Giải thích các bước giải:
Cho $a,b,c$ $\neq 0$ và $a^3+b^3+c^3 = 3abc$
$P= (1+$ $\frac{a}{b})$ $(1+$ $\frac{b}{c})$ $(1+$ $\frac{c}{a})$
Ta có:
$a^3+b^3+c^3 = 3abc$
$⇔a^3+b^3+c^3-3abc=0$
$⇔(a+b)^3+c^3-3ab(b+c)-3abc=0$
$⇔[(a+b)^3+c^3] -3ab(a+b+c) =0$
$⇔(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b).c+c^2] -3ab(a+b+c) =0$
$⇔(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) =0$
$⇔$\(\left[ \begin{array}{l}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{array} \right.\)
$+) a+b+c =0 $
$⇒P =($ $\frac{a+b}{b})$ $(\frac{b+c}{c})$ $(\frac{a+c}{a})$
$⇔P=$ $\frac{-c}{b}$ $.\frac{-a}{c}$ $.\frac{-b}{a}$
$⇔P=$ $\frac{-abc}{abc}$ $=-1$
$+) a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac = 0$
Ta có:
$a^2+b^2+c^2 ≥ ab+bc+ac $
$⇔$$\frac{1}{2}(a-b)^2 +\frac{1}{2}(b-c)^2+\frac{1}{2}(a-c)^2 ≥ 0$ (Luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c$
Thay vào $P$ :
$P = (1+1)(1+1)(1+1)$
$P = 8 $
$⇒ P = -1 $ hoặc $P =8$
