`a)` $BC$ là đường kính của $(O)$; $E;D\in (O)$
`=>\hat{BEC}=\hat{BDC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>CE`$\perp AB$ tại $E$
`\qquad BD`$\perp AC$ tại $D$
`=>CE;BD` là hai đường cao của $∆ABC$
Ta lại có $AK\perp BC$ tại $K$ (gt)
`=>AK` là đường cao $∆ABC$
`=>AK;BD;CE` đồng quy tại trực tâm $H$ của $∆ABC$ (tính chất $3$ đường cao tam giác)
Vậy `AK` đi qua giao điểm $H$ của $CE$ và $BD$ (đpcm)
$\\$
`b)` `\hat{EOD}=90°` (gt)
`=>∆EOD` vuông tại $O$
`=>DE^2=OD^2+OE^2` (định lý Pytago)
`<=>DE^2=R^2+R^2=2R^2`
`=>DE=R\sqrt{2}`
Ta có:
`\hat{EOD}=sđ\stackrel\frown{DE}` (góc ở tâm chắn cung $DE$)
`=>sđ\stackrel\frown{DE}=90°`
`\hat{ABD}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{DE}=1/ 2 .90°=45°` (góc nội tiếp chắn cung $DE$)
$∆ABD$ vuông tại $D$
`=>\hat{BAD}+\hat{ABD}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{BAD}=90°-\hat{ABD}=90°-45°=45°`
`=>\hat{BAC}=45°`
$\\$
`c)` $∆ABD$ vuông tại $D$ có `\hat{ABD}=\hat{BAD}=45°`
`=>∆ABD` vuông cân tại $D$
`=>AD=BD`
Xét $∆ADH$ và $∆BDC$ có:
`\hat{ADH}=\hat{BDC}=90°`
`AD=BD` (c/m trên)
`\hat{DAH}=\hat{DBC}` (cùng phụ `\hat{BCD}`)
`=>∆ADH=∆BDC(g-c-g)`
`=>AH=BC`
Mà $BC$ là đường kính của $(O)$
`=>BC=2R`
`=>AH=2R`
