Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Đề luyện thi HSG môn Toán lớp 9 năm học 2019-2020". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.
ĐỀ TỰ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (28. 02. 2020)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I. (4,0 điểm)
Cho biểu thức
2x 1 x 2x x x x (x x)(1 x)
A 1.
1x
1 x x 2 x 1
− + + − − −
= + −
−
+−
1. Rút gọn biểu thức A;
2. Tìm x để
1
A
7
−
Câu II. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình
22
x 3x
2 0.
x x 2 x 5x 2
− − =
− − − −
2. Giải hệ phương trình
2 2 2 2
22
x y 2x y
.
(x y)(1 xy) 4x y
+=
+ + =
Câu III. (4,0 điểm)
1. Tìm các nghiệm nguyên (x ; y) của phương trình
22
5(x xy y ) 7(x 2y). + + = +
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn:
2
pq m 1
p q m 1
+
=
++
Câu IV. (6,0 điểm)
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ
đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d). Kẻ
AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC,
AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN
tại K.
1. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn;
2. Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi;
3. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường
thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
Câu V. (2,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
22
a b a b
2 c 6.
ba ba
+ + + =
Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
bc ca 4ab
P
a(2b c) b(2a c) c(a b)
= + +
+ + +
------------------Hết------------------