Không mất tính tổng quát, ta giả sử OC ≥ OA, OD ≥ OB.
Trên tia OC lấy F sao cho OF = OA, trên tia OD lấy E sao cho OE = OB.
Ta có tứ giác ABEF là hình bình hành
AB = EF
Vì chu vi tam giác AOB bằng chu vi tam giác COD nên :
⇒ AB + OA + OB = OD + OC + OD
⇒ A B + OA + OB = OE + DE + OF + CF + CD
⇒ AB = ED + DC + CF
nghĩa là EF = ED + DC + CF.
Điều này chỉ xảy ra khi E ≡ D và F ≡ C; suy ra AO = OC và OB = OD.
Khi ấy ABCD là hình bình hành.
Mặt khác, chu vi tam giác AOD bằng chu vi tam giác BOA nên
AD + OA + OD = AB + OA + OB ⇒ AD = AB (Do OB = OD)
Hình bình hành ABCD có AB = AD, nên ABCD là hình thoi.
