Đáp án:

$\begin{array}{l}
1){m^2}x - 1 < mx + m\\
 \Rightarrow \left( {{m^2} - m} \right)x < m + 1\\
 \Rightarrow m\left( {m - 1} \right).x < m + 1\\
 + Khi:m\left( {m - 1} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0 \Rightarrow 0.x < 1\left( {tm} \right)\\
m = 1 \Rightarrow 0.x < 2\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow pt\,co\,nghiem\,\dforall m = 0/m = 1\\
 + Khi:m\left( {m - 1} \right) \ne 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < \dfrac{{m + 1}}{{m\left( {m - 1} \right)}}\left( {khi:\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < 0
\end{array} \right.} \right)\\
x > \dfrac{{m + 1}}{{m\left( {m - 1} \right)}}\left( {khi:0 < m < 1} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy bpt có nghiệm với mọi m.

2) Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m - 2 \ne 0\\
\Delta ' > 0\\
{x_1} + {x_2} > 0\\
{x_1}.{x_2} > 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 2\\
{m^2} - \left( {m - 2} \right).\left( {m + 3} \right) > 0\\
\dfrac{m}{{m - 2}} > 0\\
\dfrac{{m + 3}}{{m - 2}} > 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 2\\
 - m + 6 > 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m <  - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 2\\
m < 6\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 2\\
m <  - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
2 < m < 6\\
m <  - 3
\end{array} \right.
\end{array}$