$\text{1. Gọi độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là a; b (a, b > 0)}$
`⇒ a² + b² = 52²` $\text{(tam giác này vuông)}$
`⇒ a² + b² = 2704`
$\text{Vì độ dài 2 cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12}$
`⇒ a/5 = b/12 ⇒ (a²)/25 = (b²)/144`
$\text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:}$
`(a²)/25 = (b²)/144 = (a² + b²)/(25+144)=2704/169 = 16`
`⇒ (a²)/25 = 16 ⇒ a² = 16 . 25 = 400 ` $⇒ \left[ \begin{array}{l}a=20\\a=-20\end{array} \right.$
`(b²)/144 = 16 ⇒ b² = 16 . 144 = 2304` $⇒ \left[ \begin{array}{l}a=48\\a=-48\end{array} \right.$
$\text{mà a, b > 0 ⇒ a = 20; b = 48}$
$\text{Vậy độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông là 20cm và 48 cm}$
$\text{2. Xét ΔABM và ΔCBM có:}$
$\text{AB = CB (ΔABC cân tại B)}$
$\text{BM: chung}$
$\text{AM = CM (M là trung điểm của AC)}$
$\text{⇒ ΔABM = ΔCBM (c.c.c)}$
`⇒ \hat{AMB}=\hat{CMB}` $\text{(2 góc tương ứng)}$
$\text{mà:}$ `\hat{AMB}+\hat{CMB}=180^{o}` $\text{(2 góc kề bù)}$
`⇒ \hat{AMB}=\hat{CMB}=90^{o}`
$\text{M là trung điểm của AC}$ `⇒ AM = 1/2 . AC = 1/2 . 16 = 8 (cm)`
$\text{ΔABM có:}$ `\hat{AMB}=90^{o}(cmt)`
`⇒ AB² = AM² + BM²` $\text{(Áp dụng ĐL Py-ta-go)}$
`⇒ 17² = 8² + BM²`
`⇒ BM² = 17² - 8² = 225`
`⇒ BM = \sqrt{225}=15 (cm)`
