PHÚ (SAU CHỢ TÂN PHÚ). 71/25/10 PHÚ THỌ HÒA – P. PHÚ THỌ HÒA – Q. TÂN PHÚ – TP. HỒ CHÍ MINH. ĐIỆN THOẠI GHI DANH 0983.047.188 – Zalo (Thầy Nguyễn Đức Nam) – Face: https://www.facebook.com/marion.zack/ 0933.755.607 – Zalo (Thầy Lê Văn Đoàn) – 0929.031.789 – Face: https://www.facebook.com/levan.doan.902 NHÓM TOÁN THẦY LÊ VĂN ĐOÀN Ths. Lê Văn Đoàn – Ths. Trương Huy Hoàng – Ths. Nguyễn Tiến Hà – Thầy Bùi Sỹ Khanh – Thầy Nguyễn Đức Nam – Thầy Đỗ Minh Tiến – Thầy Nguyễn Duy Tùng – Thầy Trần Nguyễn Vĩnh Nghi – Thầy Hoàng Minh Thiện – Thầy Trần Quốc Tuấn. §iÖn tho¹i ghi danh: 0983.047.188 (ThÇy Nam) – 0933.755.607 (ThÇy §oµn) Ths. Lª V¨n §oµn - Ths. Tr¬ng Huy Hoµng - Ths. NguyÔn TiÕn Hµ - Bïi Sü Khanh - NguyÔn §øc Nam - §ç Minh TiÕn THỜI KHÓA BIỂU CÁC LỚP TOÁN ĐANG HỌC KHỐI 6 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật 19’15 – 21’15 T6A T6A Giải đề KHỐI 7 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật 17’30 -19’30 T7A T7A Giải đề KHỐI 8 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật 19’15 – 21’15 T8A T8A Giải đề KHỐI 9 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật 17’30 -19’30 T9A T9B T9A T9B Giải đề KHỐI 10 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật 17’45 -19’15 T10C T10C 19’30 – 21’00 T10A1 T10A2 10HG T10B T10A1 T10A2 10HG T10B T10A1 T10A2 10HG T10B Giải đề KHỐI 11 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật 17’45 -19’15 T11A T11B1 T11B2 T11A T11B1 T11B2 T11A T11B1 T11B2 Giải đề 19’30 – 21’00 T11-C T11-C T11-C KHỐI 12 Thứ hai Thứ ba Thứ tư Thứ năm Thứ sáu Thứ bảy Chủ nhật 17’45 -19’15 T12A1 T12A2 T12HG1 T12C T12A1 T12A2 T12HG1 T12C T12A1 T12A2 T12HG1 T12C T12HG2 Lớp chuyên đề VD và VDC 19’30 – 21’00 T12B T12B T12HG2 T12B T12HG2