Đáp án:
`A_{min}=-1280` khi `x=8;y=4`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x;y\ge 0`
`\qquad 7<x+y\le 12`
`=>7-(x+y)<0; x^2y\ge 0`
`=> A=x^2y(7-x-y)\le 0`
$\\$
Vì `7<x+y\le 12`
`=>-7> -x-y\ge -12`
`=> 0> 7-x-y\ge -5`
`=>|7-x-y|\le 5`
$\\$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với `3` số không âm `x/2;x/2;y` ta có:
`\qquad x/2+x/2+y\ge 3`$\sqrt[3]{\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{2}y}=3\sqrt[3]{\dfrac{x^2y}{4}}$
`=>x+y\ge 3`$\sqrt[3]{\dfrac{x^2y}{4}}$
`=>12\ge 3`$\sqrt[3]{\dfrac{x^2y}{4}}$
`=>4 \ge `$\sqrt[3]{\dfrac{x^2y}{4}}$
`=>4^3 \ge {x^2y}/4`
`=>4^4\ge x^2y=>x^2y\le 256`
Ta có:
`\qquad |A|=|x^2y(7-x-y)|=x^2y.|7-x-y|`
`=>|A|\le 256. 5=1280`
Mà `A<0=>A\ge -1280`
Dấu "=" xảy ra khi:
$\quad \begin{cases}\dfrac{x}{2}=y\\x+y=12\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}x=2y\\2y+y=12\end{cases}$`<=>`$\begin{cases}x=8\\y=4\end{cases}$
Vậy $A_{min}=-1280$ khi `x=8;y=4`
