Đáp án:
\[\frac{{265}}{{357}}\]
Giải thích các bước giải:
Ta có công thức tổng quát sau:
\[\begin{array}{l}
1 - \frac{2}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right) - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\\
= \frac{{{n^2} + n - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{\left( {{n^2} - n} \right) + \left( {2n - 2} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\\
= \frac{{n\left( {n - 1} \right) + 2\left( {n - 1} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{n\left( {n + 1} \right)}}
\end{array}\]
Áp dụng ta có:
\[\begin{array}{l}
\left( {1 - \frac{2}{{6.7}}} \right)\left( {1 - \frac{2}{{7.8}}} \right)\left( {1 - \frac{2}{{8.9}}} \right)....\left( {1 - \frac{2}{{51.52}}} \right)\\
= \frac{{5.8}}{{6.7}}.\frac{{6.9}}{{7.8}}.\frac{{7.10}}{{8.9}}.....\frac{{50.53}}{{51.52}}\\
= \frac{{\left( {5.6.7.....50} \right)\left( {8.9.10....53} \right)}}{{\left( {6.7.8....51} \right)\left( {7.8.9....52} \right)}}\\
= \frac{5}{{51}}.\frac{{53}}{7} = \frac{{265}}{{357}}
\end{array}\]
