Đặt M = $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3^{2}}$ + $\frac{3}{3^{3}}$ + $\frac{4}{3^{4}}$ +...+ $\frac{100}{3^{100}}$
⇒ 3M = 3 . ($\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3^{2}}$ + $\frac{3}{3^{3}}$ + $\frac{4}{3^{4}}$ +...+ $\frac{100}{3^{100}}$)
⇒ 3M = 1 + $\frac{2}{3}$ + $\frac{3}{3^{2}}$ + $\frac{4}{3^{3}}$ +...+ $\frac{100}{3^{99}}$
⇒ 3M - M = ( 1 + $\frac{2}{3}$ + $\frac{3}{3^{2}}$ + $\frac{4}{3^{3}}$ +...+ $\frac{100}{3^{99}}$ ) - ($\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3^{2}}$ + $\frac{3}{3^{3}}$ + $\frac{4}{3^{4}}$ +...+ $\frac{100}{3^{100}}$)
⇒ 2M = 1 + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3^{2}}$ + $\frac{1}{3^{3}}$ + $\frac{1}{3^{4}}$ +...+ $\frac{1}{3^{99}}$ + $\frac{100}{3^{100}}$
⇒ 6M = 6 . (1 + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3^{2}}$ + $\frac{1}{3^{3}}$ + $\frac{1}{3^{4}}$ +...+ $\frac{1}{3^{99}}$ + $\frac{100}{3^{100}}$)
⇒ 6M = 3 + 1 + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3^{2}}$ + $\frac{1}{3^{3}}$ +...+ $\frac{1}{3^{98}}$ + $\frac{100}{3^{99}}$
⇒ 6M - 2M = (3 + 1 + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3^{2}}$ + $\frac{1}{3^{3}}$ +...+ $\frac{1}{3^{98}}$ + $\frac{100}{3^{99}}$) - (1 + $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3^{2}}$ + $\frac{1}{3^{3}}$ + $\frac{1}{3^{4}}$ +...+ $\frac{1}{3^{99}}$ + $\frac{100}{3^{100}}$)
⇒ 4M = 3 - $\frac{100}{3^{99}}$ - $\frac{1}{3^{99}}$ + $\frac{100}{3^{100}}$
⇒ 4M = 3 - $\frac{101}{3^{99}}$ + $\frac{100}{3^{100}}$
Ta có: $\frac{100}{3^{100}}$ - $\frac{101}{3^{99}}$ < 0
⇒ 3 + $\frac{100}{3^{100}}$ - $\frac{101}{3^{99}}$ < 3
⇒ 4M < 3 ⇒ M < $\frac{3}{4}$ (đpcm)
