Đề thi thử môn Toán trường chuyên Đại học Sư phạm - Hà Nội lần 1 có lời giải chi tiết

Một người làm vườn có 12 cây giống gồm 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người đó muốn chọn ra 6 cây giống để trồng. Tính xác suất để 6 cây được chọn, mỗi loại có đúng 2 cây.

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-2x+1$ bằng:

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất $a{{\log }_{3}}{{x}^{3}}+4\sqrt{{{\log }_{3}}{{x}^{8}}}+a+1=0$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có $A\left( 0;0;0 \right),B\left( 2;0;0 \right),C\left( 0;2;0 \right),A'\left( 0;0;2 \right).$ Góc giữa BC’ và A’C bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi  M,N là trung điểm của SA,SB. Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần S.MNCD và MNABCD là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( 0;0;-2 \right),B\left( 4;0;0 \right).$ Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất, đi qua O, A, B có tâm là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho $A\left( -1;0;0 \right),$ $B\left( 0;0;2 \right),$ $C\left( 0;-3;0 \right).$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số

$y=\frac{2x+1}{x+1}$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( 0;1;2 \right),B\left( 2;-2;0 \right),$ $C\left( -2;0;1 \right).$ Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC) có phương trình là:

Tập nghiệm của bất phương trình

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, $AB=AC=a,$ \[\text{AA }\!\!'\!\!\text{ =}\sqrt{2}a.\] Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện AB’B’C’ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz  cho $A\left( -3;0;0 \right),$ $B\left( 0;0;3 \right),$ $C\left( 0;-3;0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0.$ Tìm trên (P) điểm M sao cho $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất:

Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh $a=4\sqrt{2}cm,$ cạnh bên SC vuông góc với đáy và $SC=2cm.$ Gọi M,N là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SN và CM là:

Cho tứ diện ABCD có cạnh DA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và $AB=3cm,$ $AC=4cm,$ $AD=\sqrt{6}cm,$ $BC=5cm.$ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( BCD \right)$ bằng:

Tìm số đo ba góc của một tam giác cân, biết rằng số đo của một góc là nghiệm của phương trình $cos2x=\frac{-1}{2}$

Cho hình nón có đỉnh  S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính $R=3cm,$ góc ở đỉnh của hình nón là $\varphi ={{120}^{0.}}.$ Cắt hình nón bởi một mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều  SAB, trong đó A,B thuộc đường tròn đáy. Diện tích của tam giác SAB bằng:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $AB=2a,\widehat{BAC}={{60}^{0}}$ và $Sa=3\sqrt{2}.$ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ bằng:

Tập nghiệm của bất phương trình ${{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\sqrt{x+2}}}>{{3}^{-x}}$ là:

Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số $\left( {{a}_{n}} \right),n\ge 1$ là ${{S}_{n}}=2{{n}^{2}}+3n.$ Khi đó

Số nghiệm thuộc khoảng

của phương trình $co{{s}^{2}}x+\frac{5}{2}\cos x+1=0$ là:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+1$ tại các điểm có tung độ bằng 5 là:

Cho $f\left( x \right)=x.{{e}^{-3x}},$ tập nghiệm của bất phương trình $f'\left( x \right)>0$ là:

Tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{\frac{1}{5}}}\frac{4x+6}{x}\ge 0$ là:

Tìm hệ số của ${{x}^{5}}$ trong khai triển nhị thức Newton ${{\left( x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{n}},$ biết tổng các hệ số của khai triển bằng 128.

Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{5+x}-1}{{{x}^{2}}+4x}$.

Cho hai phương trình $cos3x-1=0\,\,\left( 1 \right);\,\,\,\cos 2x=\frac{-1}{2}\,\,\left( 2 \right).$ Tập các nghiệm của phương trình (1) đồng thời là nghiệm của phương trình (2) là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân cạnh bằng B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $AB=BC=a$ và $SA=a.$ Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:

Cho $f\left( x \right)={{2.3}^{{{\log }_{81}}x}}+3.$ Tính $f'\left( 1 \right)$ .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số $y={{x}^{3}}+3\sqrt{3}\text{ax}$ có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.

Cho tứ diện ABCD, hỏi có bao nhiêu véctơ khác véctơ $\overrightarrow{0}$ mà mỗi véctơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD

Gọi A,B,C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+4.$ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình $\frac{a}{{{3}^{x}}+{{3}^{-x}}}={{3}^{x}}-{{3}^{-x}}$ có nghiệm duy nhất.

Điểm thuộc đường thẳng $d:x-y-1=0$ cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ là:

Cho biểu thức $P={{\left( \frac{x+1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{x+1}}-\frac{x-1}{x-\sqrt{x}} \right)}^{10}}$ với $x>0,x\ne 1.$ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của P .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có $A\left( 0;0;0 \right),$ $B\left( 1;0;0 \right),$ $D\left( 0;1;0 \right)$ và $A'\left( 0;0;1 \right).$ Khoảng cách giữa AC và B’D là:

Số nghiệm thuộc khoảng $\left[ \frac{-4\pi }{3};\frac{\pi }{2} \right)$ của phương trình $cos\left( \pi +x \right)+\sqrt{3}s\text{inx}=\sin \left( 3x-\frac{3\pi }{2} \right)$ là:

Cho $f\left( x \right)=\frac{1}{2}{{.5}^{2x+1}};g\left( x \right)={{5}^{x}}+4x.\ln 5.$ Tập nghiệm của bất phương trình $f'\left( x \right)>g'\left( x \right)$ là:

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại a, $AB=AC=a,$ \[\text{AA}'=2a.\] Thể tích khối tứ diện $A'BB'C$ là:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)=\operatorname{s}\text{inx}+cos2x$ trên

là:

Tích các nghiệm của phương trình ${{\log }_{\frac{1}{\sqrt{5}}}}\left( {{6}^{x+1}}-{{36}^{x}} \right)=-2$ bằng:

Một hộp đựng 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu được lấy có đúng 2 quả cầu đỏ.

Tập nghiệm của bất phương trình $\left( x+2 \right)\left[ \sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+3}+1 \right]+x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+1 \right)>0$ là:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Cho hình chóp tam giác đều S và có đường tròn

đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho là:

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y=-2x+m$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ là:

Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng nhau và bằng a, $\widehat{BAD}=\widehat{BAA'}=\widehat{BAD}={{60}^{0}}.$ Khoảng cánh giữa hai đường thẳng AC’ và BD bằng:

Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$  đến trục tung bằng:

Phương trình $cos3x.\tan 5x=\sin 7x$ nhận những giá trị sau của x làm nghiệm.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $y=2{{x}^{3}}+9a{{x}^{2}}+12{{a}^{2}}x+1$ để hàm số $y=2{{x}^{3}}+9a{{x}^{2}}+12{{a}^{2}}x+1$ có cực đại, cực tiểu và hoành độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số bằng 1.