Đáp án:

 1) $a) x = k\dfrac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)$ và $x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{{10}}\left( {k \in Z} \right)$

$b) x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ và $x =  - \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

2) 

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
1)\\
a)\sin 5x.\cos 3x = \sin 7x.\cos 5x\\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\sin 8x + \sin 2x} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin 12x + \sin 2x} \right]\\
 \Leftrightarrow \sin 8x = \sin 12x\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
12x = 8x + k2\pi \\
12x = \pi  - 8x + k2\pi 
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = k2\pi \\
20x = \pi  + k2\pi 
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\dfrac{\pi }{2}\\
x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{{10}}
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là: $x = k\dfrac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)$ và $x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{{10}}\left( {k \in Z} \right)$

$\begin{array}{l}
b)\sqrt 2 \left( {\sin x - 2\cos x} \right) = 2 - \sin 2x\\
 \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin x - 2\cos x} \right) = 2 - 2\sin x.\cos x\\
 \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin x - 2\cos x} \right) = 2 - \sin x.2\cos x\\
 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin x\left( {1 + \sqrt 2 \cos x} \right) - 2\left( {1 + \sqrt 2 \cos x} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 2 \cos x} \right)\left( {\sqrt 2 \sin x - 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}\left( c \right)\\
\sin x = \sqrt 2 \left( l \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\
x =  - \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi 
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là: $x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ và $x =  - \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$