Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Đề tự luyện thi chọn HSG môn Toán lớp 9". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.
ĐỀ TỰ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
(25. 02. 2020)
Bài 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức
x y xy
P
( x y)(1 y) ( x y)( x 1) ( x 1)(1 y)
= − −
+ − + + + −
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2.
Bài 2. (4,0 điểm)
1. Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn18a 4b 2013. + Chứng minh rằng
phương trình sau luôn có nghiệm:
2
18ax 4bx 671 9a 0. + + − =
2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình
3 2 3
x 2x 3x 2 y . + + + =
Bài 3. (4,5 điểm)
1. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một
hợp số.
2. Giải phương trình
2 3 2
4x 3x 3 4 x 3x 2 2x 1. + + = + + −
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho góc xOy có số đo bằng 60
o
. Đường tròn có tâm K nằm trong góc xOy tiếp
xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP
> 2.OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng
PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F.
1. Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ.
2. Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp.
3. Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều.
Bài 5. (2,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 3. + + = Chứng minh rằng:
2 2 2
a 1 b 1 c 1
3.
1 b 1 c 1 a
+ + +
+ +
+ + +
------HẾT------