1) Ta có:
$(d_1): 2x - 3y = -8$
$\to y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3}$
$(d_2): y = - x +1$
Phươngtrình hoành độ giao điểm giữa $(d_1)$ và $(d_2)$
$\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} = - x + 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{5}{3}x = -\dfrac{5}{3}$
$\Leftrightarrow x = -1$
$\Rightarrow y = 2$
$\Rightarrow M(-1;2)$
Do $M\in (d)$ ta được:
$2 = (2m-1).(-1) + 3 - m$
$\Leftrightarrow 1 - 3m = -1$
$\Leftrightarrow m=\dfrac{2}{3}$
2a) Ta có:
$y = (2m-3)x + m - 5$
$\Leftrightarrow m(2x + 1) - 3x - y - 5 = 0$
$\Leftrightarrow \begin{cases}2x + 1 = 0\\3x + y + 5 = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x = -\dfrac{1}{2}\\y = -\dfrac{7}{2}\end{cases}$
Vậy $(d_m)$ luôn đi qua $M\left(-\dfrac 12;-\dfrac 72\right)$
b) Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(d_m)$ và trục hoành:
$(2m - 3)x + m - 5 = 0$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{5-m}{2m - 3}$
$\Rightarrow A\left(\dfrac{5-m}{2m-3};0\right)$
$(d_m)$ giao với trục tung $\Rightarrow x = 0$
$\Rightarrow y = m-5$
$\Rightarrow B(0;m-5)$
$∆OAB$ vuông tại $O$
Do đó: $∆OAB$ vuông cân
$\Leftrightarrow ∆OAB$ vuông cân tại $O$
$\Leftrightarrow OA = OB$
$\Leftrightarrow OA^2 = OB^2$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac{5 - m}{2m - 3}\right)^2 = (m-5)^2$
$\Leftrightarrow (m-5)^2[1 - (2m -3)^2] = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}(m-5)^2 = 0\\(2m-3)^2 = 1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m-5= 0\\2m - 3 = 1\\2m -3 = -1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 5\\m = 2\\m = 1\end{array}\right.$
c) $(d_m)$ tạo với trục hoành một góc $45^o$
$\Leftrightarrow 2m - 3 = \tan45^o$
$\Leftrightarrow 2m - 3 = 1$
$\Leftrightarrow m = 2$
