PAGE \* MERGEFORMAT 2
Câu I. (1,5 điểm) Cho biểu thức với
1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm tất cả các giá trị của để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Câu II. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol có phương trình và đường thẳng có phương trình (với là các tham số). Tìm các số hữu tỉ để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độ một điểm là
Câu III. (1,5 điểm)
1. Giải phương trình
2. Giải hệ phương trình
Câu IV. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho và là các số chính phương và là số nguyên tố.
Câu V. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao của tam giác cắt nhau tại
1. Chứng minh là tia phân giác của góc
2. Chứng minh
3. Gọi là giao điểm của tia với đường tròn . Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và tam giác Chứng minh
4. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VI. (1,0 điểm) Cho là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
--- HẾT---
Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi không có chức năng soạn thảo văn bản và không có thẻ nhớ.
Họ và tên thí sinh:.................................................Số báo danh:............................................
Cán bộ coi thi số 1..........................................Cán bộ coi thi số 2.........................................
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2024 - 2025
Môn: TOÁN (Đề chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2024 - 2025
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (ĐỀ DỰ BỊ CHUYÊN)
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
Lưu ý:
- Thí sinh có thể l
PAGE \* MERGEFORMAT 2
Câu I. (1,5 điểm) Cho biểu thức với
1. Rút gọn biểu thức
2. Tìm tất cả các giá trị của để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Câu II. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol có phương trình và đường thẳng có phương trình (với là các tham số). Tìm các số hữu tỉ để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độ một điểm là
Câu III. (1,5 điểm)
1. Giải phương trình
2. Giải hệ phương trình
Câu IV. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho và là các số chính phương và là số nguyên tố.
Câu V. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao của tam giác cắt nhau tại
1. Chứng minh là tia phân giác của góc
2. Chứng minh
3. Gọi là giao điểm của tia với đường tròn . Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và tam giác Chứng minh
4. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VI. (1,0 điểm) Cho là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
--- HẾT---
Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi không có chức năng soạn thảo văn bản và không có thẻ nhớ.
Họ và tên thí sinh:.................................................Số báo danh:............................................
Cán bộ coi thi số 1..........................................Cán bộ coi thi số 2.........................................
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2024 - 2025
Môn: TOÁN (Đề chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2024 - 2025
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (ĐỀ DỰ BỊ CHUYÊN)
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
Lưu ý:
- Thí sinh có thể làm bài theo cách khác so với đáp án nhưng đảm bảo đúng kiến thức, vẫn cho điểm tối đa.
- Không làm tròn điểm.
Nội dungĐiểmCâu I (1,5 điểm) Cho biểu thức với
1.(1,0 điểm) Rút gọn biểu thức 0,25 0,25 0,25 0,252.(0,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của để nhận giá trị nguyên.Theo BĐT Côsi, ta có 0,25Để thì (thỏa mãn). Vậy 0,25Câu II (1,0 điểm)Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol có phương trình và đường thẳng có phương trình (với là các tham số). Tìm các số hữu tỉ để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độ một điểm là .=0,25Phương trình hoành độ giao điểm của và là: (*)
Điều kiện để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt: 0,25(*) có nghiệm nên
Vì nên
Nếu thì (vô lí)0,25Suy ra (thỏa mãn)0,25Câu III (1,5 điểm)1. (0,75 điểm) Giải phương trình Điều kiện: .
Đặt
0,25Phương trình đã cho trở thành:
0,25Với ta được (thỏa mãn phương trình)
Với ta được (vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt và 0,252. (0,75 điểm) Giải hệ phương trình Điều kiện:
Từ :
Từ : 0,25Thế (1) vào (2) ta được:
0,25 (thỏa mãn). Vậy hệ phương trình có nghiệm .0,25Câu III. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho và là các số chính phương và là số nguyên tố.Vì là số nguyên tố và nên
Ta có và là các số chính phương nên ; với
(3)0,25Ta có (4)0,25Vì là số nguyên tố, mà nên từ (4) ta có
Thay vào (3) ta được 0,25 (loại)
thì và (thỏa mãn). Vậy là giá trị cần tìm.0,25Câu IV. (4 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao của tam giác cắt nhau tại 1. (1,0 điểm) Chứng minh là tia phân giác của góc nên là tứ giác nội tiếp 0,25Tương tự, là tứ giác nội tiếp 0,25 là tứ giác nội tiếp 0,25 Suy ra nên là tia phân giác của góc .0,252. (1,0 điểm) Chứng minh .Ta có: 0,250,250,25 0,253. (1,0 điểm) Gọi là giao điểm của tia với đường tròn . Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và tam giác Chứng minh Ta có : (do tứ giác nội tiếp)
(góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn )0,25∽ của đường tròn nên là tiếp tuyến của 0,25Theo trên , mà của đường tròn
của đường tròn nên là tiếp tuyến của 0,25Vì và nên ba điểm thẳng hàng. Suy ra .0,254.(1,0 điểm) Tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Vẽ . Gọi là điểm đối xứng của qua
Vì . Ta luôn có 0,25 vuông tại nên:
(5)0,25Tương tự: và
Suy ra hay
0,25Đẳng thức (5) xảy ra khi thẳng hàng .
Vì vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ nhất khi hay là tam giác đều.0,25 Câu V. (1,0 điểm) Cho là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .0,25, ta luôn có
, đẳng thức xảy ra khi
Suy ra 0,25Ta sẽ chứng minh
Thật vậy,
0,25Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Mặt khác nên (6) đúng, suy ra .
Vậy khi .0,25---HẾT---