Bài giải sử dụng chung một hình vẽ nên thống nhất gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$ và $M$ là trung điểm $BC$
1) Gọi $N$ là giao điểm của $AH$ và $DE$
Kẻ $DP\perp AH; \, EQ\perp AH \, (P, \, Q \in AH)$
$\Rightarrow DP//EQ$
Xét $ΔPDA$ và $ΔHAB$ có:
$\widehat{DPA} = \widehat{AHB} = 90^o$
$\widehat{HAB} = \widehat{PDA}$ (cùng phụ $\widehat{PAD}$)
$AD = AB \, (gt)$
Do đó $ΔPDA=ΔHAB$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow DP = AH$ $(1)$
Xét $ΔQEA$ và $ΔHAC$ có:
$\widehat{EQA} = \widehat{AHC} = 90^o$
$\widehat{QEA} = \widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{QAE}$)
$AE = AC \, (gt)$
Do đó $ΔQEA=ΔHAC$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow EQ = AH$ $(2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow DP = EQ$
Xét $ΔPDK$ và $ΔQEK$ có:
$\widehat{PDK} = \widehat{QEK}$ (so le trong)
$\widehat{DPK} = \widehat{EQK} = 90^o$
$DP = EA \, (cmt)$
Do đó $ΔPDK=ΔQEK$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)$
$\Rightarrow DK = KE$
mà $K = AH\cap DE$ (cách dựng)
nên $K$ là trung điểm $DE$
Vậy $AH$ đi qua trung điểm của $DE$
$\\$
2) Gọi $I$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$
$\Rightarrow \begin{cases}AI = AB = AD\\\widehat{DAI} = \widehat{DAB} = 90^o\end{cases}$
Ta có: $\widehat{DAE} = \widehat{DAI} + \widehat{IAE} = 90^o + \widehat{IAE}$
$\widehat{IAC} = \widehat{IAE} + \widehat{EAC} = 90^o + \widehat{IAE}$
$\Rightarrow \widehat{DAE} = \widehat{IAC}$
Xét $ΔDAE$ và $ΔIAC$ có:
$\widehat{DAE} = \widehat{IAC} \, (cmt)$
$AI = DA$ (cách dựng)
$AE = AC \, (gt)$
Do đó $ΔDAE=ΔIAC \, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{DEA} = \widehat{ICA}$ $(3)$
Xét $ΔBIC$ có:
$BA = AI $ (cách dựng)
$BM = MC \, (gt)$
$\Rightarrow AM$ là đường trung bình
$\Rightarrow AM//IC$
$\Rightarrow \widehat{ICA} = \widehat{CAM}$ (so le trong) $(4)$
Từ $(3)(4) \Rightarrow \widehat{DEA} = \widehat{CAM}$
Gọi $K$ là giao điểm của $AM$ và $DE$
$\Rightarrow \widehat{KEA} = \widehat{CAM}$
Ta lại có: $\widehat{CAM} + \widehat{KAE} = 180^o - \widehat{EAC} = 180^o - 90^o = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{KEA} + \widehat{KAE} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{AKE} = 90^o$
Vậy $AM\perp DE$
