Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán tìm cực trị Đại Số". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.
Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến
“ Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán tìm cực trị Đại Số”
Bài 1 Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3. Tìm GTNN của biểu thức
Lời giải
Dự đoán điểm rơi
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số ; và luôn tồn tại 2 số có tích không âm.
Không mất tính tổng quát giả sử đó là và .
Suy ra:
Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta cũng có:
Suy ra:
Dấu “=” xảy ra
Vậy Min(R) = 27 .
Bài 2 Cho các số sao cho .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải.
Dự đoán điểm rơi
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số có tích không âm.
Không mất tính tổng quát, giả sử .
Nên
Mà
Từ hai BĐT trên ta suy ra Max(S)=2 khi
Bài 3:Cho a,b,c không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Theo nguyên tắc DIRICHLET Trong ba số có ít nhất hai số có tích không âm giả sử
Mặt khác từ
Nên
Ta chứng minh
Vậy
Ta chứng minh
Đặt Ta có
Do vai trò bình đẳng a, b, c như nhau nên
Hướng dẫn bài tập tương tự dạy trực tuyến
“ Sử dụng nguyên lí DIRICHLET để giải bài toán tìm cực trị Đại Số”
Bài 1 Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3. Tìm GTNN của biểu thức
Lời giải
Dự đoán điểm rơi
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số ; và luôn tồn tại 2 số có tích không âm.
. Không mất tính tổng quát giả sử đó là và .
Suy ra:
Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta cũng có:
Suy ra:
Dấu “=” xảy ra
Vậy Min(R) = 27 .
Bài 2 Cho các số sao cho .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải.
Dự đoán điểm rơi
Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số có tích không âm.
Không mất tính tổng quát, giả sử .
Nên
Mà
Từ hai BĐT trên ta suy ra Max(S)=2 khi
Bài 3:Cho a,b,c không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Theo nguyên tắc DIRICHLET Trong ba số có ít nhất hai số có tích không âm giả sử
Mặt khác từ
Nên
Ta chứng minh
Vậy
Ta chứng minh
Đặt Ta có
Do vai trò bình đẳng a, b, c như nhau nên
khi: