Hướng dẫn trả lời:
1.4)
Ta có:
a) `5 > 0 → \sqrt{5} > 0` → `\sqrt{5}` có căn bậc hai.
b) `1,5 > 0` → `1,5` có căn bậc hai.
c) `-0,1 < 0` → `- 0,1` không có căn bậc hai.
d) `9 > 0 → \sqrt{9} > 0` → `- \sqrt9` có căn bậc hai.
Do đó các số có căn bậc hai là: a) `\sqrt{5}`; b) `1,5`; c) `- \sqrt9`.
Giải thích:
`\sqrt{a}` tồn tại (hay có nghĩa) ⇔ `a ≥ 0`
1.5)
Ta có:
a) `(x - 4)cdot(x - 6) + 1`
`= x^2 - 10x + 24 + 1`
`= x^2 - 10x + 25`
`= x^2 - 2cdotxcdot5 + 5^2`
`= (x - 5)^2`
Vì `(x - 5)^2 ≥ 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}` nên `(x - 4)cdot(x - 6) + 1 ≥ 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}`
→ `(x - 4)cdot(x - 6) + 1` có căn bậc hai.
b) `(3 - x)cdot(x - 5) - 4`
`= 8x - 15 - x^2 - 4`
`= 8x - 19 - x^2`
`= - x^2 - 8x - 19`
`= - x^2 - 8x - 16 - 3`
`= - (x^2 + 8x + 16) - 3`
`= - (x^2 + 2cdotxcdot4 + 4^2) - 3`
`= - (x + 4)^2 - 3`
Vì `- (x + 4)^2 ≤ 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}` nên `- (x + 4)^2 - 3 ≤ 3 < 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}`
Hay `(3 - x)cdot(x - 5) - 4 < 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}`
`→ (3 - x)cdot(x - 5) - 4` không có căn bậc hai.
c) `- x^2 + 6x - 9`
`= - (x^2 - 6x + 9)`
`= - (x^2 - 2cdotxcdot3 + 3^2)`
`= - (x - 3)^2`
Vì `(x - 3)^2 ≥ 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}` nên `- (x - 3)^2 ≤ 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}`
`→ - x^2 + 6x - 9` không có căn bậc hai.
d) `- 5x^2 + 8x - 4`
`= - 5.(x^2 - 8/5x + 4/5)`
`= - 5.(x^2 - 8/5x + 16/25 + 4/25)`
`= - 5.{[x^2 - 2cdot4/5cdotx + (4/5)^2] + 4/25}`
`= - 5.[(x - 4/5)^2 + 4/25]`
Vì `(x - 4/5)^2 ≥ 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}` nên `(x - 4/5)^2 + 4/25 ≥ 4/25 ∀ x ∈ \mathbb{Z}`
`→ -5.[(x - 4/5)^2 + 4/25] ≤ -5cdot4/25 = -4/5 < 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}`
Hay `- 5x^2 + 8x - 4 < 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}`
`→ - 5x^2 + 8x - 4` không có căn bậc hai.
e) `xcdot(x - 1)cdot(x + 1)cdot(x + 2) + 1`
`= x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1`
Xem lại đề.
f) `x^2 + 20x + 101`
`= x^2 + 20x + 100 + 1`
`= (x^2 + 20x + 100) + 1`
`= (x^2 + 2cdotxcdot10 + 10^2) + 1`
`= (x + 10)^2 + 1`
Vì `(x + 10)^2 ≥ 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}` nên `(x + 10)^2 + 1 ≥ 1 > 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}`
Hay `x^2 + 20x + 101 > 0 ∀ x ∈ \mathbb{Z}`
`→ x^2 + 20x + 101` có căn bậc hai.
Do đó các biểu thức a) `(x - 4)cdot(x - 6) + 1` và f) `x^2 + 20x + 101` có căn bậc hai.
Giải thích:
`\sqrt{a}` tồn tại (hay có nghĩa) ⇔ `a ≥ 0`
