Đáp án:
`1)` `m\in [2+\sqrt{10};+∞)`
`2)` `m\in (-∞;5/{16})`
Giải thích các bước giải:
`1)` Đặt `f(x)=(m-1)x^2-2(m+2)x+2m+2`
Để bất phương trình `f(x)<0` vô nghiệm
`=>f(x)\ge 0` nghiệm đúng với mọi `x`
$\\$
+) `TH: m-1=0<=>m=1`
`\qquad f(x)\ge 0`
`<=>0-2.(1+2)x+2.1+2\ge 0`
`<=> -6x\ge -4`
`<=> x\le 2/ 3` (không thỏa `\forall x\in RR`)
`=>` loại `m=1`
$\\$
+) `TH: m-1\ne 0<=>m\ne 1`
`\qquad f(x)\ge 0`
`<=>`$\begin{cases}a=m-1>0\\∆'=b'^2-ac\le 0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}m>1\\(-(m+2))^2-(m-1)(2m+2)\le 0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}m>1\\m^2+4m+4-(2m^2-2)\le 0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}m>1\\-m^2+4m+6\le 0\end{cases}$
`<=>`$\left\{\begin{matrix}m>1\\\left[\begin{array}{l}m\ge 2+\sqrt{10}\\m\le 2-\sqrt{10}\end{array}\right.\end{matrix}\right.$`=>m\ge 2+\sqrt{10}`
$\\$
Vậy `m\in [2+\sqrt{10};+∞)` thỏa đề bài
$\\$
`2)` `(m^2+m+1)x^2+(2m-3)x+1=0`
`∆=b^2-4ac`
`∆=(2m-3)^2-4.(m^2+m+1).1`
`∆=4m^2-12m+9-4m^2-4m-4`
`∆=-16m+5`
Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
`<=>`$\begin{cases}∆>0\\S=x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}>0\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}>0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}-16m+5>0\\\dfrac{-2m+3}{m^2+m+1}>0\\\dfrac{1}{m^2+m+1}>0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}m<\dfrac{5}{16}\\-2m+3>0\\1>0\ (đúng)\end{cases}$
(Vì $\ m^2+m+1=(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0\ \forall m)$
`<=>`$\begin{cases}m<\dfrac{5}{16}\\m<\dfrac{3}{2}\end{cases}$`=>m<5/{16}`
Vậy `m\in (-∞;5/{16})` thỏa đề bài
