Bài `1)`
`a)` Xét `ΔAMD` và `ΔBMC` có:
`AM = MB` (gt)
`MD = MC` (gt)
`∠DMA = ∠CMB` (`2` góc đối đỉnh)
`⇒ ΔAMD = ΔBMC` `(c . g . c)`
`⇒ AD = BC` (`2` cạnh tương ứng)
`b)` Xét `ΔANE` và `ΔCNB` có:
`AN = NC` (gt)
`BN = NE` (gt)
`∠ANE = ∠CNB` (`2` góc đối đỉnh)
`⇒ ΔANE = ΔCNB` `(c . g . c)`
`⇒ AE = BC` (`2` cạnh tương ứng)
`c)` Ta có: `ΔANE = ΔCNB` `(cmt)`
`⇒ ∠NBC = ∠NEA` (`2` góc tương ứng)
Mà `2` góc này ở vị trí so le trong
`⇒ AE` // `BC`. `(1)`
Vì `ΔAMD = ΔBMC` `(cmt)`
`⇒ ∠ADM = ∠MCB` (`2` góc tương ứng)
Mà `2` góc này ở vị trí so le trong
`⇒ AD` // `BC`. Mà `AE` // `BC` (theo `(1)` )
`⇒ A, D, E` thẳng hàng. `(***)`
`ΔAMD = ΔBMC`
`⇒ AD = BC` (`2` cạnh tương ứng) `(*)`
`ΔANE = ΔCNB`
`⇒ AE = BC` (`2` cạnh tương ứng) `(**)`
Từ `(*)`, `(**)`, `(***)` suy ra `AD = AE`
`⇒ A` là trung điểm của `DE`.
Bài `2`:
`a)` Xét `ΔAIC` và `ΔDIB` có:
`AI = ID` (gt)
`BI = IC` (gt)
`∠AIC = ∠DIB` (`2` góc đồi đỉnh)
`⇒ ΔAIC = ΔDIB` `(c . g . c)`
`⇒ AC = BD` (`2` cạnh tương ứng)
`b)` Vì `AE = AC` (gt)
`AC = BD` `(cmt)`
`⇒ AE = BD`.
`c)` `ΔAIC = ΔDIB`
`⇒ ∠IAC = ∠IDB` (`2` góc tương ứng)
Mà `2` góc này ở vị trí so le trong
`⇒ AC // BD`.
Mà `A` là trung điểm của `EC`.
`⇒ EA // BD`.
`⇒ ∠AEF = ∠FDB` (`2` góc so le trong)
Và `∠EAB = ∠ABD` (`2` góc so le trong)
Xét `ΔFAE` và `ΔFBD` có:
`AE = BD` `(cmt)`
`∠FAE = ∠FBD` `(cmt)`
`∠FEA = ∠FDB` `(cmt)`
`⇒ ΔFAE = ΔFBD` `(g . c . g)
`⇒ FA = FB` (`2` cạnh tương ứng)
Và `FE = FD` (`2` cạnh tương ứng)
`⇒ F` là trung điểm của `AB` và `ED`.
