Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Đề cương ôn thi". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.
Tài liệu ôn thi vào 10
PAGE
Nội dungPhần I: Các vấn đề cơ bản Toán 9Vấn đề 1: Rút gọn biểu thức chứa căn- Kiến thức cần nhớ- Một số bài toán có lời giải- Một số bài tập tự luyệnVấn đề 2: Phương trình bậc hai một ẩn số- Kiến thức cần nhớ- Một số bài tập có lời giải- Một số bài tập tự luyệnVấn đề 3: Hàm số đồ thị bậc nhất – Bậc hai- Một số kiến thức cần nhớ- Một số bài tập có lời giải- Một số bài tập tự luyệnVấn đề 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình–Hệ PT- Kiến thức cần nhớ- Một số bài tập có lời giải- Một số bài tập tự luyệnVấn đề 5: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số- Kiến thức cần nhớ- Một số bài tập có lời giải- Một số bài tập tự luyệnVấn đề 6: Bất đẳng thức – Giá trị Min – Max của biểu thức- Một số bài tập tiêu biểu có lời giảiVấn đề 7: Hình học phẳng và không gian- Kiến thức cần nhớ- Một số bài tập có lời giảiPhần II : Một số đề thi tiêu biểu có đáp án và biểu điểmPhần III: Một số đề thi tự luyện theo cấu trúc đề thường gặp
PHẦN I: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN 9
VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ:
Kiến thức cơ bản
Căn bậc hai
Căn bậc hai số học
Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
Một cách tổng quát:
So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có:
Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
Căn thức bậc hai
Với A là một biểu thức đại số , người ta gọi là căn thức bậc hai của A, A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
xác định (hay có nghĩa) A 0
Hằng đẳng thức
Với mọi A ta có
Như vậy: + nếu A 0
+ nếu A < 0
Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
Định lí: + Với A 0 và B 0 ta có:
+ Đặc biệt với A 0 ta có
Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của các thừa số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó
Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có:
Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương a/b, trong đó a không âm và b dương ta có thể lần lượt khai phương hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.
Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dương ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có , tức là
+ Nếu A 0 và B 0 thì
+ Nếu A < 0 và B 0 thì
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A 0 và B 0 thì
+ Nếu A < 0 và B 0 thì
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có
Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
- Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có
- Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có
Căn bậc ba
Khái niệm căn bậc ba:
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
Với mọi a thì
Tính chất
Với a < b thì
Với mọi a, b thì
Với mọi a và thì
Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi chuyên
Căn bậc n
Căn bậc n () của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số dương là số dương
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là và
Các phép biến đổi căn thức.
xác định với xác định với
với A với A
với A, B với A, B mà
với A, B với A, B mà
với A, B mà B 0 với A, B mà B 0,
với A, mà
với A, mà
B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI.
Bài 1: Tính:
a.
b. B = eq \f(5 + eq \r(5) ,5 - eq \r(5) ) + eq \f(5 - eq \r(5) ,5 + eq \r(5) )
c. C = 5. eq \r( eq \f(1,5) ) + eq \f(1,2) . eq \r(20) + eq \r(5)
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a. .
b. B = eq \f(5 + eq \r(5) ,5 - eq \r(5) ) + eq \f(5 - eq \r(5) ,5 + eq \r(5) ) = eq \f((5 + eq \r(5) )2 + (5 - eq \r(5) )2,(5 - eq \r(5) )(5 + eq \r(5) ))
= eq \f(25 + 10 eq \r(5) + 5 + 25 - 10 eq \r(5) + 5, 25 - 5) = eq \f(60,20) = 3
c. C = 5. eq \r( eq \f(1,5) ) + eq \f(1,2) . eq \r(20) + eq \r(5) = 5. eq \r( eq \f(5,52) ) + eq \f(1,2) . eq \r(4.5) + eq \r(5)
= eq \f(5,5) eq \r(5) + eq \f(2,2) eq \r(5) + eq \r(5) = 3 eq \r(5)
Bài 2: Cho biểu thức A =
Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A
Tim giá trị của x để A = .
Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a). Điều kiện
Với điều kiện đó, ta có:
b). Để A = thì (thỏa mãn điều kiện)
Vậy thì A =
c). Ta có P = A - 9 =
Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có:
Suy ra: . Đẳng thức xảy ra khi
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức khi
Bài 3: 1) Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi x = 36
2) Rút gọn biểu thức (với )
3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên
HƯỚNG DẪN GIẢI:
1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A =
2) Với x 0, x 16 ta có :
B = =
3) Ta có: .
Để nguyên, x nguyên thì là ước của 2, mà Ư(2) =
Ta có bảng giá trị tương ứng:
12x17151814Kết hợp ĐK , để nguyên thì
Bài 4: Cho biểu thức:
a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a). Điều kiện để P xác định là :; .
Vậy P =
b) ĐKXĐ:
P = 2 = 2
Ta có: 1 + x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn).
Bài 5:Cho biểu thức M =
Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
Tìm x để M = 5
Tìm x Z để M Z.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
M =
a.ĐK 0,5đ
Rút gọn M =
Biến đổi ta có kết quả: M =
M =
Đối chiếu ĐK: Vậy x = 16 thì M = 5
c. M =
Do M nên là ước của 4 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4
Lập bảng giá trị ta được:
vì
Bài 6: Cho biểu thức P = ( eq \f( eq \r(a) ,2) - eq \f(1,2 eq \r(a) ) )2 . ( eq \f( eq \r(a - 1) , eq \r(a + 1) ) - eq \f( eq \r(a + 1) , eq \r(a - 1) ) ) Với a > 0 và a ≠ 1
Rút gọn biểu thức P
Tìm a để P < 0
HƯỚNG DẪN GIẢI:
P = ( eq \f( eq \r(a) ,2) - eq \f(1,2 eq \r(a) ) )2 . ( eq \f( eq \r(a - 1) , eq \r(a + 1) ) - eq \f( eq \r(a + 1) , eq \r(a - 1) ) ) Với a > 0 và a ≠ 1
Vậy P = Víi a > 0 và a ≠ 1
Tìm a để P < 0
Với a > 0 và a ≠ 1 nên eq \r(a) > 0
P = eq \f(1 - a, eq \r(a) ) < 0 1 - a < 0 a > 1 ( TMĐK)
Bài 7: Cho biểu thức: Q = eq \f(a, eq \r(a2 - b2) ) - ( 1 + eq \f(a, eq \r(a2 - b2) ) ) : eq \f(b,a - eq \r(a2 - b2) )
Rút gọn Q
Xác định giá trị của Q khi a = 3b
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Rút gọn:
Q = eq \f(a, eq \r(a2 - b2) ) - ( 1 + eq \f(a, eq \r(a2 - b2) ) ) : eq \f(b,a - eq \r(a2 - b2) )
= eq \f(a, eq \r(a2 - b2) ) - eq \f( eq \r(a2 - b2) + a, eq \r(a2 - b2) ) . eq \f(a - eq \r(a2 - b2) ,b)
= eq \f(a, eq \r(a2 - b2) ) - eq \f(b, eq \r(a2 - b2) ) = eq \f(a - b, eq \r(a2 - b2) )
= eq \f(( eq \r(a - b) )2, eq \r((a - b)(a + b)) ) = eq \f( eq \r(a - b) , eq \r(a + b) )
Khi có a = 3b ta có: Q = eq \f( eq \r(3b - b) , eq \r(3b + b) ) = eq \r( eq \f(2b,4b) ) = eq \r( eq \f(1,2) )
Bài 8: Cho biểu thức
a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Đkxđ : x > 0 , y > 0
a)
b) Ta có
Do đó ( vì xy = 16 )
Vậy min A = 1 khi
Bài 9: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P với .
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :
b) Đkxđ :
c) Thay vào biểu thức , ta có:
Bài 10: Cho biểu thức:
P =
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = -1
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có:
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Ta có:
ĐKXĐ:
Với x > 0 và ta có:
P =
( Đk: x9)
Với x > 0 , x thì P =
P = - 1
( ĐK: x > 0, )
Đặt đk y > 0
Ta có phương trình: Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0
( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0), ( thoả mãn ĐKXĐ y > 0)
Với thì x = ( thoả mãn đkxđ)
Vậy với x = thì P = - 1
c) (đk: x > 0; )
( Do 4x > 0)
Xét
Có x > 9 (Thoả mãn ĐKXĐ)
( Hai phân số dương cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn)
Theo kết quả phần trên ta có :
Kết luận: Với thì
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Câu 1 Cho biểu thức :
Tim điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
Rút gọn biểu thức A .
Giải phương trình theo x khi A = -2 .
Câu2 Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức .
Tính giá trị của khi
Câu3 Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức A .
Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
Câu4 Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x =
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
Câu 5 Cho biểu thức : A =
a. Tìm ĐKXĐ
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên.
Câu 6 Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm giá trịn nguyên của x để nhậ giá trị nguyên.
Câu 7 Cho
a) Rút gọn P.
b) Tìm a biết P > .
c) Tìm a biết P = .
Câu 8 Cho
a) Chứng minh
b) Tính P khi
2.Tính
Câu 9 Cho biểu thức
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi .
c) Chứng minh rằng với mọi gía trị của x thỏa mãn .
Câu 10 Cho
a) Tìm TXĐ
b) Rút gọn biểu thức M.
c) Tính giá trị của M tại .
Câu 11 Cho biểu thức: .
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2
Câu 12 Cho biểu thức: .
1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
Câu 13 Cho biểu thức: .
a. Chứng minh
b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
Câu 14 Cho biểu thức: .
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.
Câu 15 Rút gọn biểu thức: .
Câu 16 Cho biểu thức: .
1. Rút gọn biểu thức T.
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luôn có T<1/3.
Câu 17 Cho biểu thức:
1. Rút gọn biểu thức M.
2. Tìm x để M ≥ 2.
Bài 18: Cho biểu thức :
với m ≥ 0 ; n ≥ 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A với .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 19: Cho biểu thức
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để
Bài 20: Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên.
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
Phương trình bậc hai
*) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt :
*) Nếu phương trình có nghiệm kép :
*) Nếu phương trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phương trình bậc hai và
*) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt :
*) Nếu phương trình có nghiệm kép :
*) Nếu phương trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình thì :
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình :
(Điều kiện để có u và v là )
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm :
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm :
IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
B. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI:
Bài 1. Giải các phương trình sau :
Giải
Vậy phương trình có nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm
Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phương trình có nghiệm :
Đặt . Ta có phương trình :
a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0
=> phương trình có nghiệm : (thỏa mãn); (loại)
Với:
Vậy phương trình có nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm
(ĐKXĐ : )
Phương trình :
=> phương trình có hai nghiệm : (thỏa mãn ĐKXĐ)
(thỏa mãn ĐKXĐ)
Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : (1)
a/ Giải phương trình với m = - 2.
b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình. Tính theo m.
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : .
d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a/ Thay m = - 2 vào phương trình (1) ta có phương trình :
Vậy với m = - 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phương trình : (1) Ta có:
Phương trình có nghiệm
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
*)
*)
c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm
Khi đó
Do đó
=> phương trình có hai nghiệm :
Thử lại : +) Với => loại.
+) Với => thỏa mãn.
Vậy với m = - 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : .
d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
Hệ thức : 2x1 + 3x2 = 5 (c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình :
Thay vào (b) ta có phương trình :
=> phương trình có hai nghiệm phân biệt :
Thử lại : +) Với => thỏa mãn.
+) Với => thỏa mãn.
Vậy với phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
e/ Phương trình (1) có nghiệm
Khi đó :
Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x1 = x2 = - 3.
f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
Vậy với m < - 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
Vậy hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m là: x1.x2 + (x1 + x2 ) – 3 = 0
Bài 3:
Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x = (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm ’ = 3m-2 0 m
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m thì phương trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x = (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất ’ = 3m-2 = 0 m = (thoả mãn m ≠ 1)
Khi đó x =
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
với m = thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 4m – 3 = 0 m =
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0)
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 =
Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6
Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x - 3 - m = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =
Do với mọi m; > 0 với mọi m
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 – 3 – m < 0 m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =2 -2= 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bài A 10 4m2 – 6m 0 2m(2m-3) 0
Vậy m hoặc m 0
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:
x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2)
Vậy ()
Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn ; với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở trên
HƯỚNG DẪN GIẢI:
a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
Vậy m = 2
b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm 0 2 – m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
Khi đó: (m≠1)
(m≠1)
y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 - .y + = 0 (m≠1)
Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1).
Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.
HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0
* m : m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 ;
Bài 2: Cho phương trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 .
Xác định m và n để phương trình có 2 nghiệm là 3 và -2.
HDẫn :
Bài 3: Tìm m, n để phương trình bậc hai sau đây có nghiệm duy nhất là :
mx2 + (mn + 1)x + n = 0
HDẫn :
Bài 4: Cho hai phương trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x - 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm .
HDẫn : 26 > 0 có 1 biệt số không âm .
Bài 5: Cho hai phương trình : x2 + (m - 2)x += 0 (1)
và 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2)
CMR với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm .
HDẫn : ;
có 1 biệt số không âm .
Bài 6: Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x2 + 2x + m = 0
x2 + mx + 2 = 0
HDẫn : (m -2)x= m - 2 : + m =2 : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +2 = 0 ( vô nghiệm)
+ m 2 : x= 1 ; m = -3
Bài 7: Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung.
x2 + (m - 2)x + 3 = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0
HDẫn : (m - 4)x= m - 4 : + m = 4 : hai phương trình có dạng : x2 + 2x +3 = 0 ( vô nghiệm)
+ m 4 : x= 1 ; m = -2
Bài 8 : Gọi và là những nghiệm của phương trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0 (1)
Tìm những giá trị của k để các nghiệm của phương trình (1) thoả mãn :