Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 năm học 2022-2023 (có đáp án)". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2022-2023
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 06 câu trong 01 trang
Câu 1: (4đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6
b, Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1
Câu 2: (2đ)
Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz
Tính giá trị của biểu thức P =
Câu 3: (3đ) Tìm x biết
Câu 4: (3đ)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N*
b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 5: (6đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Câu 6: (2 đ)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6 + 3x2 + 1 = y3
---------------Hết----------------
PAGE \* MERGEFORMAT 5
PAGE \* MERGEFORMAT 1
MÃ KÍ HIỆU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2022-2023
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 06 câu trong 01 trangCâu 1: (4đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6
b, Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1
Câu 2: (2đ)
Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và + + =
Tính giá trị của biểu thức P =
Câu 3: (3đ) Tìm x biết
a, < 5x -4
b, + =
Câu 4: (3đ)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N*
b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
Câu 5: (6đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Câu 6: (2 đ)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6 + 3x2 + 1 = y3
---------------Hết----------------
MÃ KÍ HIỆU
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm 2023
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu 1
(4 điểm).
a)Đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1
1.0 đA = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)
1.0 đCâu1
b)
b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1)
+(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)1.0 đ
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1
A chia hết cho x4 + x2 + 1
1.0 đ
Câu 2
( 2 điểm)
Có (= + 2(
0.75đ (= p + 2
vậy P+2=30,75đ
suy ra P = 1
0.5đCâu 3
( 3 điểm)
a)Theo bài ra ta có :
4-5x < 3x +2< 5x - 4
1.0 đ Giải các bất pt (1) và (2) sau
4-5x < 3x +2 (1)
3x +2< 5x – 4 (2)
Ta được nghiệm chung x > 30.5đ
Câu 3
b)b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung ta được pt:
(x+100)() = 0 0,5 đ
x + 100 = 0 vì () khác 00.5 đ x = -100
Vậy S = 0.5 đCâu 4:
(3 điểm)
a)
a, A = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
0.5đ
Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
0,5 đTa thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp )
3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia hết cho 90,5 đb)Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z =
x = ; y = ; z= 0.5đ
P = = =
0.5đ
Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z
0.5đ
Câu 5:
(6 điểm)Hình vẽ
0.5đ
a)
+ Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.
(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra:BEC=(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A.
Suy ra:
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
b)
Ta có: (do~)
mà (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên (doABH Đồng dạng CBA)
Do đó BHM đồng dạng BEC (c.g.c)
suy ra: 0,5đ
1,0đ
0,5đc)Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suyra: ,
vì~nên (DE//AH)
Do đó:
1,0đ
0,5đ
Câu 6
(2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6+3x2+1=y3
Ta có : x6 + 3x 2+ 1 = y3
x6 +3 x4 + 3x 2+ 1 = y3 +3x4
(x2+1)3 - 3x4 = y3 (x2+1)3
Mà y3 = x6+3x2+1 > x6 = (x2)3
Nên
Với x ≠ 0 ta có :
(x2)3 < y3 < (x2+1)3
x2 < y3 < x2+1
phương trình vô nghiệm
0,5 đ
0,5 đ
Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1
Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1)
0,5 đ
0,5 đ
---------------Hết----------------