Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN MŨ VÀ LOGARIT HAY VÀ ĐẶC SẮC TOÁN HỌC PHỔ THÔNG TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Hư ớng t ới k ỳ thi THPT QUỐC GIA 2019 Từ cơ bản tới nâng cao Dành cho học sinh ôn 8+ NGUYỄN XUÂN NHẬT | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Lời nói đầu Nhân dịp trung thu 2019, tôi – Nguyễn Xuân Nhật xin gửi món quà nho nhỏ đến toàn thể các em học sinh lớp 12 (2k2) giúp các em luyện tập chuyên đề: ”Mũ và Logarit” qua các bài toán hay và khó được đề cập trong tài liệu này. Tài liệu bao gồm 4 chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT CỰC TRỊ MŨ VÀ LOGARIT ĐỒ THỊ MŨ VÀ LOGARIT ỨNG DỤNG MŨ VÀ LOGARIT VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ Trong quá trình biên soạn, xin gửi lời cảm ơn đến Minh Tuấn hỗ trợ tôi trong quá trình tự thiết kế bìa. Và chân thành cảm ơn đến team Phản biện: Bạn Lý Thanh Tiến, em Trịnh Thị Giang và em Trần Xuân Hương đã giúp tôi phản biện chuyên đề này. Do hoàn thành chuyên đề trong thời gian ngắn, dù đã cố gắng cẩn thận nhưng vẫn có thể phát sinh nhiều sai sót. Mọi ý kiến đóng góp của bạn đọc vui lòng gửi về Facebook: https://www.facebook.com/thenghi.phuong.9 Email: phuongthenghi@gmail.com Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1. ĐỀ BÀI. ✪ Câu 1. Gọi S là tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình x x 3 2 4 7 2 m 6m có nghiệm x 1;3 . Chọn đáp án đúng. A. S 35. B. S 20. C. S 25. D. S 21. ✪ Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m m 10 để phương trình sau có nghiệm: x1 4 2 log x 2m m A. 9. B. 10. C. 5. D. 4. ✪ Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình sau có nghiệm? m 3m 2 2 e e 2 x 1 x 1 x 1 x . A. 2 . B. 0 . C. Vô số. D. 1 . ✪ Câu 4. Cho hàm số 2 x x f x ln x 1 x e e . Hỏi phương trình x f 3 f 2x 1 0 có bao nhiêu nghiệm thực A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. ✪ Câu 5. Có bao nhiêu số nguyên dương a để phương trình sau có nghiệm duy nhất? 22 2 2 2 2 27 9 11 11 9 x 2 x 3a 12a 15 log 2x x a 3a 1 log 1 2 log 2x x log 2 2 2 A. 2. B. 0. C. Vô số. D. 1. ✪ Câu 6. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho 10m và phương trình 22 mx 5 mx 5 2 log 2x 5x 4 log x 2x 6 có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S. A. 15. B. 14. C. 13. D. 16. ✪ Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau có nghiệm thực? ln m 2 sin x ln m 3sin x sin x | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG A. 5. B. 4. C. 3. D. 6. ✪ Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để tồn tại các số thực thỏa mãn: 3x 5y 10 x 3y 9 22 55 e e 1 2x 2y log (3x 2y 4) (m 6)log (x 5) m 9 0 A. 3. B. 5. C. 4. D. 6. ✪ Câu 9. Cho phương trình 2 y 2 2 2 2 log 2x 4x 4 2 y x 2x 1 . Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương x; y và 0 x 100 thỏa mãn phương trình đã cho? A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 . ✪ Câu 10. Cho phương trình x x 2 x 3 3 27 3x.9 3x 1 3 m 1 x m 1 x , m là tham số. Biết rằng giá trị m nhỏ nhất để phương trình đã cho có nghiệm trên 0; là a elnb , với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 17a 3b bằng A. 26 . B. 54 . C. 48 . D. 18 . ✪ Câu 11. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 2 1 2x 4x 6 log x 2 x x m 2 x m 1 Có đúng ba nghiệm phân biệt là A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. ✪ Câu 12. Cho các hàm số 0 1 2 f (x),f (x),f (x),...thỏa mãn: 0 f (x) ln x ln x 2019 ln x 2019 , n 1 n f (x) f x 1, n . Số nghiệm của phương trình 2020 f x 0 là: A. 6058. B. 6057. C. 6059. D. 6063. ✪ Câu 13. Tìm các giá trị m để phương trình sin x 5 cosx m 5 sin x 5 cosx 10 3 log m 5 có nghiệm. A. 6 m 6 B. 5 m 5 C. 5 6 m 5 6 D. 6 m 5 ✪ Câu 14. Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất: 2 mx 1 m 2 1 mx x 2 2 2 1 2x m m 1 x 2 .2 x mx 1 .2 x m x. A. 0 B. 2 C. 1 2 D. 1 2 ✪ Câu 15. Cho phương trình 2 m ln x 1 x 2 m ln x 1 x 2 0 1 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 12 0 x 2 4 x là khoảng a; . Khi đó a thuộc khoảng m , xyTuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC A. 3,8 ;3,9 . B. 3,6 ;3,7 . C. 3,7 ;3,8 . D. 3,5 ;3,6 . ✪ Câu 16. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt là 3 x 3 m 3x 3 2 x 3 x 3 x 9x 24x m .3 3 1 A. 45. B. 38. C. 34. D. 27. ✪ Câu 17. Cho phương trình 2 xm x1 2 22 2 .log x 2x 3 4 log 2 x m 2 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn 2019 ;2019 để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. A. 4036. B. 4034. C. 4038. D. 4040. ✪ Câu 18. Có bao nhiêu số nguyên a 2019;2019 để phương trình x 11 xa ln x 5 3 1 có hai nghiệm phân biệt? A. 0. B. 2022. C. 2014. D. 2015. ✪ Câu 19. Cho hàm số 1 1 1 1 y x 1 x 2 x 2019 x 2020 và x y e m 1 ( m tham số) có đồ thị lần lượt là 1 C và 2 C . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2020;2020 để 1 C cắt 2 C tại đúng 2020 nghiệm phân biệt? A. 2020. B. 2019. C. 2018. D. 2022. ✪ Câu 20. Giả sử tồn tại số thực a sao cho phương trình x -x e e 2cosax 4 có đúng 2019 nghiệm thực phân biệt. Số nghiệm phân biệt của phương trình xx e e 2cosax là: A. 2019. B. 2018. C. 4037. D. 4038. ✪ Câu 21. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2019;2 để phương trình 35 x 1 log 4x 1 log 2x 1 2x m có đúng hai nghiệm thực là A. 2022. B. 2021. C. 2. D. 1. ✪ Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm 2 2 2 2 3x 3x m 1 log x 5x m 2 2x x 1 A. Vô số. B. 4. C. 6. D. 5. | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG ✪ Câu 23. Cho hàm số f(x) . Hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau: x 1 1 4 f ' x 2 3 1 Điều kiện của m để bất phương trình x f(x 2) xe m nghiệm đúng với mọi giá trị của x 1;1 . A. 1 m f(1) e . B. m f(3) 2e . C. 1 m f( 1) e . D. m f(3) 2e . ✪ Câu 24. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10 ;10 để bất phương trình 2 2 3 2 2x x m 1 log 2x 4x 5 2m x x 1 có nghiệm. Số phần tử của tập hợp S bằng A. 20. B. 10. C. 15. D. 5. ✪ Câu 25. Cho bất phương trình xx 9 m 1 .3 m 0 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 1 có nghiệm đúng x1 A. m0 . B. 3 m 2 . C. m2 . D. 3 m. 2 ✪ Câu 26. Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số x; y thỏa mãn 22 2 x y 2 log 4x 4y 6 m 1 và 22 x y 2x 4y 1 0 . A. S 1;1 . B. S 5; 1;1;5 . C. S 5;5 . D. S 7; 5; 1;1;5;7 . ✪ Câu 27. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình 2 2 3ln x 2 ln x 12 2 ln x m 1 ln x 4 nghiệm đúng với mọi x0 . A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 7 . ✪ Câu 28. Gọi là số thực lớn nhất để bất phương trình nghiệm đúng với mọi Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. a 2;3 . B. a 8; . C. a 6;7 . D. a 6; 5 . a 22 2 ln 1 0 x x a x x . x Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC ✪ Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng 2020; 2020 của tham số để bất phương trình 2 x 3log 2 log m x x 1 x 1 x có nghiệm thực ? A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 2020. ✪ Câu 30. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 4 2 m ln x 16 3m ln x 4 14 ln x 2 0 đúng với mọi x 0; . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng: A. 3 8 . B. 2 . C. 7 8 . D. 1 2 . m| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 2. HƯỚNG DẪN GIẢI. ✪ Câu 1 Gọi S là tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình x x 3 2 4 7 2 m 6m có nghiệm x 1;3 . Chọn đáp án đúng. A. S 35. B. S 20. C. S 25. D. S 21. L ời gi ải Ta có: x x 3 2 x x 2 4 7 2 m 6m 4 8.2 m 6m 7(1) . Đặt x 2t , với x 1;3 thì t 2;8 . Phương trình đã cho tr ở thành 22 t 8t m 6m 7(2) . Xét hàm số 2 f(t) t 8t,t 2;8 có ' f (t) 2t 8; ' f (t) 0 t 4 2;8 . Lại có f(2) 12; f(4) 16; f(8) 0. Mà hàm f(t) xác định và liên tục trên t 2;8 nên 16 f(t) 0 . Do đó phương trình (2) có nghiệm trên t 2;8 2 16 m 6m 7 0 7 m 1 . Vậy m 6; 5; 4; 3; 2; 1;0 . Do đó S 21 . Chọn ý D. ✪ Câu 2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m m 10 để phương trình sau có nghiệm: x1 4 2 log x 2m m A. 9. B. 10. C. 5. D. 4. L ời gi ải ĐKXĐ: x 2m 0. Ta có x1 4 2 log x 2m m x 2 2 log x 2m 2m Đặt 2 t log x 2m . Từ đó suy ra x t 2 t 2m 2 x 2m xt 2 x 2 t 1 Do hàm số u f u 2 u đồng biến trên , nên ta có 1 t x . Khi đó: xx 2 x 2m 2m 2 x . Xét hàm số x g x 2 x gx x 2 ln 2 1 0 2 x log ln 2 . Bảng biến thiên: x 2 log ln 2 Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC g ' x 0 gx 2 g log ln 2 Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 g log ln 2 2m g log ln 2 m 2 0,457 (các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì x x 2m 2 0 ) Do m nguyên và m 10 , nên m 1,2,3, 4,5,6,7,8,9 . Chọn ý A. ✪ Câu 3 Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình sau có nghiệm? m 3m 2 2 e e 2 x 1 x 1 x 1 x . A. 2 . B. 0 . C. Vô số. D. 1 . L ời gi ải Điều kiện xác định: x 1;1 . Xét phương trình: m 3m 2 2 e e 2 x 1 x 1 x 1 x 1 . Đặt 2 t x 1 x . Khi đó 2 2 2 2 t1 t 1 2x. 1 x x. 1 x 2 . Khi đó, phương trình 1 trở thành: 2 m 3m t1 e e 2t 1 2 m 3m 2 e e t t 1 3 m m 3 e e t t 2 . Xét hàm số: 3 g u u u trên có: 2 g u 3u 1 0, u . Suy ra hàm số gu đồng biến trên . Do đó: mm 2 g e g t e t . Khi đó ta có m2 1 e x 1 x 3 Xét hàm số: 2 f x x 1 x x 1;1 . Có: 2 22 x 1 x x f x 1 x 1;1 1 x 1 x . 2 22 x0 2 f x 0 1 x x x 2 1 x x . Phương trình 1 có nghiệm x 1;1 phương trình 3 có nghiệm x 1;1 | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG m 1 e 2 m ln 2 . Do m nên m0 . Chọn ý D. ✪ Câu 4 Cho hàm số 2 x x f x ln x 1 x e e . Hỏi phương trình x f 3 f 2x 1 0 có bao nhiêu nghiệm thực A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. L ời gi ải Ta có: 2 x x x x 2 2 x x 1 f x ln x 1 x e e ln e e x 1 x ln x 1 x e e f x Phương trình đã cho tương đương với: xx f 3 f 2x 1 f 3 f 1 2x * Xét hàm số fx có 2 x x x x 22 x 1 1 x1 f ' x e e e e 0, x . x 1 x x 1 Suy ra hàm số fx đồng biến trên . xx * 3 1 2x 3 2x 1 0 * * Xét hàm số x g x 3 2x 1 có x g ' x 3 .ln 3 2 0, x . Bảng biến thiên: x g ' x gx Suy ra phương trình ** có duy nhất một nghiệm x 0. Chọn ý C. ✪ Câu 5 Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Có bao nhiêu số nguyên dương a để phương trình sau có nghiệm duy nhất? 22 2 2 2 2 27 9 11 11 9 x 2 x 3a 12a 15 log 2x x a 3a 1 log 1 2 log 2x x log 2 2 2 A. 2. B. 0. C. Vô số. D. 1. L ời gi ải Điều kiện 0 x 2. Biến đổi phương trình ban đầu tương đương 22 2 2 2 2 3 11 3 11 2 x 2 x a 4a 5 log 2x x 9a 6a 2 log log 2x x log 22 2 2 2 2 3 11 2x a 4a 4 log 2x x 9a 6a 1 log 0 2 2 2 2 22 3 2 3 11 11 2 log 2x x 2 x 3a 1 a 2 log 2x x 3a 1 log 0 * 2 2 a 2 log 2x Mà vế trái của * luôn dương với mọi a nguyên dương. Vì 0 x 2 nên 2 11 22 22 2 x 2 1 log 0 2 x 2 x Do đó từ * suy ra 2 3 log 2x x 0 22 2x x 1 x 2x 1 0 hông tồn tại x . ậy h ông có giá trị của tham số a thỏa mãn yêu cầu đề bài . Chọn ý B. ✪ Câu 6 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho 10m và phương trình 22 mx 5 mx 5 2 log 2x 5x 4 log x 2x 6 có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S. A. 15. B. 14. C. 13. D. 16. L ời gi ải Ta có: 2 2x 5x 4 0 với mọi x nên phương trình ban đầu tương đương với 2 22 mx 5 0 mx 5 mx 5 1 mx 6 2x 5x 4 0 x2 2x 5x 4 x 2x 6 x5 | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Phương trình có nghiệm duy nhất tương đương với ta nhận nghiệm x2 và loại x5 hoặc nhận nghiệm x5 và loại x2. Trường hợp 1: Nhận nghiệm x2 và loại x5 . Điều này tương đương với 5 m 2m 5 2 2m 6 m 3 5m 5 m 1 5m 6 6 m 5 (vô lí). Trường hợp 2: Nhận nghiệm x5 và loại x2 . Điều này tương đương với m3 m1 5m 5 5 6 1m 5m 6 m 2 5 6 2m 5 5 m m 5 2m 6 2 m3 . Suy ra: 10m 30 10 10m 25 m 12 . Vì 10m nên 10m 11;13;14...;25 30 . Trong tập hợp này có 15 phần tử nên tập hợp S cũng có 15 phần tử. Chú ý: 11 13 14 25 30 m ; ; ...; 10 10 10 10 10 . Chọn ý A. ✪ Câu 7 Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau có nghiệm thực? ln m 2 sin x ln m 3sin x sin x A. 5. B. 4. C. 3. D. 6. L ời gi ải Điều kiện: m 2 sin x ln m 3sin x 0 m 3sin x 0 Phương trình đã cho tương đương: sin x m 2 sin x ln m 3sin x e sin x m 3sin x ln m 3sin x e sin x Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC ln m 3sin x sin x ln m 3 x e sin x e sin , 1 Xét hàm số t f t e t , t . Ta có t f t e 1 0 , t . Nên hàm số ft đồng biến trên . Vậy ln m 3sin x sin x 1 f f ln m 3sin x sin x . Đặt a sinx , a 1;1 . Phương trình trở thành: ln m 3a a a m e 3a . Xét a g a e 3a , a 1;1 , a g a e 3 0 , a 1;1 . Vậy để phương trình có nghiệm thực thì g 1 m g 1 1 e 3 m 3 e . Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m là: 0 ; 1 ; 2 ; 3 . Chọn ý B. ✪ Câu 8 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để tồn tại các số thực thỏa mãn: 3x 5y 10 x 3y 9 22 55 e e 1 2x 2y log (3x 2y 4) (m 6)log (x 5) m 9 0 A. 3. B. 5. C. 4. D. 6. L ời gi ải Ta có: 3x 5y 10 x 3y 9 3x 5y 10 x 3y 9 e e 1 2x 2y e e (x 3y 9) (3x 5y 10) 3x 5y 10 x 3y 9 e (3x 5y 10) e (x 3y 9) 1 Do hàm số t f t e t đồng biến trên ; nên (1) 3x 5y 10 x 3y 9 2x 2y 1 Khi đó phương trình 22 55 log (3x 2y 4) (m 6)log (x 5) m 9 0 22 55 log (x 5) (m 6)log (x 5) m 9 0, đặt 5 t log x 5 , t . Phương trình đã cho trở thành 22 t m 6 t m 9 0 2 có nghiệm 2 2 2 (m 6) 4 m 9 3m 12m 0 0 m 4 . Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn là 4 giá trị . Chọn ý C. m , xy 2| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG ✪ Câu 9 Cho phương trình 2 y 2 2 2 2 log 2x 4x 4 2 y x 2x 1 . Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương x; y và 0 x 100 thỏa mãn phương trình đã cho? A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 . L ời gi ải Điều kiện: 2 2x 4x 4 0 (*) Ta có 2 y 2 2 2 2 log 2x 4x 4 2 y x 2x 1 2 y 2 2 2 2 log 2 x 2x 2 x 2x 1 2 y 2 y 2 2 2 22 log x 2x 2 log 2 x 2x 1 2 y 2 y 2 2 2 2 log x 2x 2 x 2x 2 2 y (1). Xét hàm t f t 2 t có t f t 2 .ln 2 1 0 t . Suy ra hàm số đồng biến trên . (1) 22 2 f log x 2x 2 f y 22 2 log x 2x 2 y 2 y 2 x 2x 2 2 2 2 y x 1 1 2 . Do 0 x 100 2 2 y 2 1 x 1 1 2 99 1 22 2 0 y log 99 1 ; do y nguyên dương nên ta suy ra 1 y 3 . y1 2 x 2x 2 2 2 x 2x 0 x2 (Thỏa mãn Đk (*) và x nguyên dương). y2 2 x 2x 2 16 2 x 2x 14 0 (Không có giá trị nguyên nào thỏa mãn). y3 2 x 2x 2 512 2 x 2x 510 0 (Không có giá trị nguyên nào thỏa mãn). Vậy có một cặp nguyên dương x; y 2;1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn ý C. ✪ Câu 10 Cho phương trình x x 2 x 3 3 27 3x.9 3x 1 3 m 1 x m 1 x , m là tham số. Biết rằng giá trị m nhỏ nhất để phương trình đã cho có nghiệm trên 0; là a elnb , với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 17a 3b bằng Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC A. 26 . B. 54 . C. 48 . D. 18 . L ời gi ải Phương trình đã cho tương đương 23 3 3 2 x x x x x 3x 3 3x. 3 3 x 3 mx mx 3 3 xx x 3 x 3 mx mx (*) Xét hàm số 3 f t t t có 2 f t 3t 1 0, t f t là hàm đ ồng biến trên . Do đó t ừ * suy ra x x 3 mx . Vì x0 suy ra x 3 1m x . Xét hàm số x 3 f(x) 1 x trên 0; . Ta có xx x 3 2 3 ln 3 x 3 1 f x 0 3 xln 3 1 0 x log e x ln 3 . Dấu của fx cũng là d ấu của nhị thức bậc nhất xln 3 1 , do đó ta có b ảng biến thiên: x 0 3 log e f ' x 0 fx 1 e.ln3 Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của m để phương trình có nghi ệm là m 1 eln 3 . Suy ra a 1, b 3 17a 3b 17 9 26 . Chọn ý A. ✪ Câu 11 Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 2 1 2x 4x 6 log x 2 x x m 2 x m 1 Có đúng ba nghiệm phân biệt là A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. L ời gi ải Điều kiện: 2 2x 4x 6 0x x m 1 . Phương trình: 2 2 2 1 2x 4x 6 log x 2 x x m 2 x m 1 * | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 2 2 2 2x 4x 6 log 2x 4 x x m x m 1 22 22 log 2x 4x 6 log x m 1 2x 4x 4 x m 22 22 log 2x 4x 6 2x 4x 6 log x m 1 2 4 x m 4 22 22 log 2x 4x 6 2x 4x 6 log 4 x m 4 4 x m 4 1 Xét hàm 2 f t log t t trên khoảng 0; . có 1 f ' t 1 0 , t 0 t ln 2 suy ra ft đồng biến trên khoảng 0; . Khi đó 1 2 f 2x 4x 6 f 4 x m 4 2 2x 4x 6 4 x m 4 2 2 x m x 2x 1 2 2 2x 2m x 2x 1 2x 2m x 2x 1 ( do 22 x 2x 1 (x 1) 0, x ) 2 2 2m x 4x 1 2m x 1 2 Vẽ đồ thị hai hàm số 2 g x x 4x 1 và 2 h x x 1 trên cùng hệ trục tọa độ Oxy (bạn đọc tự vẽ hình) (Chú ý: Hai đồ thị hàm số y g(x) và y h(x) tiếp xúc với nhau tại điểm A(1;2)) Để phương trình * có đúng ba nghiệm phân biệt thì 2 phải có đúng ba nghiệm phân biệt đường thẳng y 2m và hai đồ thị trên có đúng ba điểm chung phân biệt. 1 m 2m 1 2 2m 2 m 1 2m 3 3 m 2 . Vậy tổng tất cả các giá trị của m bằng 3. Chọn ý B. ✪ Câu 12 Cho các hàm số 0 1 2 f (x),f (x),f (x),...thỏa mãn: 0 f (x) ln x ln x 2019 ln x 2019 , n 1 n f (x) f x 1, n . Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Số nghiệm của phương trình 2020 f x 0 là: A. 6058. B. 6057. C. 6059. D. 6063. L ời gi ải Ta có: 2020 f x 0 2019 f x 1 2018 2018 f x 0 f x 2 2017 2017 f x 1 f x 3 0 0 0 f x 0 f x 2 . ... f x 2020 Xét hàm số 2019 2019 2019 0 2019 ln x 4038;0 x e y f x ln x;e x e ln x 4038;x e , ta có: 2019 2019 2019 2019 1 ;0 x e x 1 y' ;e x e . x 1 ; x e x Ta lập được bảng biến thiên của hàm số 0 y f x : x 0 2019 e 2019 e y' y 2019 2019 Vậy số nghiệm của phương trình là: 1009.2.3 2 3 6059. . Chọn ý C. ✪ Câu 13 Tìm các giá trị m để phương trình sin x 5 cosx m 5 sin x 5 cosx 10 3 log m 5 có nghiệm. A. 6 m 6 B. 5 m 5 C. 5 6 m 5 6 D. 6 m 5 L ời gi ải sin x 5 cosx 10 sin x 5 cosx m 5 m5 sin x 5 cosx 10 ln m 5 3 3 log m 5 3 ln sin x 5 cos x 10 m5 sin x 5 cosx 10 3 .ln sin x 5 cos x 10 3 .ln m 5 Xét hàm số t f t ln t .3 , t 5 có tt 1 f t 3 ln t 3 ln 3 0 , t 5 t Vậy hàm số ft đồng biến . | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG f sin x 5 cos x 10 f m 5 sin x 5 cos x 10 m 5 sin x 5 cos x 5 m Mà ta có 6 sin x 5 cos x 6 Nên để phương trình có nghiệm ta phải có 5 6 m 5 6 5 6 m 5 6 . 5 6 m 6 5 Chọn ý C. ✪ Câu 14 Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất: 2 mx 1 m 2 1 mx x 2 2 2 1 2x m m 1 x 2 .2 x mx 1 .2 x m x. A. 0 B. 2 C. 1 2 D. 1 2 L ời gi ải 2 2 2 2 2 mx 1 m 2 1 mx x 2 2 2 x mx 1 x m x 1 x mx 1 2 2 2 2 2 2 1 2x m m 1 x 2 .2 x mx 1 .2 x m x x mx 1 x m x 1 .2 x mx 1 .2 x m x 1 . Đặt 2 2 2 a x mx 1 , b x m x 1 thì phương trình trên trở thành a b a b a b a a b .2 a.2 b a b a.2 b.2 a 2 1 b 2 1 0 (*). Nếu a0 hoặc b0 thì phương trình (*) thỏa mãn. Nếu a0 và b0 thì phương trình (*) tương đương ba 2 1 2 1 0 ba (**). Ta để ý rằng Với a0 thì a 21, tức là a 2 1 0 nên a 21 0 a . Với a0 thì a 21 , tức là a 2 1 0 nên a 21 0 a . Suy ra a 21 0, a 0 a . Hoàn toàn tương tự: b 21 0, b 0 b . Nên ba 2 1 2 1 0, a 0, b 0 ba . Suy ra phương trình (**) vô nghiệm. Do đó: (*) a0 b0 . Tức là phương trình đã cho tương đương 2 22 x mx 1 0 x m x 1 0 . Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Hai phương trình 2 x mx 1 0 và 22 x m x 1 0 có ít nhất 1 nghiệm trùng nhau khi m0 hoặc m1. Nếu m0 thì hai phương trình đều là 2 x 1 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó là 1 T0 . Nếu m1 thì hai phương trình đều là 2 x x 1 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó là 2 T1. Khi m0 và m1 thì hai phương trình 2 x mx 1 0 và 22 x m x 1 0 không có nghiệm nào trùng nhau. Phương trình bậc hai 2 x mx 1 0 có a.c 0 nên có hai nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm đó là 12 x x m . Phương trình bậc hai 22 x m x 1 0 có a.c 0 nên có hai nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm đó là 2 34 x x m . Suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt và tổng của chúng là 2 2 3 1 2 3 4 1 1 1 T x x x x m m m 2 4 4 . 3 11 Tm 42 , nên 3 1 min T 4 . So sánh 1 2 3 T , T , min T thì được giá trị nhỏ nhất của tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 1 4 và đạt tại 1 m 2 . Chọn ý C. ✪ Câu 15 Cho phương trình 2 m ln x 1 x 2 m ln x 1 x 2 0 1 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 12 0 x 2 4 x là khoảng a; . Khi đó a thuộc khoảng A. 3,8 ;3,9 . B. 3,6 ;3,7 . C. 3,7 ;3,8 . D. 3,5 ;3,6 . L ời gi ải Điều iện: x 1. Vì x0 không thỏa mãn phương trình nên ta có x2 m , 2 m ln x 1 x 2 ln(x 1) 1 m ln x 1 x 2 ln x 1 1 0 ln x 1 1 1 x1 e . | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Do nghiệm 1 x 1 0 e nên phương trình 1 có hai nghiệm thoả mãn 12 0 x 2 4 x khi và chỉ hi phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt sao cho 12 0 x 2 4 x . Xét hàm số x2 fx ln x 1 trên khoảng 0 ; + ta có 2 x2 ln x 1 x1 fx ln x 1 . x2 f x 0 ln x 1 0 x1 , 3 . Xét hàm số x2 h x ln x 1 x1 có 2 11 h x 0 x1 x1 , x0 nên hx đồng biến trên 0; do đó phương trình f x 0 có không quá một nghiệm. Mà f 2 .f 4 0 và fx là hàm số liên tục trên 2 ; 4 suy ra phương trình 3 có duy nhất một nghiệm 0 x 2 ; 4 . Từ đó ta có bảng biến thiên: x 0 2 0 x 4 f ' x 0 fx 4 ln 3 6 ln 5 Từ bảng biến thiên ta có phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 12 0 x 2 4 x khi và chỉ khi 66 m m ; ln 5 ln 5 . Vậy 6 a 3,7 ;3,8 ln 5 . Chọn ý C. ✪ Câu 16 Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt là 3 x 3 m 3x 3 2 x 3 x 3 x 9x 24x m .3 3 1 A. 45. B. 38. C. 34. D. 27. L ời gi ải Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Phương trình tương đương với 33 3 m 3x 3 2 3 x m 3x 3 x 3 x 9x 24x m 27 3 3 m 3x 3 3 x Xét hàm đặc trưng: t 3 t 2 f t 3 t f t 3 ln 3 3t 0 t . 3 33 m 3x 3 x 3 3 m 3x 3 3 x m 3x 3 x m 3 x 3x 32 m x 9x 24x 27 . Đặt 32 g x x 9x 24x 27 2 x2 g x 3x 18x 24 0 x4 . Ta có bảng biến thiên: x 2 4 g ' x 0 0 gx 7 11 Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì 7 m 11 m 8;9;10 . Vậy tổng các giá trị m bằng 27 . Chọn ý D. ✪ Câu 17 Cho phương trình 2 xm x1 2 22 2 .log x 2x 3 4 log 2 x m 2 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn 2019 ; 2019 để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. A. 4036. B. 4034. C. 4038. D. 4040. L ời gi ải Điều kiện: x . 2 xm x1 2 22 2 .log x 2x 3 4 log 2 x m 2 2 (x 1) 2 2 | x m | 22 2 log (x 1) 2 2 log (2|x m| 2) 1 Xét hàm số t 2 y 2 .log t 2 với t0 . Hàm số t 2 y 2 .log t 2 xác định và liên tục trên 0; . Ta có t t 2 2 y 2 .log t 2 .ln 2 0, t 0 t 2 ln 2 . Vậy hàm số t 2 y 2 .log t 2 đồng biến trên 0; . | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Từ 2 22 2 x 1 2 x m 1 f x 1 f 2 x m x 1 2 x m x 1 2 x m 2 2 2m x 4x 1 1 2m x 1 2 * . Xét phương trình 2 2m x 4x 1 . Ta có bảng biến thiên của hàm số 2 g x x 4x 1 x 2 g ' x 0 gx 3 Phương trình 2 2m x 4x 1 có 2 nghiệm phân biệt khi 3 2m 3 m 2 . Phương trình 2 2m x 4x 1 có 1 nghiệm khi 3 2m 3 m 2 . Phương trình 2 2m x 4x 1 vô nghiệm khi 3 2m 3 m 2 . Xét phương trình 2 2m x 1. Ta có bảng biến thiên của hàm số 2 h x x 1 x 0 g ' x 0 gx 1 Phương trình 2 2m x 1 có 2 nghiệm phân biệt khi 1 2m 1 m 2 . Phương trình 2 2m x 1 có 1 nghiệm khi 1 2m 1 m 2 . Phương trình 2 2m x 1 vô nghiệm khi 1 2m 1 m 2 . Khi 3 m 2 : phương trình 2 2m x 4x 1 có nghiệm x2 , phương trình 2 2m x 1 có 2 nghiệm phân biệt x2 . Vậy * có 3 nghiệm phân biệt, suy ra loại 3 m 2 . Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Khi 1 m 2 : phương trình 2 2m x 4x 1 có 2 nghiệm phân biệt x 2 2 , phương trình 2 2m x 1 có nghiệm x0 . Vậy * có 3 nghiệm phân biệt, suy ra loại 3 m 2 . Xét phương trình 2 2 2 x 4x 1 x 1 2x 4x 2 0 x 1 suy ra không tồn tại m để phương trình 1 và 2 có cùng tập nghiệm gồm 2 phần tử. Vậy không tồn tại m để * có 2 nghiệm phân biệt . Yêu cầu bài toán * có 2 nghiệm phân biệt . TH1: 1 có 2 nghiệm phân biệt và 2 vô nghiệm 3 m 1 2 m 1 2 m 2 . TH2: 2 có 2 nghiệm phân biệt và 1 vô nghiệm 1 m 3 2 m 3 2 m 2 . TH3: 1 có nghiệm x2 và 2 có nghiệm x0 3 m 2 m 1 m 2 . Kết hợp với điều kiện m thuộc đoạn 2019 ;2019 ta có 13 m 2019 ; ;2019 22 . Vì m nguyên nên nên ta có 4038 giá trị của m . Chọn ý C. ✪ Câu 18 Có bao nhiêu số nguyên a 2019; 2019 để phương trình x 11 xa ln x 5 3 1 có hai nghiệm phân biệt? A. 0. B. 2022. C. 2014. D. 2015. L ời gi ải | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Phương trình xx 1 1 1 1 x a x a ln x 5 3 1 ln x 5 3 1 Đặt hàm số x 11 f(x) x ln(x 5) 3 1 có tập xác định D 5; 4 4;0 0; Ta có : x 2 2 x 1 3 ln 3 f '(x) 1 0, x D x 5 ln x 5 31 f(x) nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định Các giới hạn: 5 x5 1 243 lim f(x) 5 5 3 1 242 ; x 4 x 4 lim f(x) ; lim f(x) x 0 x 0 lim f(x) ; lim f(x) ; x lim f(x) Bảng biến thiên x 5 4 0 f ' x fx 243 5 242 Phương trình f(x) a có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 243 a5 242 Do a a a 2019;2019 a 4;2018 . Vậy có 2018 4 1 2015 giá trị của a . Chọn ý D. ✪ Câu 19 Cho hàm số 1 1 1 1 y x 1 x 2 x 2019 x 2020 và x y e m 1 (m tham số) có đồ thị lần lượt là 1 C và 2 C . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2020;2020 để 1 C cắt tại đúng 2020 nghiệm phân biệt? A. 2020. B. 2019. C. 2018. D. 2022. L ời gi ải Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Phương trình hoành độ giao điểm của 1 C và 2 C : x 1 1 1 1 e m 1 x 1 x 2 x 2019 x 2020 x 1 1 1 1 e 1 m x 1 x 2 x 2019 x 2020 Xét hàm x 1 1 1 1 f x e 1 x 1 x 2 x 2019 x 2020 Tập xác định: D \ 1;2;...;2019; 2020 . Ta có: x 2 2 2 1 1 1 f x e 0 x 1 x 2 x 2020 , xD . Bảng biến thiên x 1 2 ... 2019 2020 fx ... fx 1 ... Từ bảng biến thiên, 1 C cắt 2 C tại đúng 2020 điểm phân biệt khi và chỉ khi m1 Mà m 2020;2020 , m nên m 2020; 2019;...;0;1 . Vậy có tất cả 2022 số nguyên m thỏa mãn bài toán. Chọn ý D. ✪ Câu 20 Giả sử tồn tại số thực a sao cho phương trình x -x e e 2cosax 4 có đúng 2019 nghiệm thực phân biệt. Số nghiệm phân biệt của phương trình xx e e 2cosax là: A. 2019. B. 2018. C. 4037. D. 4038. L ời gi ải Phương trình đầu tương đương | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 2 xx xx 22 e e 2 cosax 4 e e 2 cosax 2 xx 22 2 2 xx 22 xx 22 ax e e 2 cos 1 ax 2 e e 2 cos . 2 ax e e 2 cos 2 2 Nhận thấy x0 không là nghiệm của phương trình đã cho. Nếu 0 xx là nghiệm của 1 thì 0 xx là nghiệm của 2 . Vậy suy ra phương trình đã cho có 2.2019 4038 nghiệm. Chọn ý D. ✪ Câu 21 Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2019;2 để phương trình 35 x 1 log 4x 1 log 2x 1 2x m có đúng hai nghiệm thực là A. 2022. B. 2021. C. 2. D. 1. L ời gi ải Điều kiện: 1 x 4 . Với x1 thay vào phương trình 35 x 1 log 4x 1 log 2x 1 2x m (*) ta được m2 . Khi m2 thì phương trình đã cho trở thành: 35 35 x 1 0 x 1 log 4x 1 log 2x 1 2x 2 log 4x 1 log 2x 1 2 1 . Dễ thấy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 0 x1 . m2 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực. Với x1 thì: 3 5 3 5 2x m x 1 log 4x 1 log 2x 1 2x m log 4x 1 log 2x 1 x1 35 2x m log 4x 1 log 2x 1 0 x1 . Xét hàm số 35 2x m y log 4x 1 log 2x 1 x1 với 1 x ;1 1; 4 . Ta có: 2 4 2 2 m 1 y' 0, x ;1 1; 4x 1 ln 3 2x 1 ln 5 4 x1 và m2 . Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Bảng biến thiên: x 1 4 1 y' + + y Dựa vào bảng biến thiên ta có: phương trình y0 có đúng 2 nghiệm 1 1 x ;1 4 ; 2 x 1; với mọi m2 . Vậy với mọi giá trị nguyên của m thuộc đoạn 2019;2 thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực phân biệt, tức là có 2022 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn ý A. ✪ Câu 22 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm 2 2 2 2 3 3 1 log 5 2 21 x x m x x m xx A. Vô số. B. 4. C. 6. D. 5. L ời gi ải Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 7 1 7 2x x 1 2 x x 1 2 x 2.x. 2 x 0 2 4 16 8 4 8 x . Do đó điều kiện để phương trình xác định là 2 3x 3x m 1 0 (1) Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 2 22 log 3x 3x m 1 log 2x x 1 x 5x m 2 2 2 2 2 22 log 3x 3x m 1 3x 3x m 1 log 2x x 1 1 4x 2x 2 2 2 2 2 22 log 3x 3x m 1 3x 3x m 1 log 4x 2x 2 4x 2x 2 (2) Xét hàm số 2 f t log t t trên 0; , ta có 1 f t 1 0 t ln 2 t 0; , do đó ft đồng biến trên 0; nên 22 2 3x 3x m 1 4x 2x 2 2 m x 5x 1 (3) | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Xét hàm số 2 f x x 5x 1 , f x 2x 5 , 5 f x 0 x 2 , ta có bảng biến thiên x 5 2 fx 0 fx 21 4 Vậy 3 có nghiệm khi và chỉ khi 21 m 4 . hi đó 2 2 2 2 2 2 3x 3x m 1 3x 3x x 5x 1 1 4x 2x 2 3x x 1 1 0 nên 1 đúng. Vậy 21 m 4 , mà m là số nguyên âm nên m 5; 4; 3; 2; 1 . Chọn ý D. ✪ Câu 23 Cho hàm số f(x) . Hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau: x 1 1 4 f ' x 2 3 1 Điều kiện của m để bất phương trình x f(x 2) xe m nghiệm đúng với mọi giá trị của x 1;1 . A. 1 m f(1) e . B. m f(3) 2e . C. 1 m f( 1) e . D. m f(3) 2e . L ời gi ải Xét hàm số x g(x) f(x 2) xe trên đoạn 1;1 Ta có: x g (x) f (x 2) (x 1)e Với mọi x 1;1 , ta có: x 0 (x 1)e và 1 x 2 3 suy ra f (x 2) 1 Do đó, ta có g (x) 0, x 1;1 . Vì vậy 1 g(1) g(x) g( 1) f(1) , x 1;1 e . Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 1;1 khi và chỉ khi 1;1 1 m maxg(x) m f(1) e Chọn ý A. ✪ Câu 24 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10 ;10 để bất phương trình 2 2 3 2 2x x m 1 log 2x 4x 5 2m x x 1 có nghiệm. Số phần tử của tập hợp S bằng A. 20. B. 10. C. 15. D. 5. L ời gi ải 2 2 2x x m 1 0 x x 1 2 2x x m 1 0 (vì 2 x x 1 2 13 x0 24 với mọi x ). (*) Khi đó: 2 2 3 2 2x x m 1 log 2x 4x 5 2m x x 1 2 2 3 2 2x x m 1 log 1 2x 4x 4 2m x x 1 2 2 3 2 2x x m 1 log 2x 4x 4 2m 3 x x 1 22 33 log 2x x m 1 log 3 x x 1 22 2 2x x m 1 6 x x 1 2 3 log 2x x m 1 2 2 2x x m 1 2 3 log 3 x x 1 2 6 x x 1 . (1) Xét hàm số 3 f t log t 2t với t0 có 1 f t 2 0, t 0 t.ln 3 . Suy ra hàm số ft đồng biến trên khoảng 0; . Do đó (1) tương đương với 2 f 2x x m 1 2 f 3 x x 1 2 2x x m 1 2 3 x x 1 (thỏa mãn (*)) 2 x 2x 2 m . BPT 2 x 2x 2 m có nghiệm khi và chỉ khi m min g x với 2 g x x 2x 2 . Xét hàm số 2 g x x 2x 2 với x có g x 2x 2 . g x 0 2x 2 0 x1 . Bảng biến thiên x 1 g ' x 0 gx | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 1 Từ bảng biến thiên suy ra min g x 1 . Do đó m1 . Vì m 10;10 nên tập S 1;2;...;10 . Vây S có 10 phần tử. Chọn ý B. ✪ Câu 25 Cho bất phương trình xx 9 m 1 .3 m 0 1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 1 có nghiệm đúng x1 A. m0 . B. 3 m 2 . C. m2 . D. 3 m. 2 L ời gi ải Đặt x t3 , tx là hàm đ ồng biến trên , x lim t với x 1; , thì t 3; . Ta có: 2 1 t m 1 t m 0 2 Để 1 có nghiệm đúng x1 thì 2 có nghiệm đúng t3 2 t m 1 t m 0 t 3 2 t t m t 1 t3 2 tt m t1 t3 3 Xét hàm số 2 tt ft t1 có 2 2 2 2 2 2 2 2t 1 t 1 t t 2t t 1 t t t 2t 1 ft t 1 t 1 t 1 Với t3 , 22 t 2t 1 3 2.3 1 0 nên f t 0 t 3; 3; 63 min f t f 3 42 Do đó 3; 3 3 m min f t 2 3 m 2 . Chọn ý D. ✪ Câu 26 Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số x; y thỏa mãn 22 2 x y 2 log 4x 4y 6 m 1 và 22 x y 2x 4y 1 0 . A. S 1;1 . B. S 5; 1;1;5 . C. S 5; 5 . D. S 7; 5; 1;1;5;7 . L ời gi ải Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Ta có 22 2 x y 2 log 4x 4y 6 m 1 2 2 2 4x 4y 6 m x y 2 2 2 2 x y 4x 4y 8 m 0 2 2 2 x 2 y 2 m là một hình tròn 1 C tâm I 2; 2 , bán kính 1 Rm với m0 hoặc là điểm I 2; 2 với m0 và 22 x y 2x 4y 1 0 2 2 x 1 y 2 4 là một đường tròn 2 C tâm J 1; 2 , bán kính 2 R2 . TH1: Với m0 ta có: 2 I 2; 2 C suy ra m0 không thỏa mãn điều kiện bài toán. TH2: Với m0 . Để hệ 22 2 x y 2 22 log 4x 4y 6 m 1 x y 2x 4y 1 0 tồn tại duy nhất cặp số x; y thì hình tròn 1 C và đường tròn 2 C tiếp xúc ngoài với nhau 12 IJ R R 22 3 0 m 2 m1 m1 . Chọn ý A. ✪ Câu 27 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình 2 2 3ln x 2 ln x 12 2 ln x m 1 ln x 4 nghiệm đúng với mọi x0 . A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 7 . L ời gi ải Đặt t ln x, t . Yêu cầu bài toán trở thành tìm các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 2 2 3t 2t 12 2 t m 1 t 4 (1) nghiệm đúng với mọi t . Để (1) nghiệm đúng với mọi t , điều kiện cần là 2 t m 1 t 4 0 vô nghiệm trên 2 t 0 m 2m 15 0 5 m 3 (*). Điều kiện đủ: Do 2 3t 2t 12 0 với mọi t và với m thỏa mãn điều kiện (*), ta thấy 2 t m 1 t 4 0 với mọi t nên (1) tương đương với 2 2 3t 2t 12 2 t m 1 t 4 t 2 t 2 m 2 t 4 0 t | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 0 2 m 4m 0 4 m 0 . Kết hợp với điều kiện (*) và điều kiện m nguyên, ta được các giá trị m cần tìm là m 4; 3; 2; 1;0 . Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn ý B. ✪ Câu 28 Gọi là số thực lớn nhất để bất phương trình nghiệm đúng với mọi Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. a 2;3 . B. a 8; . C. a 6;7 . D. a 6; 5 . L ời gi ải Đặt suy ra Bất phương trình trở thành Cần tìm để Có hàm số luôn đồng biến trên Vậy số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán là Chọn ý C. ✪ Câu 29 Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng 2020; 2020 của tham số để bất phương trình 2 x 3log 2 log m x x 1 x 1 x có nghiệm thực ? A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 2020. L ời gi ải Điều kiện Bpt đã cho tương đương : a 22 2 ln 1 0 x x a x x . x 2 2 13 1 24 t x x x 3 . 4 t 3 ln 1 0, . 4 t a t t max a 3 ln 1 0, . 4 f t t a t t 3 ' 1 0, 4 a f t t t 3 ;. 4 3 7 3 7 ln 0 6,08. 3 4 4 4 4ln 4 f t f a a a 6;7 . a m 2 01 01 01 . 1 0 10 1 1 0 x x x x m m x x m x x x x x Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có : Vậy Khảo sát hàm số trên ta được Vậy có tất cả 2018 giá trị của tham số m thỏa mãn. Chọn ý A. ✪ Câu 30 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 4 2 m ln x 16 3m ln x 4 14 ln x 2 0 đúng với mọi x 0; . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng: A. 3 8 . B. 2 . C. 7 8 . D. 1 2 . L ời gi ải Đặt t ln x,t ta được : 2 4 2 f t m t 16 3m t 4 14 t 2 0 2 3 2 t 2 m t 2t 4t 8 3m t 2 14 0 t 2 g t 0 Ta có bất phương trình đã cho nghiệm đúng x 0; f t 0, t . Nếu t2 không phải là nghiệm của g t thì ft sẽ đổi dấu khi t đi qua t2. Do đó điều kiện cần để f t 0, t là t2 phải là nghiệm của g t 0 2 1 m 2 g 2 0 32m 12m 14 0 7 m 8 . Th lại: Với 1 m 2 thì 2 2 1 f t t 2 t 4t 18 0, t 4 nên 1 m 2 thoả mãn. 2 32 2 32 2 2 log log 1 1 11 11 11 1 . 1 x m x x x x x m x x x x x x m x x x x x x x x xx m xx xx 1 1 2 2 1 1 xx x x x x xx 1. m x x 1 f x x x 0;1 2 1,414. fx| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Với 7 m 8 thì 2 2 1 f t t 2 49t 196t 420 0, t 64 nên 7 m 8 thoả mãn. Vậy 17 S; 28 . Nên tổng các phần t của S là 1 7 3 2 8 8 . Chọn ý A. Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 2.1. ĐỀ BÀI. ✪ Câu 1. Cho các số thực x,y thỏa mãn bất đẳng thức 22 4x 9y log 2x 3y 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P x 3y là A. 3 . 2 B. 2 10 . 4 C. 5 10 . 4 D. 3 10 . 4 ✪ Câu 2. Cho hai số thực a , b thỏa mãn 22 a b 1 và 22 ab log a b 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P 2a 4b 3 là A. 10 . B. 10 2 . C. 2 10 . D. 1 10 . ✪ Câu 3. Cho 2 số thực a,b 1 thỏa mãn 23 log a log b 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 32 P log a log b bằng? A. 23 log 3 log 2 B. 23 log 3 log 2 C. 23 1 log 3 log 2 2 D. 23 2 log 3 log 2 ✪ Câu 4. Cho 2 số thực x,y thỏa mãn 22 x y 1 22 3 2 log x y 1 3 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức 33 S x y x y là a6 b với a,b là các số nguyên dương và a b là phân số tối giản. Tính T a 2b A. 25. B. 34. C. 32. D. 41. ✪ Câu 5. Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn 2 2 2 2 2 ln b c 1 2 ln 3a 9a b c 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 2 b c 5a 1 P a 2a đạt được khi a 2b 3c bằng? | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG A. 8. B. 10. C. 11. D. 9. ✪ Câu 6. Cho 2 số thực x,y thỏa mãn 2 2 2 x 2y 2 x 2y 2y x 2 4 3 4 9 .7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x 2y . A. 9 . 4 B. 7 . 4 C. 33 . 8 D. 1 . 4 ✪ Câu 7. Cho các số thực x,y,z thoả mãn 16 2 2 2 x y z log x x 2 y y 2 z z 2 . 2x 2y 2z 1 Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức x y z P x y z bằng? A. 1 . 3 B. 2 . 3 C. 2 . 3 D. 1 . 3 ✪ Câu 8. Cho x,y là các số thực dương thoả mãn 3 x 4y log 2x y 1. xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 42 2 3x y 2xy 2y P. x x y A. 1 . 4 B. 3 . 2 C. 2. D. 1 . 2 ✪ Câu 9. Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn 2 2 2 log x log x 3y 2 2 log y . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức 22 x y 2x 3y S x 2y x xy 2y là b a c với a,b,c là các số nguyên dương và b c là các phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P a b c A. 30. B. 15. C. 17. D. 10. ✪ Câu 10. Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x x f x e 4e m trên đoạn 0 ;ln 4 bằng 6 ? A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. ✪ Câu 11. Cho x;y là các số thực dương thỏa mãn xy x 4y x 4y xy 35 5 x 1 3 y x 4 35 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y . A. 3. B. 5 2 5. C. 3 2 5. D. 1 5. Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC ✪ Câu 12. Cho hai số thực x,y thỏa mãn 22 3 xy log x x 3 y y 3 xy. x y xy 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 2y 3 P. x y 6 A. 43 3 249 . 94 B. 37 249 . 94 C. 69 249 . 94 D. 69 249 . 94 ✪ Câu 13. Cho hai số thực x,y thỏa mãn: 2 2 2 2 3 2 3 5 4x x log y 8y 16 log 5 x 1 x 2 log log 2y 8 3 . Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức 22 P x y m hông vư ợt quá 10 . Hỏi S có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng? A. 2047 . B. 16383 . C. 16384 . D. 32 . ✪ Câu 14. Cho x,y là các số dương thỏa mãn 22 22 222 x 5y log 1 x 10xy 9y 0 x 10xy y . Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 22 2 x xy 9y P xy y . Tính T 10M m . A. T 60 . B. T 94 . C. T 104 . D. T 50 . ✪ Câu 15. Cho các số thực a, b, m, n sao cho 2m n 0 và thỏa mãn điều kiện 22 22 4 2 mn 2m n log a b 9 1 log 3a 2b 9 .3 .3 ln 2m n 2 1 81 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 P a m b n . A. 2 5 2 . B. 2 . C. 52 . D. 25 . ✪ Câu 16. Cho hai số thực thoả mãn và . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức lần lượt là và . Khi đó giá trị của biểu thức bằng A. B. C. D. x,y 22 x y 9 22 2 2 2 xy log x 8x 8y 7x 7y 2 P 3x y M m M 3 2m 12 18 2. 24. 6 10. 10 2 3. | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG ✪ Câu 17. Cho các số thực a,b,c 1; thỏa mãn 10 ab và a b c log b 2log c 5log a 12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a c b P 2log c 5log b 10log a . A. 25. B. 90 . 12 C. 15. D. 21. ✪ Câu 18. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện x 0;y 0;z 1 sao cho: 2 x y 1 log 2x y. 4x y 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 y2 x z 1 T. 3x y x 2z 3 A. S 4 2. B. S 6. C. S 6 3. D. S 4. ✪ Câu 19. Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn 22 1 log 12 a b log a 2 b 2 1 2 . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 a b 45 P b 2 a 2 a b được viết dưới dạng m n với m,n là các số nguyên dương và m n tối giản. Hỏi giá trị của mn bằng bao nhiêu? A. 62. B. 63. C. 64. D. 65. Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC 2.2. HƯỚNG DẪN GIẢI. ✪ Câu 1 Cho các số thực x,y thỏa mãn bất đẳng thức 22 4x 9y log 2x 3y 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P x 3y là A. 3 . 2 B. 2 10 . 4 C. 5 10 . 4 D. 3 10 . 4 L ời gi ải Điều kiện 22 4x 9y 1 . Nếu 22 4x 9y 1 . Ta có 2 2 2x 1 2x 3y 1 3y 1 13 x 3y 1 P 22 . 1 Nếu 22 4x 9y 1 . Khi đó 22 22 4x 9y log 2x 3y 1 2x 3y 4x 9y 22 1 1 1 2x 3y 2 2 2 . Biểu thức P được viết lại thành: 1 1 1 3 P x 3y 2x 3y 2 2 2 4 . Áp dụng BĐT Cauchy ta được: 2 22 1 1 1 1 1 1 5 2x 3y 1 2x 3y 2 2 2 4 2 2 8 . Suy ra 1 1 1 3 3 10 P 2x 3y 2 2 2 4 4 . 2 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 11 5 10 2 2x 3y x 8x 6y 1 22 20 4x 12y 3 10 5 2 10 3 10 y x 3y 30 4 . Từ 1 và 2 suy ra giá trị lớn nhất của P là 3 10 4 . Chọn ý D. ✪ Câu 2 | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Cho hai số thực a , b thỏa mãn 22 a b 1 và 22 ab log a b 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P 2a 4b 3 là A. 10 . B. 10 2 . C. 2 10 . D. 1 10 . L ời gi ải Do 22 a b 1 nên từ 22 22 ab log a b 1 a b a b 1 . Suy ra: 22 22 a b 1 1 1 1 a b 2 2 2 Khi đó: 22 22 1 1 1 1 1 P 2a 4b 3 2 a 4 b 2 4 . a b 20. 10 2 2 2 2 2 (Áp dụng BĐT Cauchy) Đẳng thức xảy ra khi 22 22 1 1 1 1 a b 0 2 2 4 2 11 a 2 1 1 1 10 a b 12 2 2 2 b 2 a b 1 10 Vậy max P 10 khi 11 a 2 10 . 12 b 2 10 Chọn ý A. ✪ Câu 3 Cho 2 số thực a,b 1 thỏa mãn 23 log a log b 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 32 P log a log b bằng? A. 23 log 3 log 2 B. 23 log 3 log 2 C. 23 1 log 3 log 2 2 D. 23 2 log 3 log 2 L ời gi ải Biến đổi yêu cầu của bài toán ta được: 2 3 2 2 32 2 3 2 3 log a log b log a 1 log a P log a log b log 3 log 2 log 3 log 2 Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Xét hàm số 2 22 22 log 3 t1 f t log 3 1 t f ' t t log a log 3 2 t log 3 2 1 t Ta có 2 22 2 2 1 f ' t 0 1 t log 3 t 1 t t.log 3 t 1 log 3 2 3 2 3 2 2 1 f t f log 3 log 2 min P log 3 log 2 1 log 3 Chọn ý A. ✪ Câu 4 Cho 2 số thực x,y thỏa mãn 22 x y 1 22 3 2 log x y 1 3 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức 33 S x y x y là a6 b với a,b là các số nguyên dương và a b là phân số tối giản. Tính T a 2b A. 25. B. 34. C. 32. D. 41. L ời gi ải Ta sẽ chuyển bài toán về giải phương trình logarit để tìm mối liên hệ giữa x,y. Đặt 22 0 t x y t . Xét hàm số t1 3 f t 2 log t 1 3 có 1 1 ' 2 .ln 2 0 0. 1 .ln 3 t f t t t Suy ra hàm số ft đồng biến trên 0; . Do đó 22 f t 0 t 2 x y 2 xy 1;1 . Khi đó ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 S x y x y x xy y 2 x y x xy y 512 16 6 x y 1 x xy y 2 2xy 3 xy S . 27 9 Suy ra 16 2 34. 9 a ab b Chọn ý B. ✪ Câu 5 Cho ba số thực dương ,, a b c thoả mãn điều kiện| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 2 2 2 2 2 ln 1 2 ln 3 9 1. b c a a b c Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 2 51 2 bc a P aa đạt được khi 23 a b c bằng? A. 8. B. 10. C. 11. D. 9. L ời gi ải Giả thiết bài toán được viết lại như sau: 2 2 2 2 2 2 ln 1 1 ln 9 9 . b c b c a a Xét hàm số ln 0 f x x x x có 1 ' 1 0 0. f x x x Nên hàm số fx đồng biến trên 0; . Tại lại có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 9 1 9 9 1 0 . 3 f b c f a b c a b c a a Ta có 22 2 2 2 2 3 3 3 2 3 22 2 5 1 5 1 2 18 2 5 1 2 5 1 2 18 . 2 2 2 2 2 bc bc a a a a P a a a a a a a a a Đặt 1 0 3 . tt a Biểu thức P được viết lại thành 23 51 2 18 2 . 22 P f t t t t Ta có: 2 2 4 5 3 ' , 0;3 ; ' 0 1. 22 18 2 t f t t t f t t t 1 10. P f t f Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 1 1 . 2 91 t a bc bc b c a Suy ra 2 3 11. a b c Chọn ý C. ✪ Câu 6 Cho 2 số thực x,y thỏa mãn 2 2 2 x 2y 2 x 2y 2y x 2 4 3 4 9 .7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x 2y . A. 9 . 4 B. 7 . 4 C. 33 . 8 D. 1 . 4 L ời gi ải Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Ta sẽ đưa về việc giải phương trình từ đó tìm ra mối liên hệ giữa x,y với ý tưởng cũ quy về hàm đặc trưng. Từ giả thiết ta có 2 2 2 2 2 x 2y x 2y 2 x 2y 2 2 x 2y 4 3 4 3 7 7 Xét hàm số 43 7 x x fx có 2 7 .ln 7 3 3 ' 4. ln 0, . 7 7 7 x x x f x x Suy ra hàm số nghịch biến trên . Ta lại có: 2 2 2 f x 2y 2 f 2 x 2y x 2y 2. 2 9 S x 2y x x 2 . 4 Chú ý. Ngoài ra ta có thể đặt 2 2 t x y sau đó dùng máy tính để giải phương trình mũ! Chọn ý A. ✪ Câu 7 Cho các số thực ,, x y z thoả mãn 16 2 2 2 log 2 2 2 . 2 2 2 1 x y z x x y y z z x y z Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức xyz P x y z bằng? A. 1 . 3 B. 2 . 3 C. 2 . 3 D. 1 . 3 L ời gi ải Ta có: 16 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 16 2 2 2 2 2 2 44 log 2 2 2 2 2 2 1 log 2 log 2 2 2 1 log 4 4 log 2 2 2 1 2 2 2 1 . x y z x x y y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z Xét hàm số 4 log 0 f t t t t có 1 ' 1 0, 0. .ln 4 f t t t Suy ra hàm số luôn đồng biến trên 0; . Mà ta có 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 4 2 2 2 1. f x y z f x y z x y z x y z 2 22 5 1 1 1 . 2 x y z Xét mặt cầu S có toạ độ tâm và bán kính là 1;1;1 I và 10 . 2 R | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Ta có 1 1 1 0 xyz P P x P y P z x y z Mặt phẳng và mặt cầu S có điểm chung và điều kiện cần và đủ là 22 2 1 1 1 10 ; 2 2 1 1 1 2 10 1 2 10 3 2 13 0 . 33 PPP d I R PP P P P Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của xyz P x y z là 2 . 3 Chọn ý B. ✪ Câu 8 Cho , xy là các số thực dương thoả mãn 3 4 log 2 1. xy xy xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 42 2 3 2 2 . x y xy y P x x y A. 1 . 4 B. 3 . 2 C. 2. D. 1 . 2 L ời gi ải Giả thiết bài toán được viết lại thành: 33 log 4 4 log 3 3 3 x y x y x y x y Xét hàm số 3 log 0 f x x x x có 1 ' 1 0 0. ln 3 f x x x Vậy nên hàm số fx đồng biến trên 0; . Mà ta lại có 4 3 3 4 3 3 2 . f x y f x y x y x y y x Biểu thức P được viết lại thành: 5 2 2 5 2 2 2 2 3 2 3 6 4 8 6 12 2 4 2 2 2 2 2 2 3 . . 2. 9 3 3 3 3 3 3 3 3 .3 AM GM x x x x x P x x x x x x x x x xx Vậy min 2. P Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1; 2. xy Chọn ý C. ✪ Câu 9 Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn 2 2 2 log x log x 3y 2 2 log y . Biết giá trị Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC lớn nhất của biểu thức 22 x y 2x 3y S x 2y x xy 2y là b a c với a,b,c là các số nguyên dương và b c là các phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P a b c A. 30. B. 15. C. 17. D. 10. L ời gi ải Theo giả thiết ta có 2 2 2 2 22 x log x 3xy log 4y x 3xy 4y 0 1 y Khi đó chia cả tử và mẫu cho y ta chuyển về bài toán xét tính đơn điệu của hàm. Đặt 0 1 . x tt y Suy ra 2 t 1 2t 3 ft t2 t t 2 có : 22 33 2 5 3t 1 2 1 f ' t 0, t 0;1 . t 2 t 2 22 2 t t 2 Nên hàm số ft đồng biến trên 0;1 5 f t f 1 2 P 10. 3 Chọn ý D. ✪ Câu 10 Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x x f x e 4e m trên đoạn 0 ;ln 4 bằng 6 ? A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. L ời gi ải Xét x 0 ;ln 4 . Đặt x t e t 1 ; 4 . Đặt 2 g t t 4t m với t 1 ; 4 Đạo hàm: g t 2t 4 . Xét g t 0 2t 4 0 t 2 Ta có: g 1 m 3 ; g 2 m 4 ; g 4 m Giá trị nhỏ nhất của 2x x f x e 4e m trên 0 ;ln 4 sẽ thuộc A m 3 ; m 4 ; m Xét m 10 A 7 ;6 ;10 m 4 6 m 2 A 5 ;6 ;2 Ta thấy m 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán là min f x 6 Xét m 9 A 5 ;6 ;9 m 3 6 m 3 A 7 ;6 ;3 (không thỏa mãn) | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Xét m 6 A 2 ;3 ;6 m6 m 6 A 10 ;9 ;6 Ta thấy m6 thỏa mãn yêu cầu bài toán là min f x 6 Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn ý C. ✪ Câu 11 Cho ; xy là các số thực dương thỏa mãn 44 35 5 1 3 4 35 xy x y x y xy x y x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y . A. 3. B. 5 2 5. C. 3 2 5. D. 1 5. L ời gi ải Ta có xy x 4y x 4y xy 35 5 x 1 3 y x 4 35 x 4y x 4y xy 1 1 xy 5 3 x 4y 5 3 xy 1 1 . Xét hàm số tt f t 5 3 t trên . Có tt f t 5 .ln 5 3 .ln 3 1 0; x Suy ra hàm số ft đồng biến trên 2 . Từ 1 và 2 ta có x 4y xy 1 3 . Dễ thấy x4 không thỏa mãn 3 . Với x4 , x1 3y x4 kết hợp điều kiện y0 suy ra x4 . Do đó x1 P x y x x4 . Xét hàm số x1 g x x x4 trên 4; . Ta có 2 5 g x 1 0 x4 x 4 5 x 4 5 . x 4 45 gx – 0 gx 5 2 5 Dựa vào bảng biến thiên ta có min 4; P min g x 5 2 5 . Chọn ý B. ✪ Câu 12 Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Cho hai số thực , xy thỏa mãn 22 3 log 3 3 . 2 xy x x y y xy x y xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 23 . 6 xy P xy A. 43 3 249 . 94 B. 37 249 . 94 C. 69 249 . 94 D. 69 249 . 94 L ời gi ải Điều kiện 22 xy 0 x y 0. x y xy 2 22 3 xy log x x 3 y y 3 xy x y xy 2 2 2 2 2 33 2 log x y 2 log x y xy 2 x y xy 3x 3y 2 2 2 2 33 2 log x y 2 2 log x y xy 2 x y xy 2 3x 3y 2 2 2 2 33 2 log 3x 3y 3x 3y 2 log x y xy 2 x y xy 2 Xét hàm đặc trưng 3 f t 2 log t t, t 0; , có 2 f t 1 0, t 0; . t.ln 3 Suy ra hàm ft đồng biến trên khoảng 0; . Phương trình 2 2 2 2 f 3x 3y f x y xy 2 x y xy 2 3x 3y Đặt xy a, x a b 2 y a b x y b. 2 Khi đó 3a b 3 P 2a 6 và 2 là: 2 2 3 a 1 b 1. Đặt 3 a 1 cos t, t 0;2 b sin t, , hi đó 3cos t 3 sin t 6 3 P 2P 3 .cos t 3 sin t 6 3 8 3P 2 cos t 8 3 Do phương trình luôn có nghiệm t nên ta có 2 2 2 69 249 69 249 2P 3 3 6 3 8 3P 47P 69P 24 0 P . 94 94 Vậy giá trị lớn nhất của P là 69 249 . 94 Chọn ý C. ✪ Câu 13 | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 4 r OM M Cho hai số thực , xy thỏa mãn: 2 2 2 2 3 2 3 54 log 8 16 log 5 1 2log log 2 8 3 xx y y x x y . Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức 22 P x y m hông vư ợt quá 10. Hỏi S có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng? A. 2047 . B. 16383. C. 16384. D. 32 . L ời gi ải Điều kiện: y 4; 1 x 5. Ta có: 2 2 2 2 3 2 3 x 4x 5 log y 8y 16 log 5 x 1 x 2 log log 2y 8 (1) 3 22 22 3 2 3 2 2 log y 4 log x 4x 5 2 log x 4x 5 1 log 4 y 4 22 22 3 2 3 2 2 log y 4 log y 4 2 log x 4x 5 log x 4x 5 (2). Xét hàm số 32 f(t) 2log t log t, t 0 , có: 2 1 1 2 ln 2 ln 3 f '(t) . 0 , t 0 t ln 3 t ln 2 t ln 2.ln 3 Hàm số f(t) đồng biến với t0 , suy ra: 22 2 2 (2) y 4 x 4x 5 x 2 y 4 9 Suy ra Tập hợp các cặp số (x;y) thỏa mãn (1) là đường tròn (C)tâm là I(2; 4) và bán kính R3 bỏ bớt 2 điểm 1; 4 , 5; 4 . y x O 1 2 R3 OTuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Gọi M(x;y) là điểm thuộc đường tròn (C) 22 r x y là hoảng cách từ M đến gốc O . Vì IO 2 5 3 nên O nằm ngoài (C) và ta có: 2 5 3 r 2 5 3 2 5 3 m r m 2 5 3 m ới P r m , maxP max 2 5 3 m , 2 5 3 m Để thỏa mãn bài toán ta phải có: 2 5 3 m 10 10 2 5 3 m 10 10 2 5 3 m 10 2 5 3 m 10 2 5 13 m 2 5 7 2 5 7 m 2 5 7 2 5 7 m 13 2 5 . Ta có: 2 5 7 2,5;2 5 7 11,5 m 2; 1;0;...;11 Tập S có 14 phần tử Số tập con hác rỗng của tập S là: 14 2 1 16383. Chọn ý B. ✪ Câu 14 Cho , xy là các số dương thỏa mãn 22 22 222 5 log 1 10 9 0 10 xy x xy y x xy y . Gọi ,m M lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 22 2 9 x xy y P xy y . Tính 10 T M m . A. 60 T . B. 94 T . C. 104 T . D. 50 T . L ời gi ải 22 22 222 x 5y log 1 x 10xy 9y 0 x 10xy y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log x 5y log x 10xy y log 2 2 x 5y x 10xy y 0 2 2 2 2 2 2 2 2 22 log 2x 10y 2 x 5y log x 10xy y x 10xy y 2 2 2 2 2x 10y x 10xy y vi) 22 x 10xy 9y 0 2 xx 10 9 0 yy x 19 y | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Ta viết lại biểu thức 22 2 x xy 9y P xy y 2 xx 9 yy x 1 y Đặt x t y , điều kiện : 1 t 9 Xét hàm 2 t t 9 ft t1 ; có 2 2 t 2t 8 ft t1 ; t4 f t 0 t2 Và 11 f1 2 ; f 2 5 ; 99 f9 10 Nên suy ra 99 M 10 , m5 . Vậy T 10M m 94 . Chọn ý B. ✪ Câu 15 Cho các số thực a, b, m, n sao cho 2m n 0 và thỏa mãn điều kiện 22 22 4 2 mn 2m n log a b 9 1 log 3a 2b 9 .3 .3 ln 2m n 2 1 81 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 P a m b n . A. 2 5 2 . B. 2 . C. 52 . D. 25 . L ời gi ải Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 log a b 9 1 log 3a 2b log a b 9 log 2 3a 2b 22 22 a b 9 6a 4b a 3 b 2 4 . Gọi H a; b , suy ra H thuộc đường tròn C có tâm I 3; 2 , bán kính R2 . Lại có 4 2 mn 2m n 9 .3 .3 ln 2m n 2 1 81 4 2m n 2 2m n 3 ln 2m n 2 1 81 , 1 Với m,n thỏa mãn 2m n 0 , ta có: 4 2m n 2m n 44 2m n 2 2m n . 4 3 81 2m n 2m n 2 ln 2m n 2 1 ln 1 0 . Suy ra 4 2m n 2 2m n 3 ln 2m n 2 1 81 Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Do đó 4 2m n 1 2m n 2 0 2m n 2m n 2 0 . Gọi K m;n , suy ra K thuộc đường thẳng có phương trình 2x y 2 0 . Ta có: 22 P a m b n HK . 22 2.3 2 2 d I, 2 5 2 21 đường thẳng không cắt đường tròn C . Do đó HK ngắn nhất khi K là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng và điểm H là giao điểm của đoạn thẳng IK với đường tròn C . Lúc đó HK IK IH 2 5 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 5 2 . Chọn ý A. ✪ Câu 16 Cho hai số thực thoả mãn và . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức lần lượt là và . Khi đó giá trị của biểu thức bằng A. B. C. D. L ời gi ải Từ giả thiết ta suy ra Như vậy là hai số thực thoả mãn hệ điều kiện x,y 22 x y 9 22 2 2 2 xy log x 8x 8y 7x 7y 2 P 3x y M m M 3 2m 12 18 2. 24. 6 10. 10 2 3. 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xy log x 8x 8y 7x 7y 2 x y 8x 7 x y x 4 y 9. x,y 22 2 2 x y 9 . x 4 y 9 C 3 2 2 K 1 x y O H| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Mà tập hợp các giá trị thoả hệ điều kiện trên chính là miền giới hạn bởi phần bên trong đường tròn và phần bên ngoài đường tròn Hai đường tròn có bán kính và tâm tâm như hình vẽ dưới đây. Xét họ các đường thẳng song song với nhau Ứng với đường thẳng đi qua ta có Ứng với đường thẳng tiếp xúc với . Từ đó ta có: Vậy suy ra GTLN và GTNN của P tương tứng là Vậy Chọn ý A. ✪ Câu 17 Cho các số thực a,b,c 1; thỏa mãn 10 ab và a b c log b 2log c 5log a 12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a c b P 2log c 5log b 10log a . A. 25. B. 90 . 12 C. 15. D. 21. L ời gi ải Đặt a b c x log b;y log c;z log a . Ta có x, y,z 0 x.y.z 1 x 10 x 2y 5z 12 Khi đó: D 2 2 2 C : x 4 y 9 22 1 C :x y 9. 12 R R 3 1 I 0;0 , 2 I 4;0 3x y P 0 1 A 3.2 5 P 0 P 6 5. 2 2 C 2 2 2 d I ; R . P 12 3 10 3.4 0 P 3. 91 P 12 3 10 2 max 1 min M P P 12 3 10 m P P 6 5 M 3 2m 12 18 2. 1 2 O 2 I 1 C 2 C 5 2 x y ATuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC 3 2 5 10 2 5 100 90 2 5 100 P 3 . . 9 30 9 21 z y x z y x x z y x Suy ra min P 21 đạt được khi a 2 10 b c x.y.z 1 x 10 log b 10 2 5 100 1 1 y log c b c a z y x 2 2 11 x 2y 5z 12 z log a 55 . Chọn ý D. ✪ Câu 18 Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện x 0;y 0;z 1 sao cho: 2 x y 1 log 2x y. 4x y 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 y2 x z 1 T. 3x y x 2z 3 A. S 4 2. B. S 6. C. S 6 3. D. S 4. L ời gi ải Từ giả thiết ta biến đổi như sau 2 2 2 22 x y 1 log 2x y log x y 1 log 4x y 3 2x y 4x y 3 log 2 x y 1 2 x y 1 log 4x y 3 4x y 3. Xét hàm số 2 f u log u u u 0 có 1 f ' u 1 0. u.ln 2 Suy ra fu đồng biến trên 0; . Mà ta có: f 2 x y 1 f 4x y 3 2 x y 1 4x y 3 y 2x 1. Biểu thức T trở thành 2 2 2 Cauchy Schwarz x z 1 2x 3 3x z 4 T. 5x 1 x 2z 3 6x 2z 4 Đặt t 3x z 4 t 3 . T trở hành 2 t T t 3 . 2t 4 Xét hàm 2 t f t t 3 2t 4 có 2 2 t 3; 2t 8t f ' t ;f ' t 0 t 0 L t 4 Min f t f 4 4. 2t 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 4. Chọn ý D. | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG ✪ Câu 19 Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn 22 1 log 12 a b log a 2 b 2 1 2 . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 a b 45 P b 2 a 2 a b được viết dưới dạng m n với m,n là các số nguyên dương và m n tối giản. Hỏi giá trị của mn bằng bao nhiêu? A. 62. B. 63. C. 64. D. 65. L ời gi ải Biến đổi giả thiết ta có: 22 1 log 12 a b log a 2 b 2 1 2 22 log 12 a b log 2 a 2 b 2 a b 2 a 2 b 2 12 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 22 12 a b 4 a 2 b 2 a b 4 a b 4 . Biến đổi tiếp biểu thức 4 4 3 3 33 a b 2 a b a a 2 b a 2 45 45 P a 2 b 2 a b a 2 b 2 a b Chú ý tới 2 bất đẳng thức quen thuộc 4 44 3 33 1 a b a b 8 1 a b a b 4 Từ đó suy ra 43 43 43 22 11 a b 2. a b a b 4 a b 45 45 t 4t 45 84 P a 2 b 2 a b a b t 2 12 a b 2 12 t Xét hàm số 3 2 3 2 43 2 3 2 3 2 22 t 4 t 2 t 3 t 4 4 .4 2 4 3 4 t 4t 45 45 45 f t f ' t 0 t t 4 2 12 t 12 t 12 t 12 4 12 4 61 61 P f t f 4 min P m n 65 44 Chọn ý D. Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC CHƯƠNG 3 ĐỒ THỊ MŨ VÀ LOGARIT 1. ĐỀ BÀI ✪ Câu 1. Cho hàm số fx liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây: Số các giá trị nguyên của tham số m hông vư ợt quá 5 để phương trình 2 x m1 f0 8 có hai nghiệm phân biệt là A. 5. B. 4. C. 7. D. 6. ✪ Câu 2. Cho hàm số fx liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. 1 1 1 x y 3 2 O 2| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Tổng tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f f x f x 22 x 9.6 4 f x .9 m 5m .4 Đúng với mọi x là? A. 10. B. 4. C. 5 D. 9 ✪ Câu 3. Cho hàm số fx có đồ thị như hình vẽ Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình sau có nghiệm là bao nhiêu? 32 f x 2f x 7f x 5 1 e ln f x m fx ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ✪ Câu 4. Cho fx liên tục trên và có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ O 1 2 1 x y 2 3 4 1 3 5 17 5 y 3 2 y O x yTuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 1;2 khi và chỉ khi : f x m f x m 3 4 5f x 2 5m A. f 1 m 1 f 2 B. f 2 m 1 f 1 C. f 2 m 1 f 1 D. f 2 m 1 f 1 ✪ Câu 5. Cho hàm số fx có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình xx f e m 3e 2019 có nghiệm x 0;1 khi và chỉ khi A. 4 m 1011 B. 4 m 3e 2019 C. 2 m 1011 D. fe m 3e 2019 ✪ Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục trên và hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ O 1 3 4 x y O x y 2 2 4| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Bất phương trình f x m f x m 2 5 2 27m fx 27 nghiệm đúng với x 2;3 A. f 3 m f 3 1 B. f 2 1 m f 3 C. f 2 2 m f 3 D. f 3 m f 2 2 ✪ Câu 7. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình bên dưới: Biết rằng trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 m 2log 2 f x 4 có hai nghiệm dương phân biệt. A. 0 m 2. B. 0 m 1. C. 1m D. m 0. ✪ Câu 8. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f ' x 1 như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số 2f(x) 4x y đạt cực tiểu tại điểm nào O 1 2 2 1 x y O 2 3 4 x yTuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC A. x1 B. x0 C. x1 D. x2 ✪ Câu 9. Hình vẽ bên là đồ thị của hai hàm số a y log x và y f x . Đồ thị của chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng y x 1 .Tính a f log 2018 A. a a f log 2018 1 2018 B. a 1 f log 2018 1 2018a C. a a f log 2018 1 2018 D. a 1 f log 2018 1 2018a ✪ Câu 10. Cho hình vẽ của đồ thị các hàm số a b c y x ; y x ; y x có đồ thị như hình bên. Khi đó hãy tìm tổng của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 22 3a 2b a c T? a 5c 4ac O 1 x y y f x log a yx 1 yx O 1 2 x 2 1 2 y| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 ✪ Câu 11. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 2f x x 4x m có nghiệm đúng với mọi x 1;3 A. m 3. B. m 10. C. m 2. D. m 5. ✪ Câu 12. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số f x f x y 2 3 O x 1 y O y x 2 3 O x 0,5 m 2m a x b x c x yTuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. ✪ Câu 13. Cho hàm số liên tục trên đoạn 1;9 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 2 f x f x f x 2 16.3 f x 2f x 8 .4 m 3m .6 Nghiệm đúng với mọi giá trị x 1;9 ? A. 22 B. 31 C. 5 D. 6 O 1 2 y 4 x| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 2. LỜI GIẢI ✪ Câu 1 Cho hàm số fx liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây: Số các giá trị nguyên của tham số m hông vư ợt quá 5 để phương trình 2 x m1 f0 8 có hai nghiệm phân biệt là A. 5. B. 4. C. 7. D. 6. L ời gi ải Đặt x t ,t 0. Phương trình đã cho trở thành 22 m 1 m 1 f t 0 f t , t 0 88 . Quan sát đồ thị đã cho của hàm số y f x ta thấy rằng Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 2 2 m1 1 1 7 m 9 3 m 3 8 Mà m m 2; 1;0;1;2 . Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của m . Chọn ý A. ✪ Câu 2 1 1 1 x y 3 2 O 2Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Cho hàm số fx liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình f f x f x 22 x 9.6 4 f x .9 m 5m .4 Đúng với mọi x là? A. 10. B. 4. C. 5 D. 9 L ời gi ải Đặt t f x . Quan sát đồ thị ta thấy f x 2 x t 2 Bất phương trình đã cho được viết lại như sau t 2t t 2 t 2 t 2 2 33 9.6 4 t .9 m 5m .4 , t 2 9 4 t m 5m 22 Xét hàm số t 2t 2 33 g t 9 4 t 22 Có t 2t 2t 2 3 3 3 3 3 g' t 9. ln 2t. 2 4 t ln 0, .. t2 2 2 2 2 2 Từ đó suy ra ;2 max g t g 2 4 Yêu cầu bài toán tương đương với 2 m 5m 4 1 m 4 Vì m m 1;2;3; 4 nên tổng tất cả các giá trị của tham số m là 10. Chọn ý A. ✪ Câu 3 O 1 2 1 x y 2 3 4 | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Cho hàm số fx liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây: Số các giá trị nguyên của tham số m hông vư ợt quá 5 để phương trình 2 x m1 f0 8 có hai nghiệm phân biệt là A. 5. B. 4. C. 7. D. 6. L ời gi ải Quan sát đồ thị ta thấy rằng 1 f x 5 , đặt t f x , giả thiết trở thành 32 t 2t 7t 5 1 e ln t m t Xét: 3 2 2 g t t 2t 7t 5,g ' t 3t 4t 7 0 t 1 g 1 g t g 5 1 g t 145 Mặt khác 2 1 1 26 h t t ,h' t 1 0 t 1;5 2 h t t t 5 Vậy hàm 32 t 2t 7t 5 1 u t e ln t t đồng biến với x 1; 5 Để phương trình đầu có nghiệm thì 145 26 e ln 2 m e ln 5 Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là 4. Chọn ý B. ✪ Câu 4 1 1 1 x y 3 2 O 2Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Cho fx liên tục trên và có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ Bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 1;2 khi và chỉ khi : f x m f x m 3 4 5f x 2 5m A. f 1 m 1 f 2 B. f 2 m 1 f 1 C. f 2 m 1 f 1 D. f 2 m 1 f 1 L ời gi ải Từ đồ thị của hàm số suy ra bảng biến thiên x 1 2 f ' x fx f1 f2 Từ bảng biến thiên ta suy ra f 2 f x f 1 , x 1;2 f 2 m f x m f 1 m, x 1;2 Đặt t f x m f 2 m t f 1 m, x 1;2 Giả thiết tương đương t t t t 3 4 5t 2 3 4 5t 2 0 1 Xét phương trình tt t0 3 4 5t 2 0 t1 Dùng phương pháp xét dấu f 2 m 0 1 0 t 1 f 2 m 1 f 1 f 1 m 1 Chọn ý D. ✪ Câu 5 O x y 2 2 4| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Cho hàm số fx có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình xx f e m 3e 2019 có nghiệm x 0;1 khi và chỉ khi A. 4 m 1011 B. 4 m 3e 2019 C. 2 m 1011 D. fe m 3e 2019 L ời gi ải Đặt x e t t 0 . Ta đưa bất phương trình đã cho thành bất phương trình ẩn t. từ đó lập luận để có phương trình ẩn t có nghiệm thuộc 1;e Ta chú ý rằng hàm số y f x với y f t có tính chất giống nhau nên từ đồ thị hàm số đã cho ta suy ra tính chất hàm ft Sử dụng phương pháp hàm số để tìm m sao cho bất phương trình có nghiệm Bất phương trình m f x có nghiệm trong a; b khi a;b m min f x Cách gi ải Xét bất phương trình xx f e m 3e 2019 * Đặt x e t t 0 với 01 x 0;1 t e ;e t 1;e Ta được bất phương trình ft f t m 3t 2019 m 1 3t 2019 Ta xét hàm ft gt 3t 2019 trên t 1;e 2 f ' t 3t 2019 3f t g' x 3t 2019 Thấy đồ thị hàm số y f t có tính chất giống với đồ thị hàm số y f x nên trên khoảng đang xét f t 0 và đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải hay hàm số đồng biến trên 1;e nên f ' t 0 Từ đó g ' t 0 với t 1;e hay hàm số gt đồng biến trên 1;e Ta có bảng biến thiên của gt trên 1;e O 1 3 4 x yTuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC t 1 2 g ' t gt 2 1011 ge Từ bảng biến thiên ta thấy để ft m 3t 2019 có nghiệm t 1;e thì 2 m 1011 . Chọn ý C. ✪ Câu 6 Cho hàm số y f x liên tục trên và hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ Bất phương trình f x m f x m 2 5 2 27m fx 27 nghiệm đúng với x 2; 3 A. f 3 m f 3 1 B. f 2 1 m f 3 C. f 2 2 m f 3 D. f 3 m f 2 2 L ời gi ải Ta có với x 2;3 thì f ' x 0 Ta có f 3 f x f 2 , x 2; 3 ; f 3 2m f x m f 2 m Đặt t f x m f 3 m t f 2 m Ta có f x m f x m 2 5 2 27m fx 27 O 2 3 4 x y| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG f x m f x m 2 5 2 27 f x m 0 tt 2 5 27t 2 0 Vế trái chỉ có 2 nghiệm t 0;t 2 Ta có f 3 m 0 0 t 2 f 2 m 2 f 2 2 m f 3 Chọn ý C. ✪ Câu 7 Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình bên dưới: Biết rằng trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 m 2log 2 f x 4 có hai nghiệm dương phân biệt. A. 0 m 2. B. 0 m 1. C. 1m D. m 0. L ời gi ải Ta có 4 m 2log 2 f x 4 2m 1 f x 2 Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt 2m 1 22 m 0. Chọn ý D. ✪ Câu 8 Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f ' x 1 như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số O 1 2 2 1 x yTuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC 2f(x) 4x y đạt cực tiểu tại điểm nào A. x1 B. x0 C. x1 D. x2 L ời gi ải Xét 2(f(x) 4x) y có 2 f x 4x y' .ln 2f ' x 4 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm o x thì y' phải đổi dấu từ âm sang dương hi x đi qua điểm đó. Dựa vào đồ thị, ta thấy chỉ có điểm x1 làm f ' x 2 đổi dấu từ âm sang dương hi x đi qua. Vậy hàm đạt cực tiểu tại x1 . Chọn ý C. ✪ Câu 9 Hình vẽ bên là đồ thị của hai hàm số a y log x và y f x . Đồ thị của chúng đối O 1 2 x 2 1 2 y| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG xứng với nhau qua đường thẳng y x 1 .Tính a f log 2018 A. a a f log 2018 1 2018 B. a 1 f log 2018 1 2018a C. a a f log 2018 1 2018 D. a 1 f log 2018 1 2018a L ời gi ải Gọi 1 a 2 b;c C : y log x; e;f C : y f x . Ta có hệ điều kiện e 1 e 1 e 1 a c f b e 2 b c f e 2 b f 1 b c e f c e 1 1 b e 1 c f 0 e 1 log f 1 f 1 a f 1 a f x 1 a . Vậy a log 2018 1 a 1 f log 2018 1 a 1 2018a Chọn ý B. ✪ Câu 10 Cho hình vẽ của đồ thị các hàm số a b c y x ; y x ; y x có đồ thị như hình bên. Khi O 1 x y y f x log a yx 1 yx Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC đó hãy tìm tổng của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 22 3a 2b a c T? a 5c 4ac A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 L ời gi ải Nhận thấy ngay khi x , ta có cb 2 2 2 a 2 2 clog 1 blog c b log 1 0.5 alog 1 a c b Đến đây thay vào biểu thức ta được một hàm thuần nhất 2 biến rồi đặt 1 ẩn đưa về khảo sát hàm 1 biến! Biểu thức T được viết lại thành 22 2 2 22 2 3 9 1 39 . 2 21 aa a a c cc T a a c c c Khảo sát hàm đơn biến ft với a t c ta thu được: 3 max 11 109 2 33. 3 min 109 11 2 ft S ft Chọn ý C. ✪ Câu 11 Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để O x 0,5 m 2m a x b x c x y| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG bất phương trình 2 2f x x 4x m có nghiệm đúng với mọi x 1;3 A. m 3. B. m 10. C. m 2. D. m 5. L ời gi ải Bất phương trình đã cho tương đương với 2 2f x x 4x m . Dựa vào đồ thị, ta thấy 1;3 min f x 3, dấu bằng xảy ra khi x 2. Lại có 2 2 x 4x x 2 4 4, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x2 . Vậy 2 1;3 min 2f x x 4x 2. 3 4 10. Do đó bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x 1;3 khi và chỉ khi m 10. Chọn ý B. ✪ Câu 12 Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. O y x 2 3Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Tìm số điểm cực trị của hàm số f x f x y 2 3 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. L ời gi ải Xét hàm số f x f x f x f x g x 2 3 g ' x f ' x 2 .ln 2 f ' x 3 .ln 3; x R. Ta có fx f x f x 2 3 f ' x 0 f ' x 0 1 f ' x 0 g ' x 0 ln 3 2 ln 3 f x log 2 2 .ln 2 3 .ln 3 ln 2 3 ln 2 Dựa vào đồ thị hàm số y f x , ta thấy: Phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt (vì hàm số y f x có 3 cực trị). Phương trình 2 vô nghiệm vì đường thẳng 2 3 ln 3 y log 1 ln 2 không cắt đồ thị hàm số. Vậy phương trình g ' x 0 có ba nghiệm phân biệt hay hàm số đã cho có 3 cực trị. Chọn ý A. ✪ Câu 13 Cho hàm số liên tục trên đoạn 1;9 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới O x 1 y| tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG đây Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 2 f x f x f x 2 16.3 f x 2f x 8 .4 m 3m .6 Nghiệm đúng với mọi giá trị x 1;9 ? A. 22 B. 31 C. 5 D. 6 L ời gi ải Từ đồ thị suy ra 4 f x 2 x 2;9 . Đặt t f x , t 4; 2 Ta tìm m sao cho t 2 t 2 t 16.3 t 2t 8 .4 m 3m .6 đúng với mọi t 4;2 t 2 t 2 t 16.3 t 2t 8 .4 m 3m .6 , t 4; 2 t 22 t 16 2 t 2t 8 . m 3m 23 , t 4;2 Ta có t 16 4 2 , t 4;2 . Dấu bằng xảy ra khi t2 . Mà 2 t 2t 8 0 , t 4;2 . Do đó t 2 2 t 2t 8 . 0 3 , t 4;2 . Dấu bằng xảy ra khi t2 . Suy ra t 2 t 16 2 t 2t 8 . 4 23 , t 4;2 . Vậy t 22 t 16 2 t 2t 8 . m 3m 23 , t 4;2 2 m 3m 4 1 m 4 Kết quả m 1;0;1;2;3; 4 . Chọn ý D. O 1 2 y 4 xTuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC CHƯƠNG 4 ỨNG DỤNG MŨ VÀ LOGARIT VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ 1. ĐỀ BÀI. ✪ Câu 1. Bác Bình tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty bảo hiểm với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm bác Bình đóng vào công ty 20 triệu đồng với lãi suất hàng năm hông đ ổi 6%/ năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm bác Bình thu về tổng tất cả số tiền lớn hơn 400 triệu đồng? A. 14 năm. B. 12 năm. C. 11 năm D. 13 năm. ✪ Câu 2. Một người gửi 100 triệu đồng vào tài khoẳn tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0,6%/tháng, cứ sau mỗi tháng người đó rút ra 500 nghìn đồng. Hỏi sau đúng 36 lần rút tiền, số tiền còn lại trong tài khoản của người đó gần nhất với phương án nào dưới đây? (biết rằng lãi suất hông thay đ ổi và tiền lãi mỗi tháng tính theo số tiền có thực tế trong tài khoản của tháng đó). A. 108 triệu đồng. B. 102 triệu đồng. C. 104 triệu đồng. D. 106 triệu đồng. ✪ Câu 3. Chị Lan có 400 triệu đồng mang đi gửi tiết iệm ở hai loại ì hạn hác nhau đều theo hình thức lãi ép. Chị gửi 200 triệu đồng theo ì hạn quý ( 3 tháng) với lãi suất 2,1% một quý, 200 triệu đồng còn lại chị gửi theo ì hạn tháng với lãi suất 0,73% một tháng. Sau hi gửi được đúng 1 năm, chị rút ra một nửa số tiền ở loại ì hạn theo quý và gửi vào loại ì hạn theo tháng. Hỏi sau đúng 2 năm ể từ hi gửi tiền lần đầu, chị Lan thu được tất cả bao nhiêu tiền lãi (làm tròn đến hàng nghìn)? A. 79760000 đồng. B. 74813000 đồng. C. 65393000 đồng. D. 70656000 đồng. ✪ Câu 4. Để chuẩn bị cho việc mua nhà, chị An thực hiện việc tiết kiệm bằng cách mỗi tháng gửi đều đặn vào ngân hàng 10 triệu đồng/tháng. Biết rằng trong thời gian chị An gửi tiền thì ngân hàng áp dụng mức lãi suất 0,65% tháng và chị An không rút lãi lần nào. Hỏi chị An phải gửi tối thiểu bao nhiêu tháng để có được số tiền 500 triệu đồng bao gồm cả tiền gốc và tiền lãi? | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG A. 41 tháng. B. 42 tháng. C. 43 tháng. D. 44 tháng. ✪ Câu 5. Vợ chồng anh A dự định lương của vợ dùng chi trả sinh hoạt phí, lương của anh A được gửi tiết kiệm hàng tháng. Biết đầu tháng này anh mới được tăng lương nhận mức lương 6 triệu đồng/tháng và cứ sau 2 năm lương của anh được tăng lên 10% so với 2 năm trước đó. Giả sử rằng dự định của vợ chồng anh được thực hiện từ đầu tháng này và lãi suất ngân hàng ổn định ở 0,5 % một tháng. Tính số tiền vợ chồng anh A tiết kiệm được sau 50 tháng. A. 341.570.000. B. 336.674.000. C. 384.968.000. D. 379.782.000. ✪ Câu 6. Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất 0,5% / tháng (lãi tính theo từng tháng và cộng dồn vào gốc). Kể từ lúc gửi sau mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi người đó rút 10 triệu đồng để chi tiêu (nếu tháng cuối cùng không đủ 10 triệu thì rút hết). Hỏi trong bao lâu kể từ ngày gửi người đó rút hết tiền trong tài khoản? (giả sử lãi suất hông thay đ ổi trong quá trình người đó gửi). A. 136 tháng. B. 137 tháng. C. 138 tháng. D. 139 tháng. ✪ Câu 7. Anh An mới đi làm, hưởng lương 8 triệu đồng một tháng và sẻ được nhận lương vào cuối tháng làm việc. An kí hợp đồng với ngân hàng trích tự động 1 10 tiền lương của mình mỗi tháng để gửi vào tài khoản tiết kiệm, lãi suất 0, 45% /tháng theo thể thức lãi kép. Kể từ tháng thứ 7, anh An được tăng lương lên mức 8 triệu 500 nghìn đồng mỗi tháng. Sau một năm đi làm, tài ho ản tiết kiệm của anh An có bao nhiêu tiền ( Đơn vị: triệu đồng, kết quả lấy đến 3 chữ số sau dấu phẩy) A. 10,148 triệu (đ) B. 10,144 triệu (đ) C. 10,190 triệu (đ) D. 10,326 triệu (đ) ✪ Câu 8. Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với lương năm đầu là 72 triệu đồng, cứ sau 3 năm thì tăng lương 10%. Nếu tính theo hợp đồng thì sau đúng 21 năm, người đó nhận được tổng số tiền của công ty là A. 7 216 1,1 1 (triệu đồng). B. 7 7200 1,1 1 (triệu đồng). C. 7 720 1,1 1 (triệu đồng). D. 7 2160 1,1 1 (triệu đồng). ✪ Câu 9. Ông A vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% một tháng theo thỏa thuận: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì ông bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng ông A sẽ trả cho ngân hàng 9 triệu đồng cho đến khi hết nợ (biết rằng tháng cuối cùng có thể trả dưới 9 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì ông A trả hết nợ cho ngân hàng? A. 22 tháng. B. 23 tháng. C. 24 tháng. D. 25 tháng ✪ Câu 10. Chị Minh muốn mua một chiếc điện thoại trị giá 20 triệu đồng, nhưng vì chưa đủ tiền nên chị chọn mua bằng hình thức trả góp hàng tháng (số tiền trả góp mỗi tháng như nhau) với lãi suất 30% / năm và trả trước 5 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng chị phải trả số tiền gần nhất với số tiền nào dưới đây để sau đúng 1 năm ể từ Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC ngày mua điện thoại, chị sẽ trả hết nợ, biết kì trả nợ đầu tiên sau ngày mua điện thoại đúng một tháng và chỉ tính lãi hàng tháng trên số dư nợ thực tế của tháng đó. A. 1,42 triệu. B. 4,7 triệu. C. 1,46 triệu. D. 1,57 triệu. ✪ Câu 11. Ông Bình vay vốn ngân hàng với số tiền 100000000 đồng. Ông dự định sau đúng 5 năm thì trả hết nợ theo hình thức: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi, theo cách đó, số tiền a mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là 1,2% và hông thay đ ổi trong thời gian ông hoàn nợ. A. 59 5 60 12.10 1,012 a 1,012 1 (đồng). B. 60 5 60 12.10 1,012 a 1,012 1 (đồng). C. 60 6 60 12.10 1,012 a 1,012 1 (đồng). D. 59 6 60 12.10 1,012 a 1,012 1 (đồng). ✪ Câu 12. Năm 2019 em Thành đã trúng tuyển vào trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, ì gia đình em hó hăn, đ ể có tiền đi học trong 5 năm nên vào đầu tháng 9/2019 em đã làm thủ tục vay vốn sinh viên 24.000.000 đồng/1 năm (vay vốn liên tục trong 5 năm và thủ tục vay vốn hằng năm được thực hiện vào đầu tháng 9) với lãi suất là 0,6%/tháng. Sau đúng hết 5 năm em Thành ra trường và i ếm được việc làm nên em trả cho ngân hàng mỗi tháng a đồng. Giá trị của a gần nhất với số nào trong các số dưới đây để trong 5 năm em Thành có thể trả hết nợ vay ngân hàng. A. 3.500.000 đồng. B. 3.000.000 đồng. C. 2.770.000 đồng. D. 3.270.000 đồng. ✪ Câu 13. Bạn Nam là sinh viên của một trường Đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm. Đầu mỗi năm học, bạn ấy vay ngân hàng số tiền 10 triệu đồng với lãi suất là 4% . Tính số tiền mà Nam nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó, ngân hàng hông thay đ ổi lãi suất ( kết quả làm tròn đến nghìn đồng). A. 46794000 đồng. B. 44163000 đồng. C. 42465000 đồng. D. 41600000 đồng. ✪ Câu 14. Một người vay ngân hàng 200.000.000 đồng theo hình thức trả góp hàng tháng trong 48 tháng. Lãi suất ngân hàng cố định 0,8% / tháng. Mỗi tháng người đó phải trả (l ần đầu tiên phải trả là 1 tháng sau khi vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho 48 và số tiền lãi sinh ra từ số tiền gốc còn nợ ngân hàng. Tổng số tiền lãi người đó đã trả trong toàn bộ quá trình nợ là bao nhiêu? A. 38.400.000 đồng. B. 38.400.000 đồng. C. 76.800.000 đồng. D. 39.200.000 đồng. | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 2. HƯỚNG DẪN GIẢI. ✪ Câu 1 Bác Bình tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty bảo hiểm với thể lệ như sau: Cứ đến tháng 9 hàng năm bác Bình đóng vào công ty 20 triệu đồng với lãi suất hàng năm hông đ ổi 6%/ năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm bác Bình thu về tổng tất cả số tiền lớn hơn 400 triệu đồng? A. 14 năm. B. 12 năm. C. 11 năm D. 13 năm. L ời gi ải Gọi số tiền mỗi năm bác Bình đóng vào công ty là A . Đặt q 1 6% 1,06 . Gọi n S là số tiền cả gốc và lãi sau năm thứ n , ta có: 1 2 2 1 1 1 S A A.6% Aq S (S A) (S A).6% (S A)q Aq Aq . <. n n n 1 n n 1 n 1 n 1 q1 S S A S A .6% S A .q Aq Aq Aq Aq. q1 . Để thu về tổng số tiền lớn hơn 400 triệu thì n n nq 400 q 1 400 q 1 q1 S 400 Aq. 400 q 1 n log 1 q 1 Aq Aq . Thay q 1,06;A 20 suy ra n 12,99 . Vậy sau ít nhất 13 năm bác Bình thu về tổng tất cả số tiền lớn hơn 400 triệu đồng. Chọn ý D. ✪ Câu 2 Một người gửi 100 triệu đồng vào tài khoẳn tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0,6%/ tháng, cứ sau mỗi tháng người đó rút ra 500 nghìn đồng. Hỏi sau đúng 36 lần rút tiền, số tiền còn lại trong tài khoản của người đó gần nhất với phương án nào dưới đây? (biết rằng lãi suất hông thay đ ổi và tiền lãi mỗi tháng tính theo số tiền có thực tế trong tài khoản của tháng đó). A. 108 triệu đồng. B. 102 triệu đồng. C. 104 triệu đồng. D. 106 triệu đồng. L ời gi ải Sau lần rút thứ nhất, số tiền còn lại là: 85 10 .1,006 5.10 (đồng). Sau lần rút thứ 2, số tiền còn lại là: Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC 8 5 5 10 .1,006 5.10 .1,006 5.10 2 86 10 . 1,006 5.10 . 1,006 1 (đồng). Sau lần rút thứ 3, số tiền còn lại là: 23 8 5 5 8 5 2 10 . 1,006 5.10 1,006 1 .1,006 5.10 10 . 1,006 5.10 1,006 1,006 1 (đồng). ... Một cách tổng quát, sau lần rút tiền thứ n , số tiền còn lại là: n 1 n 2 8 n 5 10 .1,006 5.10 . 1,006 1,006 ... 1,006 1 n 8 n 5 1,006 1 10 .1,006 5.10 . 1,006 1 (đồng). Vậy sau đúng 36 lần rút tiền thì số tiền còn lại là: 36 36 8 5 6 1,006 1 10 . 1,006 5.10 . 104.10 0,006 (đồng). Chọn ý B. ✪ Câu 3 Chị Lan có 400 triệu đồng mang đi gửi tiết iệm ở hai loại ì hạn hác nhau đều theo hình thức lãi ép. Chị gửi 200 triệu đồng theo ì hạn quý ( 3 tháng) với lãi suất 2,1% một quý, 200 triệu đồng còn lại chị gửi theo ì hạn tháng với lãi suất 0,73% một tháng. Sau hi gửi được đúng 1 năm, chị rút ra một nửa số tiền ở loại ì hạn theo quý và gửi vào loại ì hạn theo tháng. Hỏi sau đ úng 2 năm ể từ hi gửi tiền lần đầu, chị Lan thu được tất cả bao nhiêu tiền lãi (làm tròn đến hàng nghìn)? A. 79760000 đồng. B. 74813000 đồng. C. 65393000 đồng. D. 70656000 đồng. L ời gi ải Gọi 1 T là số tiền gửi theo quý và 2 T là số tiền gửi theo tháng trong năm thứ nhất. 3 T là số tiền gửi theo quý và 4 T là số tiền gửi theo tháng trong năm thứ hai. Trong 1 năm đầu ta có: 4 1 T 200. 1 0,021 (triệu đồng) 12 2 T 200. 1 0,0073 (triệu đồng) Trong năm thứ 2 ta có: 4 1 3 T T 1 0,021 2 (triệu đồng) 12 1 42 T T T 1 0,0073 2 (triệu đồng) Sau 2 năm tổng số tiền thu được là: 34 T T T 474813000 (đồng). ậy số tiền lãi chị Lan thu được là: 474813000 400000000 74813000 (đồng). | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Chọn ý B. ✪ Câu 4 Để chuẩn bị cho việc mua nhà, chị An thực hiện việc tiết kiệm bằng cách mỗi tháng gửi đều đặn vào ngân hàng 10 triệu đồng/tháng. Biết rằng trong thời gian chị An gửi tiền thì ngân hàng áp dụng mức lãi suất 0,65% tháng và chị An không rút lãi lần nào. Hỏi chị An phải gửi tối thiểu bao nhiêu tháng để có được số tiền 500 triệu đồng bao gồm cả tiền gốc và tiền lãi? A. 41 tháng. B. 42 tháng. C. 43 tháng. D. 44 tháng. L ời gi ải Chị An hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền như nhau là A đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất r% một tháng. Cuối tháng thứ 1, chị An có số tiền là: 1 P A A.r A 1 r Đầu tháng thứ 2, chị An có số tiền là: 1 P A A 1 r A A A 1 r A 1 1 r Cuối tháng thứ 2, chị An có số tiền là: 2 2 1 1 P P P .r A A 1 r A A 1 r .r A 1 r 1 r Đầu tháng thứ 3, chị An có số tiền là: 22 2 P A A 1 r 1 r A A 1 1 r 1 r Cuối tháng thứ 3, chị An có số tiền là: 2 2 3 2 3 2 2 P P P .r A 1 1 r 1 r A 1 1 r 1 r .r A 1 r 1 r 1 r < Cuối tháng thứ n, chị An có số tiền là: n n n 1 n 2 2 n S P A 1 r 1 r 1 r .... 1 r 1 r n n 1 r 1 P A 1 r r trong đó A 10 (triệu đồng), r 0,65% và n là số tháng gửi. Theo giả thiết n n n 1 r 1 500r P 500 A 1 r 500 1 r 1 r A 1 r 1 r 1 0.0065 500r 500.0,0065 n log 1 log 1 43,19 A 1 r 10 1 0,0065 . ì n nguyên dương nên n 44 . Vậy phải gửi tối thiểu 44 tháng thì chị An mới có được số tiền 500 triệu đồng. Chọn ý D. Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC ✪ Câu 5 Vợ chồng anh A dự định lương của vợ dùng chi trả sinh hoạt phí, lương của anh A được gửi tiết kiệm hàng tháng. Biết đầu tháng này anh mới được tăng lương nhận mức lương 6 triệu đồng/tháng và cứ sau 2 năm lương của anh được tăng lên 10% so với 2 năm trước đó. Giả sử rằng dự định của vợ chồng anh được thực hiện từ đầu tháng này và lãi suất ngân hàng ổn định ở 0,5 % một tháng. Tính số tiền vợ chồng anh A tiết kiệm được sau 50 tháng. A. 341.570.000. B. 336.674.000. C. 384.968.000. D. 379.782.000. L ời gi ải Số tiền vợ chồng anh A tiết kiệm đư ợc sau 2 năm (24 tháng) là: 24 1 6.(1 0,5%).[(1 0,5%) 1] T 0,5% (triệu đ ồng) Số tiền trên đư ợc hư ởng lãi suất 26 tháng tiếp theo nên thành 26 1 T .(1 0, 5%) Số tiền có đư ợc nhờ tiết kiệm tiền lương c ủa anh A trong 24 tháng tiếp theo là 24 2 6.(1 10%).(1 0,5%).[(1 0,5%) 1] T 0,5% Số tiền trên đư ợc hư ởng lãi suất 2 tháng tiếp theo nên thành 2 2 T .(1 0, 5%) Số tiền có đư ợc nhờ tiết kiệm tiền lương c ủa anh A trong 2 tháng (thứ 49+50) là 22 3 6.(1 10%) .(1 0,5%).[(1 0,5%) 1] T 0,5% Vậy tổng số tiền vợ chồng anh A tiết kiệm đư ợc sau 50 tháng là 26 2 1 2 3 T .(1 0,5%) T .(1 0,5%) T 33667400 đồng Chọn ý B. ✪ Câu 6 Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất 0,5% / tháng (lãi tính theo từng tháng và cộng dồn vào gốc). Kể từ lúc gửi sau mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi người đó rút 10 triệu đồng để chi tiêu (nếu tháng cuối cùng hông đ ủ 10 triệu thì rút hết). Hỏi trong bao lâu kể từ ngày gửi người đó rút hết tiền trong tài khoản? (giả sử lãi suất hông thay đ ổi trong quá trình người đó gửi). A. 136 tháng. B. 137 tháng. C. 138 tháng. D. 139 tháng. L ời gi ải Số tiền người đó gửi ban đầu là a 1000 triệu đồng, lãi suất hàng tháng m 0,005 ; số tiền người đó rút ra hàng tháng là r 10 triệu đồng. Sau tháng thứ nhất (người đó chưa rút 10 triệu) người đó thu được số tiền là 1 T a 1 m . | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Đầu tháng thứ hai người đó có số tiền là a 1 m r Cuối tháng thứ hai(người đó chưa rút 10 triệu) người đó có số tiền là 2 2 T a 1 m r 1 m a 1 m r 1 m . Đầu tháng thứ ba người đó có số tiền là 2 a 1 m r 1 m r . Cuối tháng thứ ba (người đó chưa rút 10 triệu) người đó có số tiền là 32 3 T a 1 m r 1 m r 1 m . Cứ như thế số tiền người đó có cuối tháng thứ n là (người đó chưa rút 10 triệu) n n n 1 n 2 n n 1 m 1 m T a 1 m r 1 m r 1 m ... r 1 m a 1 m r. m . Người đó rút hết tiền trong tài khoàn khi n n nn 1 m 1 m T r 0 T 10 a 1 m r. 10 m thay số ta được n nn 1,005 1,005 1000.1,005 10. 10 1,005 2 n 138,975 0,005 . Vậy sau 139 tháng thì người đó rút hết tiền. Chọn ý D. ✪ Câu 7 Anh An mới đi làm, hưởng lương 8 triệu đồng một tháng và sẻ được nhận lương vào cuối tháng làm việc. An kí hợp đồng với ngân hàng trích tự động 1 10 tiền lương của mình mỗi tháng để gửi vào tài khoản tiết kiệm, lãi suất 0,45% /tháng theo thể thức lãi kép. Kể từ tháng thứ 7, anh An được tăng lương lên mức 8 triệu 500 nghìn đồng mỗi tháng. Sau một năm đi làm, tài ho ản tiết kiệm của anh An có bao nhiêu tiền ( Đơn vị: triệu đồng, kết quả lấy đến 3 chữ số sau dấu phẩy) A. 10,148 triệu (đ) B. 10,144 triệu (đ) C. 10,190 triệu (đ) D. 10,326 triệu (đ) L ời gi ải Sau 1 năm với lãi suất r thì: Khoản lương tiết kiệm được của tháng 1: 11 0.8. 1 r Khoản lương tiết kiệm được của tháng 2: 10 0.8. 1 r < Khoản lương tiết kiệm được của tháng 6: 6 0.8. 1 r Khoản lương tiết kiệm được của tháng 7: 5 0.85. 1 r Khoản lương tiết kiệm được của tháng 8: 4 0.85. 1 r Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC < Khoản lương tiết kiệm được của tháng 12: 0 0.85. 1 r Vậy tổng tiền tiết kiệm được từ khoản lương sau 1 năm là 11 6 5 0 T 0.8 1 r ... 1 r 0.85 1 r ... 1 r 66 6 1 r 1 1 r 1 0,8. 1 r 0,85 rr 66 6 1,0045 1 1,0045 1 0,8.1,0045 . 0,85. 10,144 0,0045 0,0045 (triệu đồng). Chọn ý B. ✪ Câu 8 Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với lương năm đầu là 72 triệu đồng, cứ sau 3 năm thì tăng lương 10%. Nếu tính theo hợp đồng thì sau đúng 21 năm, người đó nhận được tổng số tiền của công ty là A. 7 216 1,1 1 (triệu đồng). B. 7 7200 1,1 1 (triệu đồng). C. 7 720 1,1 1 (triệu đồng). D. 7 2160 1,1 1 (triệu đồng). L ời gi ải Số tiền lương sau 3 năm đầu tiên người đó nhận được là 72.3 216 (triệu đồng). Kể từ năm thứ 4 đến năm thứ 6 , mỗi năm người đó nhận được số tiền lương là 72. 1 10% 72.1,1 (triệu đồng). Số tiền lương sau 6 3.2 năm người đó nhận được là 216 3.72.1,1 216. 1 1,1 (triệu đồng). Kể từ năm thứ 7 đến năm thứ 9 , mỗi năm người đó nhận được số tiền lương là 2 72.1,1. 1 10% 72.1,1 (triệu đồng). Số tiền lương sau 9 3.3 năm người đó nhận được là 22 216. 1 1,1 3.72.1,1 216.(1 1,1 1,1 ) (triệu đồng). Tương tự như vậy, số tiền lương sau 21 3.7 năm người đó nhận được là 26 216.(1 1,1 1,1 ... 1,1 ) (triệu đồng). Mặt khác ta thấy 1; 1,1; 2 1,1 ; <; 6 1,1 là một cấp số nhân gồm 7 số hạng với 1 u 1, q 1,1. Tổng 7 số hạng của cấp số nhân trên là 7 67 7 1. 1,1 1 S 1 1,1 ... 1,1 10. 1,1 1 1,1 1 . Vậy sau đúng 21 năm, số tiền lương người đó nhận được là | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 77 216.10. 1,1 1 2160 1,1 1 (triệu đồng). Chọn ý D. ✪ Câu 9 Ông A vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% một tháng theo thỏa thuận: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì ông bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng ông A sẽ trả cho ngân hàng 9 triệu đồng cho đến khi hết nợ (biết rằng tháng cuối cùng có thể trả dưới 9 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì ông A trả hết nợ cho ngân hàng? A. 22 tháng. B. 23 tháng. C. 24 tháng. D. 25 tháng L ời gi ải Số tiền ông A còn nợ sau n tháng: n n n 1 r 1 T X 1 r T r . (Trong đó X: số tiền ông A vay ngân hàng, r: lãi suất, T: số tiền ông A hoàn nợ mỗi kì). Để trả hết nợ thì n là số nguyên dương nhỏ nhất để n T0 Áp dụng bài toán ta được: Ông A trả nợ hết ngân hàng khi: n n 0,6 11 0,6 100 200. 1 9. 0 0,6 100 100 nn 200. 1,006 1500. 1,006 1 n 1500 1300. 1,006 n 15 1,006 13 1,006 15 n log 23,92 13 . Từ đó suy ra sau 24 tháng thì ông A trả hết nợ. Chọn ý C. ✪ Câu 10 Chị Minh muốn mua một chiếc điện thoại trị giá 20 triệu đồng, nhưng vì chưa đủ tiền nên chị chọn mua bằng hình thức trả góp hàng tháng (số tiền trả góp mỗi tháng như nhau) với lãi suất 30% / năm và trả trước 5 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng chị phải trả số tiền gần nhất với số tiền nào dưới đây để sau đúng 1 năm ể từ ngày mua điện thoại, chị sẽ trả hết nợ, biết kì trả nợ đầu tiên sau ngày mua điện thoại đúng một tháng và chỉ tính lãi hàng tháng trên số dư nợ thực tế của tháng đó. A. 1,42 triệu. B. 4,7 triệu. C. 1,46 triệu. D. 1,57 triệu. L ời gi ải Số tiền chị Minh còn nợ lại sau khi trả 5 triệu là 15 triệu đồng lãi suất 2,5% / tháng. Gọi A triệu là số tiền hàng tháng chị Minh trả cửa hàng điện thoại. Sau 1 tháng số tiền còn nợ lại lại là: 15(1 0,025) A . Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Sau 2 tháng số tiền còn nợ lại là: 2 15(1 0,025) A 1 0,025 A . Sau 3 tháng số tiền còn nợ lại là: 32 15(1 0,025) A(1 0,025) A(1 0,025) A . < Sau 12 tháng số tiền còn nợ lại là: 12 11 15(1 0,025) A (1 0,025) ... (1 0,025) 1 0 12 12 (1 0,025) 1 15(1 0,025) A 0 0,025 12 12 15.0,025.(1 0,025) A (1 0,025) 1 A 1,462306905 . Chọn ý C. ✪ Câu 11 Ông Bình vay vốn ngân hàng với số tiền 100000000 đồng. Ông dự định sau đúng 5 năm thì trả hết nợ theo hình thức: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi, theo cách đó, số tiền a mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là 1,2% và hông thay đ ổi trong thời gian ông hoàn nợ. A. 59 5 60 12.10 1,012 a 1,012 1 (đồng). B. 60 5 60 12.10 1,012 a 1,012 1 (đồng). C. 60 6 60 12.10 1,012 a 1,012 1 (đồng). D. 59 6 60 12.10 1,012 a 1,012 1 (đồng). L ời gi ải Gọi n m, r, T , a lần lượt là số tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng tháng, tổng số tiền vay còn lại sau n tháng, số tiền trả đều đặn mỗi tháng . Sau khi hết tháng thứ n thì còn lại: nn n a T m r 1 r 1 1 . r Ch ứng minh: Gọi n m, r, T , a lần lượt là số tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng tháng, tổng số tiền vay còn lại sau n tháng, số tiền trả đều đặn mỗi tháng . Sau khi hết tháng thứ nhất n1 thì còn lại: 1 T m r 1 a. Sau khi hết tháng thứ hai n2 thì còn lại: 2 T m r 1 a r 1 a 2 2 2 2 a m r 1 a r 1 a m r 1 a r 2 m r 1 r 1 1 . r | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Sau khi hết tháng thứ ba n3 thì còn: 22 3 a T m r 1 r 1 1 r 1 a r 33 a m r 1 r 1 1 . r < Sau khi hết tháng thứ n thì còn lại: nn n a T m r 1 r 1 1 . r Áp dụng công thức trên, ta có: 60 5 n 60 5 n n 60 60 1,2 12.10 1 m r 1 r 12.10 1,012 100 T 0 a r 1 1 1,012 1 1,2 11 100 (đồng). Chọn ý B. ✪ Câu 12 Năm 2019 em Thành đã trúng tuyển vào trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, ì gia đình em hó hăn, đ ể có tiền đi học trong 5 năm nên vào đầu tháng 9/2019 em đã làm thủ tục vay vốn sinh viên 24.000.000 đồng/1 năm (vay vốn liên tục trong 5 năm và thủ tục vay vốn hằng năm được thực hiện vào đầu tháng 9) với lãi suất là 0,6%/tháng. Sau đúng hết 5 năm em Thành ra trường và i ếm được việc làm nên em trả cho ngân hàng mỗi tháng a đồng. Giá trị của a gần nhất với số nào trong các số dưới đây để trong 5 năm em Thành có thể trả hết nợ vay ngân hàng. A. 3.500.000 đồng. B. 3.000.000 đồng. C. 2.770.000 đồng. D. 3.270.000 đồng. L ời gi ải Đặt q 1 r% 1,006 Gọi n P là số tiền vay mà em Thành nợ ngân hàng sau n năm 1 n 5 . Sau 1 năm em Thành nợ: 12 1 P 24.q (triệu đồng). Sau 2 năm em Thành nợ: 12 24 12 12 12 21 P P 24 .q 24.q 24q 24q q 1 (triệu đồng) . < Sau 5 năm em Thành nợ: 12 12 48 36 24 12 54 P P 24 .q 24q q q q q 1 (triệu đồng). 60 12 12 1q 24q 1q (triệu đồng). Gọi n Q là số tiền mà em Thành còn nợ ngân hàng sau hi trả nợ được n tháng n1 . Sau 1 tháng em Thành còn nợ là: 15 Q P .q a (triệu đồng). Tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit | | Quà Trung thu 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Sau 2 tháng em Thành còn nợ là: 2 2 1 5 Q Q .q a P .q a.q a (triệu đồng). ... Sau n tháng em Thành còn nợ là: n n 1 n 2 n n 1 5 Q Q .q a P .q a.q a.q ... a (triệu đồng). n n 1 n 2 5 P .q a. q q ... 1 n n 5 1q P .q a. 1q . Để em Thành sau 5 năm đi làm có thể trả được nợ thì 60 Q0 hay 60 60 5 1q P .q a. 1q 72 60 60 12 60 12 12 24q . 1 q 1 q 1 q 24q . .q a. a 2,976 1 q 1 q 1 q (triệu đồng) Chọn ý B. ✪ Câu 13 Bạn Nam là sinh viên của một trường Đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm. Đầu mỗi năm học, bạn ấy vay ngân hàng số tiền 10 triệu đồng với lãi suất là 4% . Tính số tiền mà Nam nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó, ngân hàng hông thay đổi lãi suất ( kết quả làm tròn đến nghìn đồng). A. 46794000 đồng. B. 44163000 đồng. C. 42465000 đồng. D. 41600000 đồng. L ời gi ải Tổng số tiền Nam vay cả gốc lẫn lãi sau 4 năm: 6 4 6 3 6 2 6 6 2 3 4 6 A 10 (1 0,04) 10 (1 0,04) 10 (1 0,04) 10 (1 0,04) 10 (1 0,04) 1 (1 0,04) (1 0,04) (1 0,04) 1 (1 0,04) 10 (1 0,04) 44163256 1 (1 0,04) Chọn ý B. ✪ Câu 14 Một người vay ngân hàng 200.000.000 đồng theo hình thức trả góp hàng tháng trong 48 tháng. Lãi suất ngân hàng cố định 0,8% / tháng. Mỗi tháng người đó phải trả (l ần đầu tiên phải trả là 1 tháng sau khi vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho 48 và số tiền lãi sinh ra từ số tiền gốc còn nợ ngân hàng. Tổng số tiền lãi người đó đã trả trong toàn bộ quá trình nợ là bao nhiêu? A. 38.400.000 đồng. B.38.400.000 đồng. C.76.800.000 đồng. D.39.200.000 đồng. L ời gi ải Số tiền phải trả tháng thứ nhất | tuyển tập các bài toán đặc sắc mũ và logarit Qùa Trung Thu 2019 | TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 200 200.0,8% 48 triệu đồng Số tiền phải trả tháng thứ hai 200 200 200 200 200 0,8% 47 .0,8% 48 48 48 48 triệu đồng Số tiền phải trả tháng thứ ba 200 200 200 200 200 2 .0,8% 46 .0,8% 48 48 48 48 triệu đồng < Số tiền phải trả sau tháng thứ 48 200 200 200 200 200 47 0,8% 1. .0,8% 48 48 48 48 triệu đồng Vậy nên tổng số tiền lãi phải trả là 200 200 200 1. 0,8% 2. 0,8% 47. 0,8% 200.0,8% 48 48 48 48(1 48) 200 200 0,8%(1 2 48) 0,8% 39,2 48 48 2 Chọn ý D.