Đề thi HSG P1

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên tập số thực $\mathbb{R}$và có đồ thị ${f}'\left( x \right)$như hình sau

Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x$, hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng

Cho \[x,\text{ }y\] thỏa mãn $\sqrt{2x+3}+\sqrt{y+3}=4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\sqrt{x+2}+\sqrt{y+9}$.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$có bảng biến thiên như sau.

Đồ thị hàm số \[y=\left| f\left( \text{x}-2017 \right)+2018 \right|\] có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\]có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hỏi phương trình \[{{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2 \right)}^{3}}-3{{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}+2=0\]có bao nhiêu nghiệm thực dương phân biệt?

Biết hàm số $f\left( x \right)-f\left( 2x \right)$ có đạo hàm bằng 18 tại $x=1$ và đạo hàm bằng 1000 tại $x=2$. Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)-f\left( 4x \right)$ tại $x=1$.

Cho hàm số $g\left( x \right)=\left( 1+x+\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{3}}}{3!}+...+\frac{{{x}^{n}}}{n!} \right)\left( 1-x+\frac{{{x}^{2}}}{2!}-\frac{{{x}^{3}}}{3!}+...-\frac{{{x}^{n}}}{n!} \right)$ với $x>0$ và n là số nguyên dương lẻ $\ge $ 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng. Chi phí cho $n$ máy chạy trong một giờ là \[10\left( 6n\text{ }+10 \right)\] nghìn đồng. Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy để được lãi nhiều nhất?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\frac{x^{2}}{2}-mx+ln(x-1)$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$

Cho hàm số $y={{\log }_{2018}}\left( \frac{1}{x} \right)$ có đồ thị $\left( {{C}_{1}} \right)$ và hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( {{C}_{2}} \right)$ Biết $\left( {{C}_{1}} \right)$và $\left( {{C}_{2}} \right)$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Hỏi hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$nghịch biến trên khoảng nào sau đây.

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \[y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^{4}}+3\] có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \[y=\frac{mx+1}{x+m}\] đồng biến trên khoảng \[(2;+\infty )\]

Cho các số thực x, y, z  thay đổi và thỏa mãn điều kiện\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P={{\left( xy+yz+2xz \right)}^{2}}-\frac{8}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}-xy-yz+2}\]

Cho biểu thức $f\left( x \right)=\frac{1}{{{2018}^{x}}+\sqrt{2018}}.$

Tính tổng $S=\sqrt{2018}\left[ f\left( -2017 \right)+f\left( -2016 \right)+...+f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)+...+f\left( 2018 \right) \right].$

Cho các số thực $x,y$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn $3{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}=5$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}^{2}}+xy+2{{y}^{2}}$ thuộc khoảng nào sau đây?

Tìm $m$ để phương trình ${{2}^{\left| x \right|}}=\sqrt{{{m}^{2}}-{{x}^{2}}}$ có 2 nghiệm phân biệt

Cho hàm số $y={{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+m$ với m là tham số, có đồ thị là $\left( C \right)$. Biết rằng đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}},\,{{x}_{3}},$ thỏa mãn ${{x}_{4}}x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}=30$ khi $m={{m}_{0}}.$ Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng ?

Cho hàm số \[y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2\]. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân.

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau.

\

Đồ thị của hàm số \[y=\text{ }\left| f( \right|x-\text{ }1\left| )\text{ }-n \right|\text{ }+{{m}^{2018}}\] có bao nhiêu điểm cực trị với m, n là tham số thực và 2 < n < 3 ?

Cho hàm số$y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $\frac{1}{3}f\left( \frac{x}{2}+1 \right)+x=m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2;2 \right]$?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0;2018] để hệ phương trình    có nghiệm ?

Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn hình). 

Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng cách màn ảnh bao nhiêu sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định khoảng cách đó. 

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng ?

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi phương trình $f\left( \sqrt{1-\operatorname{s}\text{in}x} \right)=f\left( \sqrt{1+\cos x} \right)$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( -3,2 \right).$

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho GTNN của hàm số $y=\left| {{\sin }^{4}}x+\cos 2x+m \right|$ bằng 2. Số phần tử của S là

Tìm m để hàm số \[y=\frac{{{x}^{2}}-4\text{x}}{x(x+m)}\]đồng biến trên [1;+∞)

Cho hàm số$f\left( x \right)$xác định trên R và hàm số $y=f'\left( x \right)$có đồ thị như hình bên dưới:

Xét các khẳng định sau:

(I) Hàm số$y=f\left( x \right)$có ba cực trị.

(II) Phương trình $f\left( x \right)=m+2018$có nhiều nhất ba nghiệm.

(III) Hàm số$y=f\left( x+1 \right)$nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$.

Số khẳng định đúng là:                    

Cho hàm số $y=f\left( x \right)\left( x-1 \right)$liên tục trên $\mathbb{R}$và có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $f\left( x \right)\left| x-1 \right|=m$ có số nghiệm lớn nhất.

Cho hàm số $f\left( x \right)={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$ . Gọi ${{m}_{0}}$ là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn $f\left( m \right)+f\left( 2m-{{2}^{2}} \right)<0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tìm trên đường thẳng \[x=3\] điểm M có tung độ là số nguyên nhỏ nhất mà qua đó có thể kẻ tới đồ thị \[\left( C \right)\] của hàm số \[y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\] đúng 3 tiếp tuyến phân biệt. 

Gọi \[{{x}_{1}}\], ${{x}_{2}}$ là các điểm cực trị của hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}m{{x}^{2}}-4x-10$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $S=\left( x_{1}^{2}-1 \right)\left( x_{2}^{2}-9 \right)$ là.