Đáp án:
$m=\sqrt[3]{3}$
Giải thích các bước giải:
$\quad y = x^4 - 2mx^2 + 2m + m^4$
$\Rightarrow y' = 4x^3 - 4mx$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x^2 = m\quad (*)\end{array}\right.$
Hàm số có $3$ cực trị
$\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow m> 0$
Khi đó ta có $3$ điểm cực trị:
$A(0;2m+m^4);\ B\left(\sqrt m;m^4 - m^2 + 2m\right);\ C\left(-\sqrt m; m^4 - m^2 + 2m\right)$
Do hàm trùng phương đối xứng qua trục tung
nên $\triangle ABC$ cân tại $A$
Khi đó:
$\triangle ABC$ đều $\Leftrightarrow AB= BC$
$\Leftrightarrow AB^2 = BC^2$
$\Leftrightarrow \left(\sqrt m\right)^2 + (m^4 - m^2 + 2m - 2m - m^4)^2 = \left(-2\sqrt m\right)^2$
$\Leftrightarrow m + m^4 = 4m$
$\Leftrightarrow m^4 - 3m = 0$
$\Leftrightarrow m(m^3 - 3)= 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 0\qquad (l)\\m = \sqrt[3]{3}\quad (n)\end{array}\right.$
Vậy $m=\sqrt[3]{3}$
