Đáp án:
1) \(x = - \dfrac{\pi }{6}\).
2) \(S = \left\{ {x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in Z} \right\}\).
Giải thích các bước giải:
1) \(\sin x\sin 2x\sin 3x = \dfrac{1}{2}\sin 4x\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\sin x\sin 3x} \right)\sin 2x = \sin 2x\cos 2x\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 2x} \right)\sin 2x = \sin 2x\cos 2x\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x + \left( {\cos 4x - \cos 2x} \right)\sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos 2x + \cos 4x - \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 3x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos 3x = 0\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\3x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm \(x = \dfrac{{k\pi }}{2}\) là \(x = - \dfrac{\pi }{2}\).
Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\) là \(x = - \dfrac{\pi }{6}\).
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \( - \dfrac{\pi }{6}\).
2) \(\sin 2x\cos x = \cos 2x + \sin x\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sin x{\cos ^2}x = 1 - 2{\sin ^2}x + \sin x\\ \Leftrightarrow 2\sin x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = 1 - 2{\sin ^2}x + \sin x\\ \Leftrightarrow 2\sin x - 2{\sin ^3}x = 1 - 2{\sin ^2}x + \sin x\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 2{\sin ^2}x - \sin x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x\left( {\sin x - 1} \right) - \left( {\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {2{{\sin }^2}x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in Z} \right\}\).
