Phßng gD&§T hiÖp hßa –b¾c giang d¬ng m¹nh hïng
Trêng THCS §øc Th¾ng
®Ò kh¶o s¸t häc sinh giái lÇn 1 n¨m häc 2011-2012
M«n To¸n líp 8
Thêi gian: 120 phót
Ngµy lµm bµi : 24/11/2011
Câu1.
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
b. Giải phương trình:
c. Cho . Chứng minh rằng:
Câu2. Cho biểu thức:
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của A , Biết x =.
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh:
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
Phßng gD&§T hiÖp hßa –b¾c giang d¬ng m¹nh hïng
Trêng THCS §øc Th¾ng
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8CâuĐáp ánĐiểmCâu 1
(3 điểm)a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)(1 điểm)
b. <=> (*)
Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0
(*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0
(1
Phßng gD&§T hiÖp hßa –b¾c giang d¬ng m¹nh hïng
Trêng THCS §øc Th¾ng
®Ò kh¶o s¸t häc sinh giái lÇn 1 n¨m häc 2011-2012
M«n To¸n líp 8
Thêi gian: 120 phót
Ngµy lµm bµi : 24/11/2011
Câu1.
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
b. Giải phương trình:
c. Cho . Chứng minh rằng:
Câu2. Cho biểu thức:
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của A , Biết x =.
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh:
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
Phßng gD&§T hiÖp hßa –b¾c giang d¬ng m¹nh hïng
Trêng THCS §øc Th¾ng
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8CâuĐáp ánĐiểmCâu 1
(3 điểm)a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)(1 điểm)
b. <=> (*)
Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0
(*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0
(1 điểm)c. Nhân cả 2 vế của:
với a + b + c; rút gọn đpcm (1 điểm)Câu 2
(3 điểm)Biểu thức: a. Rút gọn được kq: (1 điểm)b. hoặc
hoặc (0.5 điểm)c. (0.5 điểm)d. (1 điểm)
Câu 3
(3 điểm)
HV + GT + KL
(0.5 điểm)
a. Chứng minh:
đpcm(1 điểm)b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm(1 điểm)c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
không đổi
lớn nhất (AEMF là hình vuông)
là trung điểm của BD.(0.5 điểm)Câu 4:
(1 điểm)
a. Từ: a + b + c = 1
Dấu bằng xảy ra a = b = c =
(0.5 điểm)b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại)
Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2(0.5điểm)