$\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+...+\frac{1}{a\times (a+1)}=\frac{299}{600}$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}=\frac{299}{600}$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{a+1}=\frac{299}{600}$
$\frac{1}{a+1}=\frac{1}{2}-\frac{299}{600}$
$\frac{1}{a+1}=\frac{1}{600}$
Từ đó có $a+1=600$ hay $a=599$
Vậy $a=599$