Đáp án:
Câu 1:
`-` Hệ phương trình có nghiệm duy nhất `(x; y) = (-\frac{10}{7}; \frac{19}{7})`
Câu 2:
a, Với `m=-2` thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: `x_1=-2+2\sqrt{2}; x_2=-2-2\sqrt{2}`
b, `m=1` thì biểu thức `M=x_1^2+x_2^2-6x_1x_2` đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải thích các bước giải:
Câu 1:
`-` Hệ phương trình: \(\begin{cases}x+2y=4\\y-3x=7\end{cases}\)
\(\begin{cases}x+2y=4\\y-3x=7\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x+2y=4\\-6x+2y=14\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(x+2y)-(-6x+2y)=4-14\\x+2y=4\end{cases}\\ \Leftrightarrow \begin{cases}x+2y+6x-2y=-10\\y=\dfrac{4-x}{2}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}7x=-10\\y=\dfrac{4-x}{2}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-\dfrac{10}{7}\\y=\dfrac{19}{7}\end{cases}\)
`-` Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất `(x; y) = (-\frac{10}{7}; \frac{19}{7})`
Câu 2:
a,
`-` Thay `m=-2` vào phương trình `x^2-2mx+m-2=0` ta được:
\(\quad x^2-2.(-2).x+(-2)-2=0\\ \Leftrightarrow x^2+4x-4=0\\ \Delta'=2^2-1.(-4)=4+4=8>0\)
`\to` Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(\left[ \begin{array}{l}x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{1}=-2+2\sqrt{2}\\x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{1}=-2-2\sqrt{2}\end{array} \right.\)
Vậy với `m=-2` thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: `x_1=-2+2\sqrt{2}; x_2=-2-2\sqrt{2}`
b,
`-` Ta có:
\(\Delta'=(-m)^2-1.(m-2)=m^2-m+2=m^2-2.m.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}=\bigg(m-\dfrac{1}{2}\bigg)^2+\dfrac{7}{4}\)
`-` Vì `(m-\frac{1}{2})^2\geq 0\ ∀m`
`\to (m-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}>0\ ∀m`
`\to \Delta'>0\ ∀m`
`-` Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt `x_1, x_2` với mọi m.
`-` Theo định lí Vi-ét:
\(\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{cases}\)
`-` Ta có:
\(\quad M=x_1^2+x_2^2-6x_1x_2\\ \Leftrightarrow M=x_1^2+x_2^2-6x_1x_2+2x_1x_2-2x_1x_2\\ \Leftrightarrow M=(x_1+x_2)^2-8x_1x_2\\ \Leftrightarrow M=(2m)^2-8(m-2)\\ \Leftrightarrow M=4m^2-8m+16\\ \Leftrightarrow M=4(m^2-2m+4)\\ \Leftrightarrow M=4(m-1)^2+12\)
`-` Vì `(m-1)^2\geq 0\ ∀m`
`\to 4(m-1)^2\geq 0\ ∀m`
`\to 4(m-1)^2+12\geq 12\ ∀m`
`\to` Để `M=x_1^2+x_2^2-6x_1x_2` đạt \(\min\) thì:
\(\quad 4(m-1)^2=0\\ \Leftrightarrow (m-1)^2=0\\ \Leftrightarrow m-1=0\\ \Leftrightarrow m=1\)
`-` Vậy `m=1` thì biểu thức `M=x_1^2+x_2^2-6x_1x_2` đạt giá trị nhỏ nhất.
\(\boxed{\text{LOVE TEAM}}\)
