Câu 1:
\(\begin{array}{l}
a.A = \left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + 1} \right):\left( {\dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - 1} \right)(đk:x \ge 0,x \ne 1)\\
 = \left[ {\dfrac{{\sqrt x (\sqrt x  - 1)}}{{\sqrt x  - 1}} + 1} \right]:\left[ {\dfrac{{\sqrt x (\sqrt x  + 2)}}{{\sqrt x  + 2}} - 1} \right]\\
 = \left( {\sqrt x  + 1} \right):\left( {\sqrt x  - 1} \right)\\
 = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\\
b.x = 9 \to A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \dfrac{{\sqrt 9  + 1}}{{\sqrt 9  - 1}} = 2\\
c.A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = 5\\
 \leftrightarrow \sqrt x  + 1 = 5\sqrt x  - 5\\
 \leftrightarrow 4\sqrt x  = 6\\
 \leftrightarrow \sqrt x  = \dfrac{3}{2} \leftrightarrow x = \dfrac{9}{4}(tm)\\
c.A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} < 1\\
 \leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 1 }}{{\sqrt x  - 1}}-1 < 0\\
 \leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}} < 0\\
 \leftrightarrow \sqrt x  - 1 < 0\\
 \leftrightarrow \sqrt x  < 1 \leftrightarrow x < 1\\
 \to 0 \le x < 1\\
d.A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \dfrac{{\sqrt x  - 1 + 2}}{{\sqrt x  - 1}}
\end{array}\)

Để A đạt giá trị nguyên thì \({\sqrt x  - 1}=\{\pm1;\pm2\}\)

\( \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x  - 1 =  - 1\\
\sqrt x  - 1 = 1\\
\sqrt x  - 1 = 2\\
\sqrt x  - 1 =  - 2(\text{vô lý loại})
\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 4\\
x = 9
\end{array} \right.\)

Câu 2:

\(\begin{array}{l}
a.P = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{4}}  + 1}}{{\sqrt {\dfrac{1}{4}}  - 1}} =  - 3\\
b.A = \left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}}} \right).\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}(đk:x \ge 0,x \ne 1)\\
 = \left[ {\dfrac{{x - 2}}{{\sqrt x (\sqrt x  + 2)}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x  + 2)}}} \right].\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\\
 = \dfrac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x  + 2)}}.\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\\
 = \dfrac{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}}{{\sqrt x (\sqrt x  + 2)}}.\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\\
c.A = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}\\
\dfrac{1}{{\sqrt x }} > 0 \leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }} > 1\\
 \leftrightarrow A > 1\\
d.\dfrac{P}{A}(x - 1) = 0\\
 \leftrightarrow \left[ {\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}:\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}} \right].(x - 1) = 0\\
 \leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}.(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1) = 0\\
 \leftrightarrow \sqrt x (\sqrt x  + 1) = 0\\
\sqrt x  + 1 > 1\\
 \to \sqrt x  = 0 \leftrightarrow x = 0
\end{array}\)