Giải thích các bước giải:
Bài 1:
a.Ta có:
$M=x^5-x$
$\to M=x(x^4-1)$
$\to M=x(x^2+1)(x-1)(x+1)$
$\to M=x(x^2-4+5)(x-1)(x+1)$
$\to M=x(x^2-4)(x-1)(x+1)+5x(x-1)(x+1)$
$\to M=x(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)+5x(x-1)(x+1)$
Ta có $x-2, x-1, x, x+1, x+2$ là $5$ số tự nhiên liên tiếp
$\to x(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)\quad\vdots\quad 2, 3,5$
Mà $(2,3,5)=1$
$\to x(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)\quad\vdots\quad2\cdot 3\cdot 5=30$
Lại có $x-1, x, x+1$ là $3$ số tự nhiên liên tiếp
$\to (x-1)x(x+1)\quad\vdots\quad 2, 3$
$\to (x-1)x(x+1)\quad\vdots\quad 6$ vì $(2,3)=1$
$\to 5(x-1)x(x+1)\quad\vdots\quad 30$
$\to M=x(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)+5x(x-1)(x+1)\quad\vdots\quad 30$
$\to M\quad\vdots\quad 30$
b.Ta có $M\quad\vdots\quad 30$
$\to M\quad\vdots\quad 10$
$\to M$ tận cùng là $10$
$\to M+2$ tận cùng là $2$
$\to M+2$ không là số chính phương
Bài 2:
Ta có:
$x^2y+2xy+y=32x$
$\to y(x^2+2x+1)=32x$
$\to 32x\quad\vdots\quad x^2+2x+1$
$\to 32x(x+2)\quad\vdots\quad x^2+2x+1$
$\to 32(x^2+2x)\quad\vdots\quad x^2+2x+1$
$\to 32(x^2+2x+1-1)\quad\vdots\quad x^2+2x+1$
$\to 32(x^2+2x+1)-32\quad\vdots\quad x^2+2x+1$
$\to 32\quad\vdots\quad x^2+2x+1$
$\to 32\quad\vdots\quad (x+1)^2$
$\to (x+1)^2$ là ước của $32$
Mà $(x+1)^2$ là số chính phương $(x+1)^2>(0+1)^2=1$ vì $x\in Z^+$
$\to (x+1)^2\in\{4,16\}$
$\to x+1\in\{2, 4\}$
$\to x\in\{1, 3\}$
$\to y\in\{8, 6\}$
$\to (x,y)\in\{(1,8) ,(3, 6)\}$
