Câu 1:
$\quad y = x^3 - 3x^2 - 3mx + 1$
$\Rightarrow y' = 3x^2 - 6x - 3m$
Hàm số có cực trị
$\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$
$\Leftrightarrow 9 + 9m > 0$
$\Leftrightarrow m > -1$
Với $x_1;\ x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số
$\Rightarrow x_1;\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2\quad (1)\\x_1x_2 = - m\quad (2)\end{cases}$
Ta có:
$\quad x_1 = 3x_2$
Thay vào $(1)$ ta được:
$\quad 3x_2 + x_2 = 2$
$\Leftrightarrow x_2 = \dfrac12\Rightarrow x_1 = \dfrac32$
Thay vào $(2)$ ta được:
$\quad \dfrac32\cdot \dfrac12 = - m$
$\Leftrightarrow m = - \dfrac34$ (nhận)
Vậy $m = -\dfrac34$
Câu 2:
$\quad y = - x^3 + 3x^2 + 3(m^2 -1)x - 3m^2 - 1$
$\Rightarrow y' = - 3x^2 + 6x + 3(m^2 -1)$
Hàm số có cực trị
$\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$
$\Leftrightarrow 9 + 9(m^2 -1)> 0$
$\Leftrightarrow m\ne 0$
Với $x_1;\ x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số
$\Rightarrow x_1;\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2\quad (1)\\x_1x_2 = 1 - m^2\quad (2)\end{cases}$
Ta có:
$\quad |x_1 - x_2| = 2$
$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4$
$\Leftrightarrow 4 - 4(1-m^2) = 4$
$\Leftrightarrow m= \pm 1$ (nhận)
Vậy $m=\pm 1$
