Đáp án:
1. m = 10
2. 3/2 < m < 2
Giải thích các bước giải:
1. Xét PT x² - 6x + m - 3 = 0 (*) (m là tham số).
Để pt (*) có 2 no phân biệt x1,x2 thì
Δ' = (- 3)² - (m - 3) = 12 - m > 0 ⇔ m < 12 (1)
Khi đó 2 nghiệm thỏa:
{ x1 + x2 = 6 (2)
{ x1x2 = m - 3 (3)
{ x2² - 6x2 + m - 3 = 0 (4) ( vì x2 là nghiệm của (*) nên thỏa (*))
{ (x1 - 1)(x2² - 5x2 + m - 4) = 2 (5) (đề bài yêu cầu)
Từ (4) ⇒ x2² - 5x2 + m - 4 = x2 - 1 thay vào (5)
(x1 - 1)(x2 - 1) = 2 ⇔ x1x2 - (x1 + x2) + 1 = 2
⇔ (m - 3) - 6 + 1 = 2( thay (2) và (3) vào)
⇔ m = 10 (6) (thỏa (1))
Từ (1) và (6) ⇒ m = 10
2. Xét pt: x² - 2(m + 1)x + m² + 4 = 0 (*) (m là tham số).
Để pt (*) có 2 no phân biệt x1,x2
Δ' = [- (m + 1)]² - (m² + 4) = 2m - 3 > 0 ⇔ m > 3/2 (1)
Khi đó 2 nghiệm thỏa:
{ x1 + x2 = 2(m + 1) (2)
{ x1x2 = m² + 4 (3)
{ x1² - 2(m + 1)x1 + m² + 4 = 0 (4) ( vì x1 là nghiệm của (*) nên thỏa (*))
{ (x1² + 2(m + 1)x2 ≤ 3m² + 16 (5) (đề bài yêu cầu)
Từ (4) ⇒ x1² = 2(m + 1)x1 - m² - 4 thay vào (5)
2(m + 1)x1 - m² - 4 + 2(m + 1)x2 ≤ 3m² + 16
⇔ 2(m + 1)(x1 + x2) - 4m² - 20 ≤ 0
⇔ 4(m + 1)² - 4m² - 20 ≤ 0 (thay (2) vào)
⇔ 8m - 16 ≤ 0
⇔ m < 2 (6)
Từ (1) và (6) ⇒ 3/2 < m < 2
