Đáp án:
$1)f'(4)=\dfrac{15}{2}$
$2) 0<m<2$
Giải thích các bước giải:
$ 1)\\ f(x)=ax^2-2\sqrt{x}\\ f'(x)=2ax-\dfrac{2}{2\sqrt{x}}=2ax-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\ f'(1)=1\Leftrightarrow 2a-1=1\\ \Leftrightarrow a=1\\ \Rightarrow f'(x)=2x-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\ f'(4)=2.4-\dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac{15}{2}\\ 2)f(x)=\dfrac{1}{3}mx^3-\dfrac{5}{2}x^2+mx\\ f'(x)=mx^2-5x+m$
$\circledast m=0, f'(x)=-5x; f'(x)=2 \Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{5}($1 nghiệm, không thoả yêu cầu đề)
$\circledast m \ne 0 \\ f'(x)=2\\ \Leftrightarrow mx^2-5x+m=2\\ \Leftrightarrow mx^2-5x+m-2=0(*)$
$(*)$ có hai nghiệm trái dấu
$\Leftrightarrow a.c<0\\ \Leftrightarrow m(m-2)<0\\ \Leftrightarrow 0<m<2$
Vậy với $0<m<2$ thì $f'(x) =2$ có hai nghiệm trái dấu.
