Đáp án:

 $\begin{align}
  & 1> \\ 
 & a){{v}_{max}}=10m/s \\ 
 & b)v=8m/s \\ 
 & 2> \\ 
 & a){{v}_{max}}=30m/s \\ 
 & b){{S}_{N}}=25m \\ 
 & c){{v}_{K}}=24m/s \\ 
\end{align}$

Giải thích các bước giải:

Bài 1: 

 $m=1kg;BC=10m;\alpha ={{30}^{0}}$

a) độ cao của vật

$\sin \alpha =\dfrac{h}{BC}\Rightarrow h=10.\sin 30=5m$

Cơ năng của vật tại đỉnh:

$\text{W}={{\text{W}}_{tmax}}=m.g.h=1.10.5=50J$

Bảo toàn cơ năng tại chân dốc

$\begin{align}
  & \text{W}={{\text{W}}_{dmax}} \\ 
 & \Leftrightarrow 50=\dfrac{1}{2}.1.v_{max}^{2} \\ 
 & \Rightarrow {{v}_{max}}=10m/s \\ 
\end{align}$

b) Lực ma sát:

$\begin{align}
  & {{F}_{ms}}=\mu .N \\ 
 & =\mu .P.cos\alpha  \\ 
 & =0,2.1.10.cos30 \\ 
 & =\sqrt{3}N \\ 
\end{align}$

Cơ năng của vật:

$\begin{align}
  & {{\text{W}}_{c}}-\text{W}={{A}_{ms}} \\ 
 & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.m.{{v}^{2}}-50=-{{F}_{ms}}.BC \\ 
 & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.{{v}^{2}}-50=-\sqrt{3}.10 \\ 
 & \Rightarrow v=8m/s \\ 
\end{align}$

Bài 2:

$m=0,9kg;S=75m;h=45m$

Cơ năng tại đỉnh dốc

$\text{W}={{\text{W}}_{tmax}}=m.g.h=0,9.10.45=405J$

Bảo toàn cơ năng tại điểm M:

$\begin{align}
  & \text{W}={{\text{W}}_{dmax}} \\ 
 & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.m.v_{max}^{2}=405 \\ 
 & \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.0,9.v_{max}^{2}=405 \\ 
 & \Rightarrow {{v}_{max}}=30m/s \\ 
\end{align}$

b) Wd=2Wt

bảo toàn cơ năng:

$\begin{align}
  & \text{W}={{\text{W}}_{d}}+{{\text{W}}_{t}} \\ 
 & \text{W}=2{{W}_{t}}+{{\text{W}}_{t}}=3{{\text{W}}_{t}} \\ 
 & \Leftrightarrow 405=3.0,9.10.{{h}_{N}} \\ 
 & \Rightarrow {{h}_{N}}=15m \\ 
\end{align}$

Vị trí điểm N cách chân dốc: 

$\begin{align}
  & \sin \alpha =\dfrac{h}{S}=\dfrac{{{h}_{N}}}{{{S}_{N}}} \\ 
 & \Rightarrow {{S}_{N}}=75.\dfrac{15}{45}=25m \\ 
\end{align}$

c) độ cao của vật tại M: 

$\begin{align}
  & \sin \alpha =\dfrac{h}{S}=\dfrac{{{h}_{M}}}{{{S}_{M}}} \\ 
 & \Rightarrow {{h}_{M}}=45.\dfrac{27}{75}=16,2m \\ 
\end{align}$

Bảo toàn cơ năng:

$\begin{align}
  & \text{W}={{\text{W}}_{d}}+{{\text{W}}_{t}} \\ 
 & \Leftrightarrow 405=\dfrac{1}{2}.0,9.{{v}^{2}}+0,9.10.16,2 \\ 
 & \Rightarrow v=24m/s \\ 
\end{align}$