MỤCLỤC PHẦNI ĐẠISỐ 5 CHƯƠNG 1 MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 7 1 MỆNH ĐỀ 7 A Tóm tắt lý thuyết 7 B Các dạng toán và ví dụ 9 Dạng 1.1. Xác định mệnh đề. Tính đúng sai của mệnh đề 9 Dạng 1.2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề 10 Dạng 1.3. Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ 10 C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 17 2 TẬP HỢP 21 A Tóm tắt lý thuyết 21 B Các dạng toán và ví dụ 21 Dạng 2.1. Cách biểu diễn tập hợp 21 Dạng 2.2. Tập con - hai tập bằng nhau 22 Dạng 2.3. Các phép toán trên tập hợp 24 Dạng 2.4. Tập con của tập số thực 26 C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 30 CHƯƠNG 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI 41 1 HÀM SỐ 41 A Tóm tắt lý thuyết 41 B Các dạng toán và ví dụ 42 Dạng 1.1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm 42 Dạng 1.2. Đồ thị hàm số 42 Dạng 1.3. Tìm tập xác định của hàm số 43 Dạng 1.4. Sự biến thiên của hàm số 46 Dạng 1.5. Hàm số chẵn - Hàm số lẻ 47 12 MỤC LỤC C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 51 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT 64 A Tóm tắt lý thuyết 64 B Các dạng toán và ví dụ 65 Dạng 2.1. Xét tính đồng biến, nghịch biến 65 Dạng 2.2. Đồ thị hàm số y =ax+b 65 Dạng 2.3. Đồ thị hàm số y =|ax+b| 67 C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 68 3 HÀM SỐ BẬC HAI 75 A Tóm tắt lý thuyết 75 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 78 CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 87 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 87 A Tóm tắt lý thuyết 87 B Phương pháp giải 88 C Bài Tập Tự Luyện 89 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 96 2 Phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai 107 A Các dạng toán thường gặp - Ví dụ - Bài tập rèn luyện 107 Dạng 2.1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn 107 Dạng 2.2. Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn 109 Dạng 2.3. Định lí Vi-ét 112 Dạng 2.4. Phương trình vô tỷ 114 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 123 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 139 A Các dạng toán và ví dụ 139 Dạng 3.1. Phương pháp thế 139 Dạng 3.2. Hệ phương trình đối xứng loại 1 140MỤC LỤC 3 Dạng 3.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 142 Dạng 3.4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 144 B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 147 Dạng 3.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 154 Dạng 3.6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HỢP 156 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH 159 1 BẤT ĐẲNG THỨC 159 A Tóm tắt lý thuyết 159 B Bài tập tự luyện 159 C Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 160 PHẦNII HÌNHHỌC 165 CHƯƠNG 5 VEC-TƠ 167 1 VEC-TƠ 167 A Tóm tắt lý thuyết 167 B Các ví dụ 167 C Bài tập tự luận 169 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 172 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 179 A Tóm tắt lý thuyết 179 B Các dạng toán và ví dụ 179 Dạng 2.1. Chứng minh đẳng thức vectơ 179 Dạng 2.2. Tính độ dài của vectơ tổng 181 C Bài tập tự luận 181 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 184 3 TÍCH CỦA VÉC-TƠ VỚI MỘT SỐ 190 A Tóm tắt lý thuyết 190 B Các dạng toán và ví dụ 190 Dạng 3.1. Chứng minh đẳng thức véc-tơ 1904 MỤC LỤC Dạng 3.2. Xác định điểm thỏa điều kiện cho trước 191 Dạng 3.3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng 191 C Bài tập tự luận 193 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 198 CHƯƠNG 6 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ 205 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 205 A Tóm tắt lý thuyết 205 B Ví dụ 206 2 TÍCH VÔ HƯỚNG 207 A Tóm tắt lý thuyết 207 B Các dạng toán 207 Dạng 2.1. Tính tích vô hướng và tính góc 207 Dạng 2.2. Chứng minh vuông góc 208 Dạng 2.3. Các điểm đặc biệt trong tam giác 209 C Bài tập tự luận 211 D Câu hỏi trắc nghiệm khách quan 213Phần I ĐẠI SỐ 5CHƯƠNG1 MỆNHĐỀ-TẬPHỢP BÀI1. MỆNHĐỀ A. TÓMTẮTLÝTHUYẾT 1. Mệnhđề Mệnh đề là một khẳng định hoặc là đúng hoặc là sai và không thể vừa đúng vừa sai. VÍ DỤ 1. ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ 2. Mệnhđềchứabiến Mệnh đề chứa biến là một câu chứa biến, với mỗi giá trị của biến ta được một mệnh đề. VÍ DỤ 2. ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ 3. Phủđịnhcủamộtmệnhđề Phủ định của mệnh đề P ký hiệu là P là một mệnh đề thỏa mãn tính chất P P Đúng Sai Sai Đúng VÍ DỤ 3. ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ Để phủ định mệnh đề P, thông thường ta thêm “không phải” hoặc “không” vào những vị trí phù hợp trong mệnh đề P để có câu tròn ý. VÍ DỤ 4. ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ 4. Mệnhđềkéotheo Mệnh đề “Nếu P thì Q ”gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu P ⇒Q. Mệnh đề P ⇒Q chỉ sai khi P đúng đồng thời Q sai. Tóm tắt: P Q P ⇒Q Đúng Sai Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Đúng Đúng Đúng 78 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP VÍ DỤ 5. Mệnh đề “−10<−1⇒ (−10) 2 < (−1) 2 ” là mệnh đề sai. Mệnh đề “ √ 3< 2⇒ 3< 4” là mệnh đề đúng. △ ! Định lý trong toán học là mệnh đề đúng có dạng P ⇒Q. P: gọi là giả thiết (hay P là điều kiện đủ để có Q). Q: gọi là kết luận (hay Q là điều kiện cần để có P). VÍ DỤ 6. ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ 5. Mệnhđềđảo-Haimệnhđềtươngđương Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒Q là mệnh đề Q⇒P. △ ! Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng chưa hẳn là một mệnh đề đúng. Nếu hai mệnh đề P ⇒Q và Q⇒P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Ký hiệu P ⇔Q. Tóm tắt: P Q P ⇒Q Đúng Đúng Đúng Sai Sai Đúng Sai Đúng Sai Đúng Sai Sai Cách phát biểu khác: + P khi và chỉ khi Q. + P là điều kiện cần và đủ để có Q. + Q là điều kiện cần và đủ để có P. VÍ DỤ 7. Tam giác ABC cân có một góc 60 ◦ là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều. VÍ DỤ 8. Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc bằng tổng hai góc còn lại. VÍ DỤ 9. ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ 6. Kýhiệu∀,∃,∃! Ký hiệu∀: đọc là với mọi; ký hiệu∃: đọc là tồn tại; ký hiệu∃!: đọc là tồn tại duy nhất. Xét câu “Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0” là một mệnh đề. Ta viết:∀x∈R :x 2 ≥ 0 hay x 2 ≥ 0,∀x∈R. VÍ DỤ 10. Câu Mệnh đề Đọc là Mệnh đề đúng Mệnh đề sai 1 ∀n∈N :n 2 > 1 2 Có một số nguyên nhỏ hơn 0 3 ∃x∈Z :x 2 =x 4 Có một số tự nhiên n mà 2n+1 = 0 5 ∃!x∈Z :|x|< 11. MỆNH ĐỀ 9 7. Phủđịnhcủamệnhđềvớimọi,tồntại Mệnh đề P :∀x∈X,T(x) có mệnh đề phủ định là∃x∈X,T(x). Mệnh đề P :∃x∈X,T(x) có mệnh đề phủ định là∀x∈X,T(x). △ ! Phủ định của “ab” là “a≤b”. Phủ định của “a chia hết cho b” là “a không chỉa hết cho b”. VÍ DỤ 11. P :∃n∈Z,n< 0 phủ định của P là P :∀n∈Z,n≥ 0. VÍ DỤ 12. ................................................................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ B. CÁCDẠNGTOÁNVÀVÍDỤ { DẠNG 1.1. Xác định mệnh đề. Tính đúng sai của mệnh đề Căn cứ trên định nghĩa mệnh đề và tính đúng sai của chúng. Lưu ý rằng: P,P không cùng tính đúng sai. P ⇒Q chỉ sai khi P đúng, Q sai. P ⇔Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P và Q đều đúng hay đều sai. ∀x∈X,P(x) đúng khi P(x 0 ) đúng với mọi x 0 ∈X. ∃x∈X,P(x) đúng khi có x 0 ∈X sao cho P(x 0 ) đúng. VÍ DỤ 13. Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai? Số 1 là số nguyên tố. 1 Hà Nội là thủ đô nước nào? 2 Phương trình x 2 +1 = 0 vô nghiệm. 3 Hình học là môn học khó thật! 4 x+4 là một số âm. 5 Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4. 6 Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn. 7 n là số chẵn nếu và chỉ nếu n 2 chia hết cho 4. 8 ∃n∈N,n 3 −n không là bội của 3. 9 ∀x∈R,x 2 −x+1> 0. 10 Lời giải. a) “Số 1 là số nguyên tố” là một mệnh đề sai vì số nguyên tố là số lớn hơn 1. b) “Hà Nội là thủ đô nước nào?” không phải là mệnh đề đây là câu hỏi. c) “Phương trình x 2 +1 = 0 vô nghiệm.” là mệnh đề đúng. d) “Hình học là môn học khó thật!” không phải là mệnh đề vì đây là câu cảm thán. e) “x+4 là một số âm.” là mệnh đề chứa biến. f) “Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4.” là mệnh đề sai vì n = 2 là số chẵn nhưng không chia hết cho 4. g) “Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn.” là mệnh đề đúng. h) “n là số chẵn nếu và chỉ nếu n 2 chia hết cho 4.” là mệnh đề đúng.10 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP i) “∃n∈N,n 3 −n không là bội của 3.” là mệnh đề sai vì∀n∈N,n 3 −n = (n−1)n(n+1) chia hết cho 3. j) “∀x∈R,x 2 −x+1> 0.” là mệnh đề đúng vì x 2 −x+1 = Å x− 1 2 ã 2 + 3 4 > 0. { DẠNG 1.2. Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của một mệnh đề Mệnh đề phủ định của P là “không phải P”. Mệnh đề phủ định của “∀x∈X,P(x)” là “∃x∈X,P(x)”. Mệnh đề phủ định của “∃x∈X,P(x)” là “∀x∈X,P(x)”. Mệnh đề Q⇒P là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒Q. VÍ DỤ 14. Tìm mệnh đề đảo của mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo đúng hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau”. Lời giải. Mệnh đề đã cho có dạng P ⇒Q trong đó P là “hai góc đối đỉnh”, Q là “hai góc bằng nhau”. Vậy mệnh đề đảo là “Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh”. Mệnh đề này sai. VÍ DỤ 15. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết chúng đúng hay sai? a) P: “∀x∈R,(x−1) 2 ≥ 0”. b) Q: “Có một tam giác không có góc nào lớn hơn 60 ◦ ”. Lời giải. a) Mệnh đề phủ định của P là P: “∃x∈R,(x−1) 2 < 0”. Đây là mệnh đề sai. b) Mệnh đề phủ định củaQ làQ: “Mọi tam giác luôn có một góc lớn hơn 60 ◦ ”. Đây là mệnh đề sai vì tam giác đều không có góc lớn hơn 60 ◦ ”. VÍ DỤ 16. Phát biểu thành lời và phủ định các mệnh đề sau. ∀x∈R,x 2 > 0. 1 ∃!n∈N,n 2 +n = 0. 2 Lời giải. a) Bình phương của một số thực là số dương. Mệnh đề phủ định là “Tồn tại bình phương của một số thực là số không dương”. b) Có một số tự nhiên n mà tích của nó với số liền sau nó bằng 0. Mệnh đề phủ định là “Với mọi số tự nhiên n mà tích của nó với số liền sau nó khác 0”. { DẠNG 1.3. Phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ Một định lí thường có dạng “∀x∈X,P(x)⇒Q(x)”. Xác định P(x), Q(x). Lấy x∈X sao cho P(x) đúng, chứng minh Q(x) đúng. P(x) là điều kiện đủ để có Q(x) hay Q(x) là điều kiện cần để có P(x). VÍ DỤ 17. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu các định lí sau. a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. b) Nếu a+b> 0 thì ít nhất có một số a hay b dương.1. MỆNH ĐỀ 11 Lời giải. a) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiền cần để chúng bằng nhau. b) a+b> 0 là điều kiện đủ để ít nhất có một số a hay b dương. Ít nhất có một số a hay b dương là điều kiện cần để a+b> 0. VÍ DỤ 18. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” phát biểu các định lí sau. a) Một số có tổng chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương. Lời giải. a) Một số có tổng chia hết cho 9 là điều kiện cần và đủ để số đó chia hết cho 9. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để hình đó là một hình thoi. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để biệt thức của nó dương. Bài 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? Phát biểu nào là mệnh đề chứa biến? a. 2009+1> 2020. b. 2x+3 = 0. c. x 2 +1> 0. d. Mọi tam giác đều đều là tam giác cân. e. Số π có lớn hơn 3 hay không? f. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. g. 3 là một số nguyên tố. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 2. Phát biểu thành lời, xét tính đúng sai và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề dưới đây: a. ∃x∈R :x 2 =−10. b. ∀x∈R :x 2 +x+126=−10. c. ∀x∈R :x 2 ≤ 0. d. ∃x∈R :x 2 ≤ 0. e. ∃x∈R :x 2 +x+5> 0. f. ∀x∈R :x 2 +x+5> 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 3. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến? a. 10< 1. b. 2+x>x+1. c. x−y = 1. d. √ 2 là số vô tỉ. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 4. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.12 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP a. Không được đi lối này. b. Bây giờ là mấy giờ? c. 7 không là số nguyên tố. d. √ 5 là số vô tỉ. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 5. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. a. Số π có lớn hơn 3 hay không? b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. c. Mọi tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc nhau. d. Phương trình x 2 +2020x−2021 = 0 vô nghiệm. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 6. Tìm hai giá trị thực của x để từ mỗi câu sau ta được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. a. x 2 0. d. x> 1 x . ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 7. Cho mệnh đề chứa biến “P(x) :x>x 3 ”, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau a. P(1). b. P Å 1 3 ã . c. ∀x∈N,P(x). d. ∃x∈N,P(x). ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 8. Dùng các ký hiệu∀,∃ trước các mệnh đề chứa biến để được mệnh đề đúng a. x+2> 3. b. a+3 = 3+a. c. 15 là bội của x. d. (x−2) 2 >−1. e. x+y > 1. f. (a−b)(a+b) =a 2 −b 2 . g. (a−b) 2 =a 2 −b 2 . h. x 2 > 0. i. (x+y) 2 =x 2 +2xy +y 2 . j. (x−2) 2 = 1. k. x 2 −5x+6 = 0. l. (x+y)z =xz +yz. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 9. Lập mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của chúng. a. ∃x∈Q : 9x 2 −3 = 0. b. ∃n∈N :n 2 +1 chia hết cho 8. c. ∀x∈R : (x−1) 2 6=x−1. d. ∀n∈N :n>n 2 . .......................................................................................................................1. MỆNH ĐỀ 13 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 10. Cho số thực x. Xét các mệnh đề P : “x 2 = 1 ”và Q : “x = 1 ” a. Phát biểu mệnh đề P ⇒Q và mệnh đề đảo của nó. b. Xét tính đúng sai của hai mệnh đề trên. c. Chỉ ra một giá trị của x để mệnh đề P ⇒Q sai. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 11. Phát biểu mệnh đề P ⇔Q bằng hai cách và xét tính đúng sai của nó a. P : “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q : “Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau”. b. P : “Bất phương trình √ x 2 −3x> 1 có nghiệm ”và Q : “ p (−1) 2 −3(−1)> 1”. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 12. Lập mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương của hai mệnh đề sau đây và cho biết tính đúng, sai của chúng. Biết: P : “Điểm M nằm trên phân giác của góc Oxy”. Q : “Điểm M cách đều hai cạnh Ox, Oy ”. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 13. Dùng các ký hiệu∀ hoặc∃ để viết các mệnh đề sau: a. Có một số nguyên không chia hết cho chính nó. b. Mọi số thực cộng với số 0 bằng chính nó. c. Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 14. Sử dụng khái niệm “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ” phát biểu các mệnh đề sau: a. Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. b. Số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. c. Nếu a =b thì a 2 =b 2 . d. Nếu a+b> 0 thì trong hai số a và b lớn hơn 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 15. Phát biểu một “điều kiện đủ”14 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP a. Để tứ giác ABCD là hình bình hành. b. Để tứ giác ABCD là hình chữ nhật. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 16. Xác định tính đúng - sai của các mệnh đề sau: a. ∀x∈R :x>−2⇒x 2 > 4. b. ∀x∈R :x> 2⇒x 2 > 4. c. ∀m,n∈N :m và n là các số lẻ⇔m 2 +n 2 là số chẵn. d. ∀x∈R :x 2 > 4⇒x> 2. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 17. Xét tính đúng- sai của các mệnh đề sau a. ∃a∈Q, a 2 = 2. b. ∀n∈N, n 2 +1 không chia hết cho 3. c. ∀x∈R,∃y∈R :x>y⇔x 3 >y 3 . d. ∀x∈R,∀y∈R :x+y≥ 2 √ xy. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 18. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. a) A : “6 là số nguyên tố ”. b) B : “( √ 3−1) 2 là số nguyên ”; c) C : “∃n∈N,n(n+1) là số chính phương ”; d) D : “∀n∈N,2n+1 là số lẻ ”. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 19. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó. A : “∃x∈N,n 2 +3 chia hết cho 4 ”và B : “∃x∈N,x chia hết cho x+1 ”. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 20. Nêu mệnh đề phủ định cúa các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. a) A : “Phương trình x 4 −2x 2 +2 = 0 có nghiệm”; b) B : “Bất phương trình x 2013 > 2030 vô nghiệm ”; c) C : “∀x∈R,x 4 −x 2 +1 = Ä x 2 + √ 3x+1 äÄ x 2 − √ 3x+1 ä ”; d) D : “∃q∈Q,2q 2 −1 = 0 ”.1. MỆNH ĐỀ 15 ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 21. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó. a) A : “∀x∈R,x 3 −x 2 +1> 0 ”; b) B : “Tồn tại số thực a sao cho a+ 1 a ≤ 2 ”. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 22. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó a) P(x) : “∃x∈Z,x 2 = 3 ”. b) P(n) : “∀n∈N ∗ : 2 n +3 là một số nguyên tố ”. c) P(x) : “∀x∈R,x 2 +4x+5> 0 ”. d) P(x) : “∀x∈R,x 4 −x 2 +2x+2≥ 0 ”. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 23. Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P ⇒Q, Q⇒P và xét đúng sai của mệnh đề này. a) Cho tứ giác ABCD và hai mệnh đề P : "Tổng hai góc đối cùa tứ giác lồi bằng 180 ◦ " và Q : " Tứ giác nội tiếp được đường tròn". b) P : ” √ 2− √ 3>−1" và Q : ”( √ 2− √ 3) 2 > (−1) 2 ". ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 24. Sử dụng khái niệm "điều kiện cần " đề phát biều các định lí sau a) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5. b) Nếu a =b thì a 2 =b 2 . c) Trong mặt phằng, nếu hai đường thằng phân biệt cùng vuông góc với một đường thằng thứ ba thì hai đường thằng ấy song song với nhau. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 25. Dùng khái niệm " điều kiện cần " để phát biểu các định lí sau a) Nếu MA⊥MB thì M thuộc đường tròn đường kính AB. b) a6= 0 hoặc b6= 0 là điều kiện đủ để a 2 +b 2 > 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................16 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Bài 26. Sừ dụng khái niệm "điều kiện đủ " đề phát biểu các định lí sau a) Nếu a và b là hai số hũu tỉ thì tổng a+b là số hũu tỉ. b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 27. Cho định lí “Cho số tự nhiên n, nếu n 5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”. Định lí này được viết dưới dạng P ⇒Q. a) Hãy xác định các mệnh đề P và Q. b) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần”. c) Phát biểu định lí trên bằng cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ”. d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) của định lí trên rồi dùng các thuật ngữ "điều kiện cần và đủ" phát biều gộp cả hai định lí thuận và đảo. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 28. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”đề phát biều định lí sau a) Nếu một tứ giác là hình vuông thì nó có bốn cạnh bằng nhau. Có định lí đảo của định lí trên không, vì sao? b) Nếu một tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc. Có định lí đảo của định lí trên không, vì sao? ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 29. Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngũ “điều kiện cần ”, “điều kiện đủ” a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. b) Nếu số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3. c) Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân. d) Nếu tam giác ABC vuông tai A và AH là đường cao thì AB 2 =BC·BH. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 30. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ ”để phát biểu các định lí sau a) Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó bằng 180 ◦ . b) Tam giác cân khi và chỉ khi có trung tuyến bằng nhau. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 31. Dùng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ " đề phát biều định lí sau1. MỆNH ĐỀ 17 a) Một tam giác là tam giác cân nếu và chỉ nếu nó có hai góc bằng nhau. b) Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Bài 32. Dùng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ " đề phát biều định lí sau a) Tam giác ABC vuông khi và chi khi AB 2 +AC 2 =BC 2 . b) Tứ giác là hình chũ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. c) Tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. d) Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số tận cùng là số chẵn. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... C. CÂUHỎITRẮCNGHIỆMKHÁCHQUAN Câu 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. Số π có phải là số nguyên không?. B. Số 4 là một số nguyên tố. C. Tam giác đều có 3 góc bằng nhau và bằng 60 ◦ phải không?. D. a 2 +b 2 =c 2 . ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 2. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. 10 chia hết cho 2. B. 2 là một ước số của 10. C. 2 chia hết cho 10. D. 2 và 10 là hai số chẵn. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 3. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? A. 15 là số nguyên tố. B. a =b+c. C. x 2 +x = 0. D. 2n+1 chia hết cho 3. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 4. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “14 là hợp số” là mệnh đề A. 14 là số nguyên tố. B. 14 chia hết cho 2. C. 14 không phải là hợp số. D. 14 chia hết cho 7. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 5. Mênh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. 20 chia hết cho 5. B. 5 chia hết cho 20. C. 20 là bội số của 5. D. 5 chia hết 20. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................18 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 6. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 5+4< 10. B. 5+4> 10. C. √ 2−1< 0. D. 5+4≥ 10. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 7. Trong các câu sau, câu nào không phải là mệnh đề? A. 5+2 = 8. B. −2≤ 0. C. 4− √ 17> 0. D. 5+x = 2. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu “33 là hợp số” thì “15 chia hết cho 25”. B. Nếu “7 là số nguyên tố” thì “8 là bội số của 3”. C. Nếu “20 là hợp số” thì “24 chia hết cho 6”. D. Nếu “3+9 = 12” thì “4> 7”. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu a và b chia hết cho c thì a+b chia hết cho c. B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. C. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9. D. Nếu một số tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 5. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 10. Trong các mệnh đề tương đương sau đây, mệnh đề nào sai? A. n là số nguyên lẻ khi và khi n 2 là số lẻ. B. n chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của n chia hết cho 3. C. ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi AC =BD. D. ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB =AC và b A = 60 ◦ . ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. −π <−2⇔π 2 < 4. B. π < 4⇔π 2 < 16. C. √ 23< 5⇒ 2 √ 23< 2·5. D. √ 23< 5⇒ (−2) √ 23> (−2)·5. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 12. Xét câu P(n): “n chia hết cho 12”. Với giá trị nào của n thì P(n) là mệnh đề đúng? A. 48. B. 4. C. 3. D. 88. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................1. MỆNH ĐỀ 19 Câu 13. Với giá trị nào của biến số x sau đây thì mệnh đề chứa biến P(x): “x 2 −3x+2 = 0” trở thành một mệnh đề đúng? A. 0. B. 1. C. −1. D. −2. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 14. Mệnh đề chứa biến: “x 3 −3x 2 +2x = 0” đúng với giá trị nào của x? A. x = 0; x = 2. B. x = 0; x = 3. C. x = 0; x = 2; x = 3. D. x = 0; x = 1; x = 2. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 15. Cho mệnh đề P: “∀x∈R,x 2 −16= 0”, Q: “∃n∈Z,n =n 2 ”. Xét tính đúng, sai của hai mệnh đề P,Q. A. P đúng và Q sai. B. P sai và Q đúng. C. P,Q đều đúng. D. P,Q đều sai. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 16. Với số thực x bất kì, mệnh đề nào sau đây đúng? A. ∀x,x 2 ≤ 16⇔x≤±4. B. ∀x,x 2 ≤ 16⇔−4≤x≤ 4. C. ∀x,x 2 ≤ 16⇔x≤−4,x≥ 4. D. ∀x,x 2 ≤ 16⇔−4 5⇒x> √ 5 hoặc x<− √ 5. B. ∀x,x 2 > 5⇒− √ 5 5⇒x>± √ 5. D. ∀x,x 2 > 5⇒x≥ √ 5 hoặc x≤− √ 5. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 18. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. ∀x∈R,x≤x 2 . B. ∀x∈R,|x|< 3⇔x< 3. C. ∀n∈N,n 2 +1 chia hết cho 3. D. ∃a∈Q,a 2 = 2. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 19. Với giá trị nào của x mệnh đề chứa biến P(x): “2x 2 −1< 0” là mệnh đề đúng? A. 0. B. 5. C. 1. D. √ 2. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 20. Cho mệnh đề P(x): “∀x∈R,x 2 −x+7< 0”. Phủ định của mệnh đề P(x) là A. ∃x∈R,x 2 −x+7> 0. B. ∀x∈R,x 2 −x+7≥ 0. C. ∀x / ∈R,x 2 −x+7> 0. D. ∃x∈R,x 2 −x+7≥ 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................20 CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Câu 21. Trong các câu sau, câu nào đúng? A. Phủ định của mệnh đề “∀x∈Q,4x 2 −1 = 0” là mệnh đề “∀x∈Q,4x 2 −1> 0”. B. Phủ định của mệnh đề “∃n∈N,n 2 +1 chia hết cho 4” là mệnh đề “∀n∈N,n 2 +1 không chia hết cho 4”. C. Phủ định của mệnh đề “∀x∈R,(x−1) 2 6=x−1” là mệnh đề “∀x∈R,(x−1) 2 =x−1”. D. Phủ định của mệnh đề “∀n∈N,n 2 >n” là mệnh đề “∃n∈N,n 2 0 với mọi x” là A. Tồn tại x sao cho x 2 +3x+1> 0. B. Tồn tại x sao cho x 2 +3x+1≤ 0. C. Tồn tại x sao cho x 2 +3x+1 = 0. D. Tồn tại x sao cho x 2 +3x+1< 0. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 23. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x): “∃x∈R: x 2 +2x+5 là số nguyên tố” là A. ∀x∈R: x 2 +2x+5 không là số nguyên tố. B. ∃x∈R: x 2 +2x+5 không là số nguyên tố. C. ∀x / ∈R: x 2 +2x+5 không là số nguyên tố. D. ∃x∈R: x 2 +2x+5 là số thực. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 24. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x): “∃x∈R: 5x−3x 2 = 1” là A. ∃x∈R,5x−3x 2 = 1. B. ∀x∈R,5x−3x 2 = 1. C. ∀x∈R,5x−3x 2 6= 1. D. ∃x∈R,5x−3x 2 ≥ 1. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 25. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí? A. ∀x∈N,x 2 chia hết cho 3⇒x chia hết cho 3. B. ∀x∈N,x 2 chia hết cho 6⇒x chia hết cho 3. C. ∀x∈N,x 2 chia hết cho 9⇒x chia hết cho 9. D. ∀x∈Z,x chia hết cho 4 và 6⇒x chia hết cho 12. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Câu 26. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí? A. ∀x∈R,x>−2⇒x 2 > 4. B. ∀x∈R,x> 2⇒x 2 > 4. C. ∀x∈R,x 2 > 4⇒x> 2. D. Nếu a+b chia hết cho 3 thì a,b đều chia hết cho 3. ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................2. TẬP HỢP 21 BÀI2. TẬPHỢP A. TÓMTẮTLÝTHUYẾT Tập hợp (hay còn gọi là 1 tập) là một khái niệm nguyên thuỷ, không định nghĩa. Ta hiểu khái niệm tập hợp qua các ví dụ sau VÍ DỤ 1. X là tập hợp các chữ cái của chữ MARIE CURIE. Y là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 7. Hai tập hợpX và Y trong ví dụ trên được minh hoạ bởi một đường cong khép kín mà ta gọi làBiểu đồ Venn. (Do nhà toán học Jonh Venn người Anh xây dựng năm 1881) A C E M R I U X 2 3 4 0 1 5 6 Y Mỗi tập hợp gồm các phần tử cùng có chung một hay một vài tính chất nào đó. Phần tử a của tập hợp X được kí hiệu a∈X, còn được gọi là a thuộc tập hợp X. Phần tử b không của tập hợp X được kí hiệu b / ∈X, còn được gọi là b không thuộc X. Trong lí thuyết tập hợp, người ta thừa nhận tập hợp không chứa một phần tử nào cả, tập hợp đó được gọi là tập hợp rỗng và kí hiệu là∅. VÍ DỤ 2. Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x 2 +1 = 0 là tập hợp rỗng. B. CÁCDẠNGTOÁNVÀVÍDỤ { DẠNG 2.1. Cách biểu diễn tập hợp Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp. Có thể xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của chúng ở giữa dấu {}. Ví dụ: X ={0;5;10;15} là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 17 và chia hết cho 5. Y ={1;2} là tập hợp các nghiệm của phương trình x 2 −3x+2 = 0. Z ={0;1;2;3;4;...,99} là tập hợp 100 số tự nhiên đầu tiên. Cách 2. Nêu tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp. Không phải mọi tập hợp đều liệt kê rành mạch được các phần tử theo thứ tự nào đó. Chẳng hạn, tập hợp các số tự từ 1 đến 2 là không liệt kê được. (Số thực đứng sau 1 là số nào ? Không biết được). Khi đó, chúng có thể được mô tả bằng các tính chất đặc trưng ở giữa dấu {}, mà nhờ chúng ta có thể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không Ví dụ: A là tập hợp các số thực từ 1 đến 2 được mô tả A ={x∈R| 1≤x≤ 2}. △ ! Chú ý 1. N là tập hợp các số tự nhiên. Ì Q là tập hợp các số hữu tỉ. Ì Z là tập hợp các số nguyên. Ì R là tập hợp các số thực. Ì △ ! Chú ý 2. Tập hợp {∅} là tập hợp không rỗng. VÍ DỤ 3. Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê A ={x∈N| (2x+4)(2x 2 −5x) = 0}. 1 B ={x∈Z| 4