Đáp án: \(A = \frac{1010}{3027}\)
Giải thích các bước giải:
Đặt \(A = \left(1 -\frac{1}{1+2}\right).\left(1 -\frac{1}{1+2+3}\right).\left(1- \frac{1}{1+2+3+4}\right) .....\left(1- \frac{1}{1+2+3 +..+2018}\right).\)
Ta xét trường hợp tổng quát.
Tổng n số hạng từ 1 đến n là: \(\frac{n(n+1)}{2}\)
\(1 - \frac{1}{1+2+3+4+...+n} = 1 -\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = 1 -\frac{2}{n(n+1)} = \frac{n^2 + n -2}{n(n+1)} = \frac{n^2 + 2n -n -2}{n(n+1)} = \frac{(n^2 +2n) -(n+2)}{n(n+1)} = \frac{n(n+2) - (n+2)}{n(n+1)} = \frac{(n-1).(n+2)}{n(n+1)}\)
Với n = 2 ta có: \(1 - \frac{1}{1+2} = \frac{1.4}{2.3}\)
Với n = 3 ta có: \( 1 - \frac{1}{1+2+3} = \frac{2.5}{3.4}\)
Với n= 4 ta có: \(1 -\frac{1}{1+2+3+4} = \frac{3.6}{4.5}\)
....
Với n = 2006 ta có: \(1 - \frac{1}{1+2+3+...+ 2018} = \frac{2017. 2020}{2018. 2019}\)
Vậy: \(A = \frac{1.4}{2.3}. \frac{2.5}{3.4}. \frac{3.6}{4.5} .....\frac{2017. 2020}{2018. 2019}\)
\(A = \frac{1}{3} .\frac{2020}{2018} = \frac{1010}{3027}\)
