1)
ƯCLN$\left( a,b \right)=16$
$\to\begin{cases}a=16x\\b=16y\end{cases}$ , trong đó ƯCLN của $\left( x;y \right)=1$
$\,\,\,\,\,a+b=128$
$\to 16x+16y=128$
$\to 16\left( x+y \right)=128$
$\to x+y=8$
Vì $x,y\in N$ và ƯCLN của $\left( x;y \right)=1$
Nên ta chỉ có các trường hợp
$TH_1\begin{cases}x=1\\y=7\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=16\\b=112\end{cases}$
$TH_2\begin{cases}x=3\\y=5\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=48\\b=80\end{cases}$
$TH_3\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=80\\b=48\end{cases}$
$TH_4\begin{cases}x=7\\y=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=112\\b=16\end{cases}$
……………………………………………..
……………………………………………..
2)
$\,\,\,\,\,9x+5y\,\,\,\vdots \,\,\,17$
$\to 4\left( 9x+5y \right)\,\,\,\vdots \,\,\,17$
$\to 36x+20y\,\,\,\vdots \,\,\,17$
$\to 36x+20y-34x-17y\,\,\,\vdots \,\,\,17$
$\to 2x+3y\,\,\,\vdots \,\,\,17$
……………………………………………..
……………………………………………..
3)
$2x\left( 3y-2 \right)+\left( 3y-2 \right)=-55$
$\left( 3y-2 \right)\left( 2x+1 \right)=-55$
$-55=-5\,\,.\,\,11\,\,=\,-\,1\,\,.\,\,55$
$TH_1\begin{cases}3y-2=1\\2x+1=-55\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}y=1\\x=-28\end{cases}$
$TH_2\begin{cases}3y-2=-55\\2x+1=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\text{không tìm được y}\\x=0\end{cases}$
$TH_3\begin{cases}3y-2=5\\2x+1=-11\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\text{không tìm được y}\\x=-6\end{cases}$
$TH_4\begin{cases}3y-2=-11\\2x+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}y=-3\\x=2\end{cases}$
Vậy cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mản yêu cầu đề bài là $\left( 2;-3 \right)$ và $\left( -28;1 \right)$
……………………………………………..
……………………………………………..
4)
Gọi ƯCLN của $\left( 8a+3b\,;\,5a+2b \right)$ là $x$
$\to\begin{cases}8a+3b\,\,\,\vdots\,\,\,x\\5a+2b\,\,\,\vdots\,\,\,x\end{cases}$
$\to\begin{cases}5\left(8a+3b\right)\,\,\,\vdots\,\,\,x\\8\left(5a+2b\right)\,\,\,\vdots\,\,\,x\end{cases}$
$\to\begin{cases}40a+15b\,\,\,\vdots\,\,\,x\\40a+16b\,\,\,\vdots\,\,\,x\end{cases}$
$\to\left(40a+16b\right)\,\,-\,\,\left(40a+15b\right)\,\,\,\vdots\,\,\,x$
$\to b\,\,\,\vdots\,\,\,x$
Mặt khác:
$\begin{cases}8a+3b\,\,\,\vdots\,\,\,x\\5a+2b\,\,\,\vdots\,\,\,x\end{cases}$
$\to \begin{cases}2\left(8a+3b\right)\,\,\,\vdots\,\,\,x\\3\left(5a+2b\right)\,\,\,\vdots\,\,\,x\end{cases}$
$\to\begin{cases}16a+6b\,\,\,\vdots\,\,\,x\\15a+6b\,\,\,\vdots\,\,\,x\end{cases}$
$\to\left(16a+6b\right)\,\,-\,\,\left(15a+6b\right)\,\,\,\vdots\,\,\,x$
$\to a\,\,\,\vdots\,\,\,x$
Mà ƯCLN của $\left( a;b \right)=1$
$\to x=1$
$\to $ƯCLN của $\left( 8a+3b\,\,;\,\,5a+2b \right)=1$
……………………………………………..
……………………………………………..
5)
$601$ là số lẻ. Nên tổng của hai số thì một trong hai số đó sẽ có 1 số chẵn 1 số lẻ
Mà $2$ là số nguyên tố chẵn duy nhất
Nên số còn lại $601-2=599$
Vậy hai số nguyên tố cần tìm là $2$ và $599$
……………………………………………..
……………………………………………..
Tổng của $3$ số nguyên tố là $1012$ là một số chẵn. Nên chắc chắn sẽ có 1 số chẵn
Mà $2$ là số chẵn duy nhất và cũng là số nguyên tố nhỏ nhất
Vậy số số nguyên tố nhỏ nhất cần tìm là $2$
……………………………………………..
……………………………………………..
Tổng của hai số là $2003$ là một số lẻ. Nên chắc chắn có $1$ số lẻ và $1$ số chẵn
Mà $2$ là số chẵn duy nhất nên số lẻ còn lại là $2003-2=2001$
Mà $2001=3.23.29$ là hợp số
Vậy tổng của hai số nguyên tố không thể là $2003$
