1. Giải
a) Để B tồn tại thì \(\dfrac{4}{n-3}\) là phân số
\(\Rightarrow\left(n-3\right)e0\)\(\left(n\in Z\right)\)
\(\Rightarrow ne3\)
Vậy B tồn tại với mọi \(n\in Z\) và \(ne3\).
b) Để B à số nguyên thì \(\dfrac{4}{n-3}\) là số nguyên.
\(\Rightarrow4\) \(⋮\) \(\left(n-3\right)\)
\(\Rightarrow\left(n-3\right)\inƯ\left(4\right)\)
\(\Rightarrow\left(n-3\right)\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)
Ta có bảng sau:
| \(n-3\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
| \(n\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(5\) | \(7\) |
2. Giải
a) Ta có: \(C=\dfrac{2n+15}{n+1}=\dfrac{2n+2+13}{n+1}=\dfrac{2\left(n+1\right)+13}{n+1}=2+\dfrac{13}{n+1}\)
Để C là số nguyên thì \(\dfrac{13}{n+1}\) là số nguyên.
\(\Rightarrow13\) \(⋮\) \(\left(n+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)\inƯ\left(13\right)\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)\in\left\{\pm1;\pm13\right\}\)
Ta có bảng sau:
| \(n+1\) | \(-13\) | \(-1\) | \(1\) | \(13\) |
| \(n\) | \(-14\) | \(-2\) | \(0\) | \(12\) |
b) Gọi ƯCLN\(\left(2n+15;n+1\right)=d.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2n+15\right)⋮d\\\left(n+1\right)⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2n+15\right)⋮d\\\left(2n+2\right)⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2n+15\right)-\left(2n-2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow13⋮d\)
\(\Rightarrow d\inƯ\left(13\right)\)
\(\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm13\right\}\)
Để C là phân số tối giản thì \(d=1\)
\(\Rightarrow\left(2n+15\right)\) \(⋮̸\) \(13\) hoặc \(\left(n+1\right)\) \(⋮̸\) \(13\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(2n+15\right)otin B\left(13\right)\\\left(n+1\right)otin B\left(13\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy với mọi \(n\in Z\) và \(\left(2n+15\right)\) \(⋮̸\) \(13\) hoặc \(\left(n+1\right)\) \(⋮̸\) \(13\) thì C là p/s tối giản.
