(1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết:Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) => H là trung điểm của AB HD² = AH² + AD² = a² => HD = a. SH vuông góc với (ABCD) → SH vuông góc với HD => SH² = SD² – HD² = a² – a² = a² => SH = a VS.ABCD = SH.SABCD = .a.a² = a³ (đvtt) Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên BD; F là hình chiếu vuông góc của H lên SE; K là hình chiếu vuông góc của A lên (SBD) Ta có: SH vuông góc với BD vì SH vuông góc với (ABCD) và HE vuông góc với BD Nên BD vuông góc với mặt phẳng (SHE) => BD vuông góc với HF mà HF vuông góc với SE Nên HF vuông góc với mặt phẳng (SBD) => B, F, K thẳng hàng và HF // AK d(A; (SBD)) = AK mà HF / AK = 1/2 => AK = 2HF Mặt khác BHE là Δ vuông cân tại H => HE = BE = ta có SE² = SH² + HE² = a² + a² = a² => SE = = 3HE HF = SH.HE / SE = a Vậy d(A; (SBD)) = a