Xét `∆BDM;∆BAE` có:
`hat{BDM}=hat{BAE}=90°`
`hat{DBA}` chung.
`=>∆BDM~∆BAE`
`=>(BD)/(AB)=(BM)/(BE)`
`=>BD.BE=AB.BM` (1)
Xét `∆CAM;∆CDE` có:
`hat{CAM}=hat{CDE}=90°`
`hat{ACM}` chung.
`=>∆CAM~∆CDE`
`=>(CD)/(AC)=(CE)/(CM)`
`=>AC.CE=CD.CM(2)`
(1);(2) `=>BD.BE+AC.CE=AB.BM+CD.CM` (3)
Gọi `EM` cắt `BC` tại `F`
Xét `∆BEC` có:
`AB` vg góc `EC`
`CD` vg góc `BE`
`AB` cắt `CD` tại `M`
`=>M` là trực tâm `∆BEC`
`=>EM` vg góc `BC ` tại `F`
Xét `∆BMF` và `∆BCA` có:
`hat{CBA}` chung.
`hat{BFM}=hat{BAC}=90°`
`=>∆BMF~∆BCA`
`=>(BM)/(BC)=(BF)/(AB)`
`=>BM.AB=BF.BC ` (4)
Xét `∆BDC` và `∆MFC` có:
`hat{BCM}` chung.
`hat{BDC}=hat{MFC}=90°`
`=>∆BDC~∆MFC`
`=>DC.MC=BC.FC` (5)
(4);(5)
`=>DC.MC+BM.AB=BC.(BF+FC)=BC^2` (6)
(3);(6)
`=>BD.BE+AC.CE=BC^2`
