Tiếp tuyến $d \bot 3x-4y+5=0$
$\Rightarrow d: 4x+3y+c=0$
$(C)$ có tâm $I(3;-5)$, bán kính $R=\sqrt{3^2+5^2+15}=7$
$d(I; d)=R$
$\Rightarrow \frac{|4.3+3.(-5)+c|}{\sqrt{3^2+4^2}}=7$
$\Leftrightarrow |c-3|=35$
$\Leftrightarrow c=38; c=-32$
Vậy $d: 4x+3y+38=0$ hoặc $d: 4x+3y-32=0$